2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学检测试卷第Ⅰ卷选择题（68分）一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有1个选项符合题意。1．集合A=yy=x2,x∈RA．∅ B．R C．0,1 D．−2．已知复数z=2i1−iA．z=2 B．zC．z在复平面对应的点位于第三象限 D．z3．设向量a=x+1,x,A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x=−3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x=−1+34．设等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1<0，S7=A．10 B．12 C．15 D．245．若tan(α+π4)=−3,tanA．−1 B．75 C．35 6．已知函数fx=ex−1exA．1,+∞ B．−∞,−2 C．−7．将函数fx=cosωx+φω>0,φ<π2的图象向左平移πA．fx在区间2π3,πC．f12>f8．已知圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=2，点P在直线y=x+3上，线段AB为圆C的直径，则A．2 B．52 C．3 D．9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−1−1,0<x≤212A．−4 B．4 C．8 D．−4或810．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(3−x)=4,f(x)的导函数为g(x)，函数y=g(1+3x)−1为奇函数，则f3A．−3 B．3 C．−1 D．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的4个选项中有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A．a2+bC．log2a+log12．等差数列an中，a1>0A．若a3+B．若S15>0，SC．若a1+a2D．若a8=S1013．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（

）A．BGB．AD在AB向量上的投影向量为2C．若OA⋅FC=1+2D．若P在线段BC上，且AP=xAB+yAH第=2\*ROMANII卷非选择题（82分）三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。14．函数f(x)=x3−2lnx15．设函数fx=sinωx+π6ω>016．设A,B,C是一个三角形的三个内角，则cosA3sin四、解答题：本题共4小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（16分）已知向量m=3sinx2,sinx2(1)求常数a的值；(2)求函数fx18．（16分）已知函数f(x)=ln(1)讨论fx(2)当a<0，证明：f(x)≤−219．（16分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足1−sin(1)求证：A+2B=π(2)求a220．（16分）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π(1)将复数eπ3i+eπi表示成(2)求eπ(3)若zn=1，则z=zkk=0,1,2,⋯,n−1，这里zk=cos2kπn+isin2kπ高三期中数学解析一、单选题1．集合A=yy=x2,x∈RA．∅ B．R C．0,1 D．−【正确答案】C【分析】化简集合A,B，根据交集的定义计算A∩B．【详解】因为集合A=y|y=化简B=x|y=1−x,故选：C．2．已知复数z=2i1−A．z=2 B．zC．z在复平面对应的点位于第三象限 D．z【正确答案】A【分析】根据复数的运算法则，化简得到z=−1+i【详解】由复数z=2对于A中，由z=对于B中，复数z=−1+i的虚部为1对于C中，复数z=−1+i在复平面内对应的点为Z(−1,1)对于D中，复数z=−1+i的共轭复数为z故选：A.3．设向量a=x+1,x,A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x=−3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x=−1+3【正确答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A，当a⊥b时，则所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或−3，即必要性不成立，故A错误；对C，当x=0时，a=1,0,所以a⊥对B，当a//b时，则2(x+1)=x对D，当x=−1+3时，不满足2(x+1)=x2故选：C.4．设等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1<0，S7=A．10 B．12 C．15 D．24【正确答案】B【分析】根据前n项和的定义结合等差数列性质可得a12+a【详解】因为S7=S又因为数列an为等差数列，则a可得5a12+且a1<0，可知即当n≤12时，an<0；当n≥13时，所以当Sn取得最小值时，n故选：B.5．若tan(α+π4)=−3,tanA．−1 B．75 C．35 【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出tanα【详解】由tan(α+π4)=−3，得tanα+1所以cos(α−β)故选：B6．已知函数fx=ex−1exA．1,+∞ B．−∞,−2 C．−【正确答案】C【分析】先用定义法证明fx为奇函数，化简f(x)解析式可知f(x)【详解】因为f−x=e又因为fx所以fx为R因为fm2+f所以fm又fx为R上的增函数，所以m即m2+m−2>0，解得m<−2或所以实数m的取值范围为−∞故选：C.7．将函数fx=cosωx+φω>0,φ<π2的图象向左平移πA．fx在区间2π3,πC．f12>f【正确答案】D【分析】根据三角函数平移变换原则可知gx=cosωx+π3ω+φ；根据图象、gx的对称轴和对称中心可确定最小正周期T，从而得到ω；由gx【详解】由题意知：gx由图象可知：T4<π3，则∴T=4×0+π4∵gx为奇函数，∴解得：φ=−π6+kπk∈Z，又φ对于A，当x∈2π3,π时，2x−π对于B，fπ对于C，f12=∵y=cosx在0,π2上单调递减，对于D，f−1=cos∵y=cosx在π2∴0>cos2+π6>故选：D.8．已知圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=2，点P在直线y=x+3上，线段ABA．2 B．52 C．3 D．【正确答案】B将PA⋅PB转化为|PC|2【详解】PA⋅PB=(PC+本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−1−1,0<x≤212A．−4 B．4 C．8 D．−4或8【正确答案】D【分析】根据函数的解析式作出函数在x≥0时图象，换元f(x)=t解方程可得t=a或t=1，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分t=a=12与【详解】作出函数在x≥0时的图象，如图所示，

