上海市2025年1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试卷02（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市2025年1月普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02一、填空题1．已知集合，则.【答案】【解析】因为，所以，故答案为：2．已知i为虚数单位，计算：．【答案】【解析】故答案为：3．已知向量，，则在方向上的数量投影是.【答案】【解析】由向量，，则，，又在方向上的数量投影为，故答案为：.4．若，则有最大值为．【答案】【解析】因为，显然当时，取得最大值，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以有最大值为.故答案为：.5．表面积为的球的体积为.【答案】【解析】设球的半径为，则，可得，故该球的体积为.故答案为：.6．在中，，，，则.【答案】【解析】在中，根据余弦定理可得：，设，则，整理可得，解得，故.故答案为：.7．如果100件产品中有3件次品，那么返回抽取的2件产品都是次品的概率是．【答案】【解析】由题意得每一次抽到次品的概率都为，所以返回抽取的2件产品都是次品的概率为.8．若，则．【答案】【解析】.9．上海申花队一线队员共26名球员，其年龄分布茎叶图如图所示：则申花队球员年龄的第75百分位数是.【答案】【解析】，该国家队球员年龄的第75百分位数为第20名球员的年龄为31岁．10．函数的零点是.【答案】【解析】令，得，即函数的零点是.11．如图，正方体中，为的中点，为正方形的中心，则直线与侧面所成角的正切值是.【答案】【解析】如图所示，连接，在正方体中，可得平面，所以即为与平面所成的角，设正方体的棱长为，则，在直角中，.12．已知，则的解集为．【答案】【解析】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数，函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减，不等式，因此，即，解得或，所以原不等式的解集为.二、单选题13．若，且满足，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，A选项错误；当，时，，，，B选项错误；∵且，∴，C选项正确；当时，，D选项正确.故选：C.14．已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（

）A．、 B．、 C．、 D．、【答案】D【解析】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量，设，故，无解，故、为不共线的非零向量，故可以作为一组基底，A错误；B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误；C选项，设，故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误；D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确.故选：D15．已知为幂函数，则（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，得，则，．故选：C16．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为，所以它的一个样本空间为.故选：B.17．下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，又恒成立，所以在上为减函数，故B正确；定义域为不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误；由正弦函数的单调性可得在为增函数，又，所以在区间上是严格增函数，故D错误；故选：B.18．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，得，得，即方程的根为.故选：A.19．若与互为相反数，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】与互为相反数，则，即，则.故选：D.20．下列不等式中，解集为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误；对于B，令，则，满足，所以其解集不为，故B错误；对于D，令，则，满足，所以其解集不为，故D错误；对于C，由得，即，解得，故其解集为，故C正确.故选：C.21．已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立；反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立．所以“”是“”的充分非必要条件．故选：A．22．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压（单位：kPa）的分组区间为，.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数是（

）.A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】由直方图可得第一组与第二组的频率之和为，第一组和第二组共有20人，所以样本容量为，所以第三组的人数为人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组有疗效的有12人.故选：B.23．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误；C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确；D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误；故选：C.24．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】依题意，设年平均利润为，则（），当时，当且仅当，即时取等号；当时，则当时取得最大值且，又，所以当时年平均利润取得最大值.故选：C25．设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（

）A．函数是偶函数B．函数的图像关于直线对称C．函数在上是严格增函数D．函数在上的值域为【答案】D【解析】因为，将函数的图像沿轴向右平移个单位得到，又，所以为奇函数，故A错误；因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误；当时，因为在上单调递减，所以函数在上是严格增减函数，故C错误；当时，所以，则，即函数在上的值域为，故D正确.故选：D26．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（

）（1），（2），（3）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】因为，，由②得，即，故，即，由③得，（1）正确；，，由②得，故，（2）正确；若，则，若，则，若且，因为，，由②得，由③得，，又，由②得，由③得，由②得，（3）正确.故选：D三、解答题27．如图，在四面体中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小.解：（1）在四面体中，由，是的中点，得，而平面，所以平面.（2）由（1）知，是二面角的平面角，在等腰中，，，则，同理，而，因此是正三角形，，所以二面角的大小为.28．已知函数．（1）若，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．解：（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由，得，化简得，即，则∈[﹣1，1]，所以，函数f（x）的零点为；（2）函数f（x）的定义域为[﹣