函数的单调性与最值

#函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义..会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.基础知识自主学习 回扣星批知识训母星科近目一■知识梳理.函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y=f(x)的定义域为A,区间MMA，如果取区间M中任意两个值x1，x2,改变量Ax=x2—x/O,则当A.y=f(x2)—f(xJ>0时，就称函数y-f(x)在区间M上是增函数A.y=fx2)—f(x])<0时，就称函数y=f(x)在区间M上是减函数图象.. *'郢)自左向右看图象是上升的：yUi)通珀-~i； x自左向右看图象是下降的.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间..函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xeI，都有f(x)WM；(2)存在x0eI，使得fx0巨M(3)对于任意的xeI，都有f(x)2M；(4)存在x0eI，使得fx0巨M结论M为最大值M为最小值【概念方法微思考】.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论?提示对V%1,%2-'+”>0=f(%)在D上是增函数,减函数类似•.写出对勾函数y=%+a(a>0)的增区间.提示(一8,一，a］和［为:a,+8).■基础自测题组一思考辨析.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)若定义在R上的函数f(%)，有f(—1)<(3),则函数f(%)在R上为增函数.(X)(2)函数y=f(%)在［1,+8)上是增函数，则函数的单调递增区间是［1,+8).(X)(3)函数y=1的单调递减区间是(一8,0)U(0,+8).(X)%(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.(X)⑸所有的单调函数都有最值.(X)题组二教材改编.函数f(%)=%2—2%的单调递增区间是..函数y=之在［［2,,3］］上的最大值是 .%—1答案2.若函数f(%)=%2—2m%+1在［2,+8)上是增函数，则实数m的取值范围是.答案(一8,2］解析由题意知，［2,+8)C［m,+8), mW2.题组三易错自纠.函数y=10g1(%2—4)的单调递减区间为..若函数f(%)=1%—a1+1的增区间是［2,+8),则a=..函数y=f(%)是定义在［［—2,,,2川上的减函数，且f(a+1)<f(2a)，则实数a的取值范围是.P，%力，.函数f(%)=1% 的最大值为 .、一%2+2,%<1题型分类深度剖析司亚身迎浑度剖析莹点电点塞维探究题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(%)=ln(%2-2x—8)的单调递增区间是( )A.(—8,-2) B.(—8,1)C.(1,+8) D.(4,+8)(2)函数y=—%2+21%1+3的单调递减区间是.命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f(x尸ax2+1(其中1<a<3)在[[1,,2]]]上的单调性.x引申探究如何用导数法求解本例？2ax3—1解f(x)=2ax-x2= x2 ，因为1WxW2,所以1Wx3W8,又1<a<3,所以2ax3—1>0,所以f(x)>0,所以函数f(x尸ax2+1(其中1<a<3)在[1,2]上是增函数.x思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“U”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1(1)下列函数中，满足“Vx1,x2G(0,+8)且x1Wx2,(x1—xJfx1)—f(x2)]<0"的是()A.f(x)=2x B.f(x)=1x—11,C.f(x)=x—x D.f(x)=ln(x+1)

(2)函数f(x)=(a—1)x+2在R上单调递增，则函数g(x)=ax-21的单调递减区间是(3)函数f(x)=1x—21x的单调递减区间是.题型二函数的最值 三x2—1•函数y=二二的值域为 •x2+1.函数尸x+3—2的最大值为..函数y=1x+11+1x—21的值域为4.4.函数尸盘一的值域为.函数f(x)=(3)x—log2(x+2)在区间[[—1,,1川上的最大值为.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[[0,,1]]]上的最大值是M，最小值是m，则M—m()A.与a有关，且与b有关.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.cx+d(4)分离常数法：形如求y=-TT(ac士0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.ax+b命题点1比较函数值的大小多维

探究(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等命题点1比较函数值的大小多维

探究例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[[f(x2)—f(x/Mx2—x1)<0恒成立，设a=人一b=f⑵，c=f(3)，则a,b,c的大小关系为( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c命题点2解函数不等式例4设函数f(x)是奇函数，且在(0,+8)内是增函数，又f(—3)=0,则f(x)<0的解集是(){x|—3<x<0或x>3}{xIx<—3或0<x<3}{xIx<—3或x>3}{xI—3<x<0或0<x<3}

命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018.全国11)若f(x)=cosx—sinx在［［［0,a］］上是减函数，则a的最大值是( )A.；B.2C.3nD.nI- 乙 I-一1(2)已知函数f(x)=<x2+a——(2)已知函数f(x)=<2 若f(x)在(0,+8)上单调递增，则实数a的取值范围为〔ax—a,x>1,⑶(2018呼伦贝尔模拟)已知函数f(x)=log2(x2—ax+3a)在［2,+8)上是增函数，则实数a的取值范围是思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间［a，b］上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(2—a)x+1,x<1, f(x)—f(x\跟踪训练2(1)如果函数f(x)=/ 、 满足对任意xwx，都有xqx2>0成立，那么a的取值范围是ax,x?1 1 2 x1—x2(2)已知函数f(x)是定义在区间［0,+8)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x—1)<砂的x的取值范围是课时作业力基础保分练1.下列函数中，在区间(0，+8)上为增函数的是()y—ln(x+2) B.y——\'x+1

C.2.已知函数f(x)=\x22-2xC.2.已知函数f(x)=\x22-2x-3，则该函数的单调递增区间为()A.8，1]B.[3，+8)C.8，-1]D.[1，+83.设偶函数fx)的定义域为R，当x£[0，+8)时)f(x)是增函数，则f-2)，fn)，f^-3)的大小关系是()A.fg>f—3)>(-2)f(n)决-2)>(-3)f(n)<(-3)<(-2)f(n)<f-2)<f-3)则则a的取值范围是()4.已知函数fx)=

(1-2a)x，xW1,」,1 「logax+3，x>1，B13，c(0，1昭，3]5.一2—x函数f(x)—x+1，xe(m，九]的最小值为0则m的取值范围是(A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)6.已知函数f(x)=log2x，x+c,x<1则“C=—1”是“函数f(x)在R上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a—，b—flog24.1)，c—f(20.8)，则a，b，c的大小关系为8.已知函数y=log2(ax-1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是,9•记min{a,b}―若f(x)—min{x+2,10-x}(x20)9•记min{a,b}―10.设函数f(x)―—x2+4x，10.设函数f(x)―嗔x，x>4,若函数日(x)在区间(a，a+1)上单调递增，则实数a的取值范围是一， x.11.已知f(x)—x-a(x丰a).

(1)若a=-2,试证f(x)在(一8,-2)上单调递增；了(x),x>0,

-fx),x<0.了(x),x>0,

-fx),x<0.12.(2018-盘锦调研)设函数f(x尸ax2+bx+1(a,bGR),F(x尸(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)20成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当xG[[[-2,,2]]]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围.力技能提升练13.已知函数f(x)=x3,x13.已知函数f(x)=x3,xW0,ln(x+1),x>0若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是()A.8,-1)U(2,+8)B.(-8,-2)U(1-8)C.(-1,2)D.(-2,1)14.已知f(x)=x2-4x+3,xW0,—x2-2x+3,x>0,不等式f(x+a)>f(2a-x)在[