设f(x)=t，则关于x的方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0(a∈解得：t=a或t=1，如图，

当t=1时，即f(x)=1对应一个交点为x1（1）t=a=12，即f(x)=1此时4个实数根之和为8；（2）t=a=−12，即f(x)=−1此时4个实数根之和为−4.故选：D解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解t=a或t=1，第二结合函数图象处理方程f(x)=t有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.10．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(3−x)=4,f(x)的导函数为g(x)，函数y=g(1+3x)−1为奇函数，则f32+gA．−3 B．3 C．−1 D．1【正确答案】B【分析】根据题意，利用赋值法分析f32的值，对f(x)+f(3−x)=4求导，结合g(x)的对称性分析g(x)的周期，分析求出【详解】根据题意，f(x)满足f(x)+f(3−x)=4，令x=32可得：f3又由f(x)+f(3−x)=4，两边同时求导可得：f′(x)−f因为函数y=g(1+3x)−1为奇函数，所以g(1−3x)−1=−[g(1+3x)−1]=−g(1+3x)+1，即，g(1−3x)+g(1+3x)=2所以g(x)的图象关于点(1,1)对称，则有g(x)+g(2−x)=2②，且g(1)=1，联立①②可得：g(3−x)+g(2−x)=2，变形可得g(x)+g(x+1)=2，则有g(x+1)+g(x+2)=2，综合可得：g(x+2)=g(x)，即函数g(x)是周期为2的周期函数，所以g(2024)=g(2)=g(1)=1，故f3故选：B.关键点点睛：本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及导数的计算，解题的关键在于利用导数、奇偶性求解函数g(x)的周期.二、多选题11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A．a2+bC．log2a+log【正确答案】ABD【分析】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，a2+b当且仅当a=b=1对于B，a−b=2a−1>−1，所以2a−b对于C，log2当且仅当a=b=1对于D，因为a+所以a+b≤故选：ABD本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12．等差数列an中，a1>0A．若a3+B．若S15>0，SC．若a1+a2D．若a8=S10【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得.【详解】等差数列an中，a对于A，a3+a对于B，S15=15(a1则a8+a9<0，a对于C，a5+a对于D，设an的公差为d，由a8=S10则S9=9a故选：ACD13．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（

）A．BGB．AD在AB向量上的投影向量为2C．若OA⋅FC=1+2D．若P在线段BC上，且AP=xAB+yAH【正确答案】BD【分析】以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算BG≠2AH，A错误，投影向量为22【详解】如图所示：以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，设OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a，则2=a2+A0,−aG−a,0，H−2对选项A：BG=−a−22a,对选项B：AD=D22AD⋅ABAB对选项C：OA⋅PA⋅OA⋅FC=1+2对选项D：AP=x0,yAP=xAB+y整理得到x+y=y0+aa−2故选：CD关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.三、填空题14．函数f(x)=x3−2lnx【正确答案】x−y=0【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果.【详解】由题意可知，f1=1，则切点为1,1，因为f′所以fx在点1,1处的切线斜率为1，则切线方程为y−1=1⋅x−1故x−y=015．设函数fx=sinωx+π6ω>0【正确答案】7【分析】利用正弦函数的性质解不等式即可.【详解】x∈0,π，则f(x)在区间0,π恰有三个极值点，两个零点，则5π解得73故7316．设A,B,C是一个三角形的三个内角，则cosA3sin【正确答案】−【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到ft【详解】cos=cos令3+4cos所以cosA要想cosA3sinB+4sin于是有a2设fA因为cosA<0所以f令cosA=t−1<t<0，即当−1<t<−2536时，f′当−2536<t<0时，f因此当t=−2536时，函数ft所以fA的最小值为−此时cosA=−2536即存在tanθ=6712>1,θ∈π即cosA3sin故−关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题，最后利用辅助角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值.四、解答题17．已知向量m=3sinx2,sinx2(1)求常数a的值；(2)求函数fx【正确答案】(1)3(2)2π【分析】（1）根据向量数量积运算、二倍角和辅助角公式可化简fx，根据正弦型函数最大值可构造方程求得a（2）采用整体代换的方式，构造不等式π2【详解】（1）∵m∴fx=2sinx−π6（2）由（1）知：fx令π2+2kπ∴fx的单调递减区间为2π318．已知函数f(x)=ln(1)讨论fx(2)当a<0，证明：f(x)≤−2【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论a≥0与a<0时f(x)的单调性即可.（2）求出f(x)max，将所证转化为fx【详解】（1）∵f(x)=lnx+ax则f′①当a≥0时，f′x>0，f②当a<0时，当x∈0,−1a时，f′x当x∈−1a,+∞时，f综上，①当a≥0时，fx在0,+②当a<0时，fx在0,−1a上单调递增，在（2）由（1）可得，当a<0时，f(x)要证fx只需证fx即证ln−令t=−1a，gt当t∈0,1时，g′t当t∈1,+∞时，g′∴gt的最大值为g1=0∴ln−∴原命题得证.即：当a<0时，fx≤−19．△ABC的内