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文档简介

陕西省师范大学附属中学2025届高三第一次调研测试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列an满足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.192.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则3.已知命题若,则,则下列说法正确的是()A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若,则”D.命题的逆否命题是“若,则”4.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.05.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.6.已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是()A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点7.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.8.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件9.已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知双曲线的右焦点为,若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且点到该渐近线的距离为,则双曲线的实轴的长为A. B.C. D.11.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.12.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A.k2+1C.k2+1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某班星期一共八节课(上午、下午各四节,其中下午最后两节为社团活动),排课要求为:语文、数学、外语、物理、化学各排一节,从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则不同的排法有__________种.14.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是__________.15.设随机变量服从正态分布,若,则的值是______.16.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,则双曲线C的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩阵,二阶矩阵满足.(1)求矩阵;(2)求矩阵的特征值.18.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.19.(12分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.20.(12分)已知函数,.(1)求的值;(2)令在上最小值为,证明:.21.(12分)已知数列满足,,数列满足.(Ⅰ)求证数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前项和.22.(10分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,,是棱中点.(1)已知点在棱上,且平面平面,试确定点的位置并说明理由;(2)设点是线段上的动点,当点在何处时,直线与平面所成角最大?并求最大角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【详解】解:an即a1=an⩾6时,a1a1两式相除可得1+a则an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整数k(k⩾5)时,要使得a1则ak+1则k=17,故选:B.【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法,注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系,从而可简化与数列相关的方程,本题属于难题.2、D【解析】试题分析:,,故选D.考点:点线面的位置关系.3、B【解析】

解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;命题的否命题是“若,则”,C选项错误;命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查四种命题的关系,考查推理能力,属于基础题.4、C【解析】

集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.5、A【解析】

先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,,得,所以的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.6、A【解析】

根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,,,又,,平面,又平面,故在以为直径的圆上,又是内异于的动点,所以的轨迹是圆,但要去掉两个点A,B故选:A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定,圆的性质,轨迹问题,属于中档题.7、D【解析】

由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.8、A【解析】

根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0满足l1∥l2,即充分性成立,当m=0时,两直线方程分别为y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不满足条件.当m≠0时,则l1∥l2⇒,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,则m=1,即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件,故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答,直线和直线平行,则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.9、D【解析】

设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.10、B【解析】

双曲线的渐近线方程为,由题可知.设点,则点到直线的距离为,解得,所以,解得,所以双曲线的实轴的长为,故选B.11、A【解析】

投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.12、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故选:C.【点睛】本题主要考查数学归纳法,属于中档题./二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1344【解析】

分四种情况讨论即可【详解】解:数学排在第一节时有:数学排在第二节时有:数学排在第三节时有:数学排在第四节时有:所以共有1344种故答案为:1344【点睛】考查排列、组合的应用,注意分类讨论,做到不重不漏;基础题.14、【解析】

问题转化为求直线与圆有公共点时,的取值范围,利用数形结合思想能求出结果.【详解】解:直线,点,,直线上存在点满足,的轨迹方程是.如图,直线与圆有公共点,圆心到直线的距离:,解得.实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于中档题.15、1【解析】

由题得,解不等式得解.【详解】因为,所以,所以c=1.故答案为1【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,,由可得,等式两边同除可得,解得(舍);当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)特征值为或.【解析】

(1)先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.(2)令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值.【详解】解:(1)设矩阵由题意,因为,所以,即所以,(2)矩阵的特征多项式,令,解得或,所以矩阵的特征值为1或.【点睛】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.18、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为;(Ⅱ)由题意可得面积函数为为,求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析:(I)当时,化为,当时,不等式化为,无解;当时,不等式化为,解得;当时,不等式化为,解得.所以的解集为.(II)由题设可得,所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,的面积为.由题设得,故.所以a的取值范围为19、(1)(2)见解析【解析】

(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数,即,整理.设直线的方程为,与椭圆联立,将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得,,又,解得,.所以,椭圆的方程为(2)存在定点,满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为,与椭圆联立,整理得,.设,,定点.(依题意则由韦达定理可得,,.直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数.所以,,即得.又,,所以,,整理得,.从而可得,,即,所以,当,即时,直线与直线恰关于轴对称成立.特别地,当直线为轴时,也符合题意.综上所述,存在轴上的定点,满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,熟记椭圆方程简单性质,熟练转化题目条件,准确计算是关键,是中档题.20、(1);(2)见解析.【解析】

(1)将转化为对任意恒成立,令,故只需,即可求出的值;(2)由(1)知,可得,令,可证,使得,从而可确定在上单调递减,在上单调递增,进而可得,即,即可证出.【详解】函数的定义域为,因为对任意恒成立,即对任意恒成立,令,则,当时,,故在上单调递增,又,所以当时,,不符合题意;当时,令得,当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以要使在时恒成立,则只需,即,令,,所以,当时,;当时,,所以在单调递减,在上单调递增,所以,即,又,所以,故满足条件的的值只有(2)由(1)知,所以,令,则,当,时,即在上单调递增;又,,所以,使得,当时,;当时,,即在上单调递减,在上单调递增,且所以,即,所以,即.【点睛】本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处

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