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文档简介
山东省莱州一中2025届高三第二次调研数学试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知f(x)=是定义在R上的奇函数,则不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集为()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)2.已知是边长为的正三角形,若,则A. B.C. D.3.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()A.点M在圆C上 B.点M在圆C外C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B.C. D.5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.6.已知集合,,,则()A. B. C. D.7.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()A. B. C. D.8.若复数满足,则的虚部为()A.5 B. C. D.-59.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.10.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.已知直线:()与抛物线:交于(坐标原点),两点,直线:与抛物线交于,两点.若,则实数的值为()A. B. C. D.12.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:①它的图象关于直线x=对称;②它的最小正周期为;③它的图象关于点(,1)对称;④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数()的图象与直线相切,则______.14.已知随机变量服从正态分布,,则__________.15.学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“作品获得一等奖”;乙说:“作品获得一等奖”;丙说:“,两项作品未获得一等奖”;丁说:“是或作品获得一等奖”,若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是___.16.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,则数列{}前2020项和为_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中为实常数.(1)若存在,使得在区间内单调递减,求的取值范围;(2)当时,设直线与函数的图象相交于不同的两点,,证明:.18.(12分)如图,直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点,直线y=p2与(1)求p的值;(2)设A是直线y=p2上一点,直线AM2交抛物线于另一点M3,直线M1M19.(12分)如图,在四棱锥中,是边长为的正方形的中心,平面,为的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为.(1)求线段长的最小值;(2)求点的轨迹方程.21.(12分)已知函数,且.(1)若,求的最小值,并求此时的值;(2)若,求证:.22.(10分)设椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,点D在椭圆C上,的周长为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过圆上任意一点P作圆E的切线l,若l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,求证:为定值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由奇函数的性质可得,进而可知在R上为增函数,转化条件得,解一元二次不等式即可得解.【详解】因为是定义在R上的奇函数,所以,即,解得,即,易知在R上为增函数.又,所以,解得.故选:C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用,考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.2、A【解析】
由可得,因为是边长为的正三角形,所以,故选A.3、B【解析】
根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件,利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交,圆心到直线的距离,即.也就是点到圆的圆心的距离大于半径.即点与圆的位置关系是点在圆外.故选:【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质,考查点到直线距离公式的应用,属于中档题.4、B【解析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征,然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知,该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的,如图,故其表面积为,故选:B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.5、A【解析】
根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.6、A【解析】
求得集合中函数的值域,由此求得,进而求得.【详解】由,得,所以,所以.故选:A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法,考查集合补集、交集的概念和运算,属于基础题.7、B【解析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的,且按顺时针转所形成的角为负角,综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为.故选:B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.8、C【解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虚部为.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.9、D【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.10、D【解析】
求出命题不等式的解为,是的必要不充分条件,得是的子集,建立不等式求解.【详解】解:命题,即:,是的必要不充分条件,,,解得.实数的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围,其思路方法:(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验.11、D【解析】
设,,联立直线与抛物线方程,消去、列出韦达定理,再由直线与抛物线的交点求出点坐标,最后根据,得到方程,即可求出参数的值;【详解】解:设,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故选:D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用,弦长公式的应用,属于中档题.12、B【解析】
根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由图象的平移变换公式知,函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为,故②正确;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④错误;故选:B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质;考查运算求解能力和整体代换思想;熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设,因为,所以,即,又,.所以,即,.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.14、0.22.【解析】
正态曲线关于x=μ对称,根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题.15、C【解析】
假设获得一等奖的作品,判断四位同学说对的人数.【详解】分别获奖的说对人数如下表:获奖作品ABCD甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数3021故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理,常用方法有:1、直接推理结果,2、假设结果检验条件.16、【解析】
由已知可得•4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂项求和方法即可得出.【详解】∵⊥,∴•4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.,满足上式,.∴2().∴数列{}前2020项和为2(1)=2(1).故答案为:.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
(1)将所求问题转化为在上有解,进一步转化为函数最值问题;(2)将所证不等式转化为,进一步转化为,然后再通过构造加以证明即可.【详解】(1),根据题意,在内存在单调减区间,则不等式在上有解,由得,设,则,当且仅当时,等号成立,所以当时,,所以存在,使得成立,所以的取值范围为。(2)当时,,则,从而所证不等式转化为,不妨设,则不等式转化为,即,即,令,则不等式转化为,因为,则,从而不等式化为,设,则,所以在上单调递增,所以即不等式成立,故原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式,这里要强调一点,在证明不等式时,通常是构造函数,将问题转化为函数的极值或最值来处理,本题是一道有高度的压轴解答题.18、(1)p=4;(2)OA⋅【解析】试题分析:(1)联立直线的方程和抛物线的方程y=2x-2x2=2py,化简写出根与系数关系,由于直线y=p2平分∠M1FM2,所以kM1F+kM2F=0,代入点的坐标化简得4-(2+p2)⋅x试题解析:(1)由y=2x-2x2=2py设M1(x1,因为直线y=p2平分∠M所以y1-p所以4-(2+p2)⋅x1+x(2)由(1)知抛物线方程为x2=8y,且x1+x设M3(x3,x328所以x2+x整理得:x2由B,M3,②式两边同乘x2得:x即:16x由①得:x2x3即:16(x2+所以OA⋅考点:直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现,所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立y=2x-2x2=2py,相当于得到M1,M2的坐标,但是设而不求.根据直线y=p219、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正方形的性质得出,由平面得出,进而可推导出平面,再利用面面垂直的判定定理可证得结论;(Ⅱ)取的中点,连接、,以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法能求出二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)是正方形,,平面,平面,、平面,且,平面,又平面,平面平面;(Ⅱ)取的中点,连接、,是正方形,易知、、两两垂直,以点为坐标原点,以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系,在中,,,,、、、,设平面的一个法向量,,,由,得,令,则,,.设平面的一个法向量,,,由,得,取,得,,得.,二面角为钝二面角,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20、(1)(2)【解析】
(1)将曲线的方程化成直角坐标方程为,当时,线段取得最小值,利用几何法求弦长即可.(2)当点与点不重合时,设,由利用向量的数量积等于可求解,最后验证当点与点重合时也满足.【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心,半径,曲线为过定点的直线,易知在圆内,当时,线段长最小为当点与点不重合时,设,化简得当点与点重合时,也满足上式,故点的轨迹方程为【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程,属于基础题.21、(1)最小值为,此时;(2)见解析【解析】
(1)由已知得,法一:,,根据二次函数的最值可求得;法二:运用基本不等式构造,可得最值;法三:运用柯西不等式得:,可得最值;(2)由绝对值不等式得,,又,可得证.【详解】(1),法一:,,的最小值为,此时;法二:,,即的最小值为,此时;法三:由柯西不等式得:,,即的最小值为,此时;(2),,又,.【点睛】本题考查运用基本不等式,柯西不等式,绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值,属于中档题.22、(1
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