2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高三上学期11月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高三上学期11月月考数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．2.已知数列，则“”是“为等差数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）．A．B．C． D．4.已知，，，则（

）A． B． C． D．5.向量在向量上的投影为，且，则（

）A． B． C． D．6.已知，则（）A.1 B.2 C.3D.27.若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（

）A．3 B．6 C．9 D．188.对，不等式恒成立，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（

）A．a=0.005B．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50C．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.2510.设复数，，则（

）A．的虚部为B．的共轭复数为C．D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限11.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．若，则的最小值是1D．把的图象向右平移2个单位长度，所得图象与函数的图象关于轴对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，与的夹角为，则________．13.正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为________．14.在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）如图，三角形中，角、、的对边分别为、、(1)若，求角的余弦值大小；(2)已知、，若为三角形外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.16.（15分）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，且底面，与底面成角，且．（1）求证：；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．17.（15分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，说明理由．18.（17分）踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为13；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为13，12，16；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为13，12，16；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为13，16，12.假设毽子一直没有掉地上，经过n次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为an(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为X，求X的分布列；(2)证明an−119.（17分）已知，函数，.（1）当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；（2）若，求证.数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.1．已知集合，，，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．【正确答案】C.2.已知数列，则“”是“为等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】B3.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）．A．B．C． D．【正确答案】A4.已知，，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D5.向量在向量上的投影为，且，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A6.已知，则（）A.1 B.2 C.3 D.2【正确答案】C7.若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（

）A．3 B．6 C．9 D．18【正确答案】C8.对，不等式恒成立，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】D【详解】由得，对于选项A、B，若，可令，不等式可化为，当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，∴，当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，∴，∴，当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，∴，综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误.对于选项C、D，若，∵∴，∴，要使不等式恒成立，则需，∵函数在为增函数，∴函数有相同的零点，由得，由得，，∴，即，∴，∴，选项D正确.故选D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（

）A．a=0.005B．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50C．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25【正确答案】AD10.设复数，，则（

）A．的虚部为B．的共轭复数为C．D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限【正确答案】ABD11.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．若，则的最小值是1D．把的图象向右平移2个单位长度，所得图象与函数的图象关于轴对称【正确答案】ACD【详解】由图可知，，则，又及函数在上单调递减，所以，所以，又函数过点，所以，所以，解得，又且，即，即，所以，所以，所以；对于A：，又，，即，又在上单调递增，所以，即，所以，则，故A正确；对于B：当时，又在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C：令，即，则或，解得或，又，则的最小值是，故C正确；对于D：把的图象向右平移个单位长度得到，又，所以与关于轴对称，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，与的夹角为，则________．【正确答案】13.正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为________．【正确答案】14.在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为．【正确答案】取外心，外心，中点为，则，，面，面所以，，设，由正弦定理得，余弦定理得，所以，所以由正弦定理得，即，所以，，，在四边形中，，，当且仅当时等号成立，所以三棱锥外接球表面积最小值为，故答案为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）如图，三角形中，角、、的对边分别为、、(1)若，求角的余弦值大小；(2)已知、，若为三角形外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；（2）由余弦定理得到的关系式，利用基本不等式求得，即得周长的最大值.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得即，则，整理得，而，即.（6分）（2）在中，，由余弦定理得，即，于是，解得，当且仅当时取等号，所以当时，周长取得最大值.16.（15分）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，且底面，与底面成角，且．（1）求证：；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．【正确答案】（1）证明见解析（2）．【分析】（1）应用空间向量法证明线线垂直；（2）应用空间向量法求线面角正弦计算即可得出边长关系.【小问1详解】如图，以点为原点，直线为轴，直线为轴建立坐标系．那么，，，，．故，因为，所以，即．【小问2详解】因为，所以，故，所以平面，故平面的法向量设直线与平面所成角为，则：整理得，即．17.（15分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，说明理由．(1)证明在△ABC中，因为BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)解假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(－2,2eq\r(3)，0)，P(1,0，eq\r(3))，则eq\o(AD,\s\up6(→）＝(－2,2eq\r(3)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→）＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→）＝(－4,2eq\r(3)，0)，eq\o(DP,\s\up6(→）＝(3，－2eq\r(3)，eq\r(3))，设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AD,\s\up6(→）＝－2x1＋2\r(3)y1＝0，,n1·\o(AP,\s\up6(→）＝x1＋\r(3)z1＝0，）取n1＝(eq\r(3)，1，－1)．设eq\o(DQ,\s\up6(→）＝λeq\o(DP,\s\up6(→），其中0≤λ≤1.则eq\o(BQ,\s\up6(→）＝eq\o(BD,\s\up6(→）＋eq\o(DQ,\s\up6(→）＝eq\o(BD,\s\up6(→）＋λeq\o(DP,\s\up6(→）＝(3λ－4，2eq\r(3)－2eq\r(3)λ，eq\r(3)λ)，连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，所以AC∥EF.取与eq\o(EF,\s\up6(→）同向的单位向量j＝(0,1,0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·j＝y2＝0，,n2·\o(BQ,\s\up6(→）＝3λ－4x2＋2\r(3)1－λy2＋\r(3)λz2＝0，）取n2＝(eq\r(3)λ，0,4－3λ)．由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2，则n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，解得λ＝eq\f(2,3).故在侧棱PD上存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD，eq\f(PQ,QD)＝eq\f(1,2).18.（17分）踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为13；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为13，12，16；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为13，12，16；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为13，16，12.假设毽子一直没有掉地上，经过n次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为X，求X的分布列；(2)证明an−1【正确答案】(1)分布列见解析(2