湖南省湘西州2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

湖南省湘西州2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．关于x的方程x2−mx−6=0的一个根为x=−3，则实数A．−1 B．1 C．−5 D．52．抛物线y=3(x−2)A．−2,5 B．2,5 C．−3,5 D．−2,−53．下列标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A． B．C． D．4．⊙O的直径为6，直线l上有一点P满足OP=3，则l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交5．某商品原价为200元，连续两次平均降价的百分率为x，连续两次降价后售价为146元，下面所列方程正确的是（）A．200(1+x)2=146C．2001−2x=146 6．关于x的一元二次方程x2−4x−2a=0有两个不相等实数根，则A．a≥−2且a≠0 B．a>−2C．a≥−2 D．a>−2且a≠07．函数y=ax2与A． B．C． D．8．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B'，那么AA．6,2 B．2,6 C．2,−6 D．6,−29．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA,D是优弧BC上一点，如果∠AOB=58°，那么∠ADC的度数为（）A．32° B．29° C．58° D．26°10．下列说法正确的是（）A．“三点确定一个圆”是真命题B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为12C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等D．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为111．探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程2x2=x+2的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和A．公理化 B．分类讨论C．数形结合 D．由特殊到一般12．如图，在矩形ABCD中，CD=2,∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径DE，则图中阴影部分的面积是（）A．23π−23 B．13π−313．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤514．已知二次函数y=mx①已知点M4,y1，点N−2,y2在二次函数的图象上，则y1>y2；②该图象一定过定点5,1和−1,1；③直线y=x−1与抛物线y=mxA．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）15．写出一个一元二次方程，满足其中一个根是1，这个方程可以是．16．某二次函数的图象过点0,−8，−3,7利5,7，则此二次函数的图象的对称轴为．17．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中3个红球，2个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是.18．如图，等边△ABC的边长为4,D是AC上一点，过点D作BC的垂线，交BC于E，用x表示线段BE的长度，显然，Rt△CDE的面积y是线段x的二次函数，则这个函数顶点式是19．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△AOB绕点O逆时针方向旋转106°得到△OA1B1，则20．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠E=30°，那么∠C=．三、解答题（本大题共7小题，共60分）21．解方程：（1）x2−2x−2=0； （2）22．叮叮和当当玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的3张黑桃牌的正面，将这3张牌正面朝下洗匀后放在桌上，叮叮先从中抽出一张，当当从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜，该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由．23．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？24．如图，△ABC在平面直角坐标系中，根据要求作答．（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B25．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PO交⊙O于点C，且PC=OC，⊙O上有一点B且∠POB=60°，连接PB．（1）判断△COA的形状，并说明理由；（2）求证：PB是⊙O的切线．26．阅读材料：材料1：如图，是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a>b>0，则根据图形可以得到等式(a+b)2材料2：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1材料3：已知实数m,n满足m2−m−1=0,n2−n−1=0，且m≠n根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程4x2−8x+1=0两个根为x1,（2）应用探究：一元二次方程4x2−8x+1=0两个根为x（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1=0，t2+9t+9=0，其中st≠127．抛物线y=23x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当△BCF面积S最大时，求点E的坐标及S的最大值．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2−mx−6=0的一个根为∴−32解得m=−1．故答案为：A．

【分析】将x=−3代入方程x2−mx−6=0可得2．【答案】B【解析】【解答】解：抛物线y=3(x−2)2+5故答案为：B．

【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵既是轴对称图形，又是中心对称图形，∴A不合题意；B、∵既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，∴B不合题意；C、∵不是轴对称图形，是中心对称图形，∴C符合题意；D、∵是轴对称图形，不是中心对称图形，∴D不合题意．故答案为：C．【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.4．【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交d<r；②直线l和⊙O相切d=r；③直线l和⊙O相离d>r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．【解答】解：如图所示，

当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d1=3=r，当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2<3=r，故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故答案为：D．

【分析】分类讨论：①OP垂直直线l，②OP不垂直直线l，再利用直线与圆的位置关系（①直线l和圆相交；②直线l和圆相切；③直线l和圆相离）分析求解即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：第一次降价后价格为200×1−a第二次降价后价格为200×1−a故答案为：B．

【分析】利用“降价两次后的价格=原价×（1-降价率）2”列出方程即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2∴Δ解得：a>−2．故答案为：B．

【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）列出不等式Δ=7．【答案】D【解析】【解答】解：∵y=ax2∴二次函数y=ax2开口向下，一次函数故答案为：D．

【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）和二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）分析求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B'∴∠AOA'=90°作AC⊥y轴于C，A'C'∴∠ACO=∠A∵∠COC∴∠AOA∴∠AOC=∠A在△ACO和△A'∠ACO=∠A∴△ACO≌△A∴AC=A'C∵A−2,6∴AC=2，CO=6，∴A'C∴A故答案为：A．【分析】作AC⊥y轴于C，A'C'⊥x轴于C'，先利用角的运算求出∠AOC=∠A'OC'，再利用“AAS”证出△ACO≌△A9．【答案】B【解析】【解答】解：∵BC⊥OA，∴AB∴∠ADC=1故答案为：B．

【分析】利用垂径定理可得AB⏜=AC10．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵“不在同一直线上的三点确定一个圆”是真命题，故原说法错误，∴A不符合题意；B、∵“抛一枚硬币正面朝上的概率为12”，每抛两次不一定有一次正面朝上，故原说法错误，∴C、∵同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误，∴C不符合题意；D、∵抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为16，此说法正确，∴故答案为：D．

【分析】利用真命题的定义、概率的计算方法和弧与弦的关系逐项分析判断即可.11．【答案】C【解析】【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想．故答案为：C．

【分析】利用数形结合的数学思想分析求解即可.12．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可知，CD=2，∠DBC=30°，∴BD=4，BC=4所以图中阴影部分的面积是30×π×42360−12×23×2=13．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，当AB与小圆相切时有一个公共点，

在Rt△A'DO中，OD=3，OA'=5，∴A'∴A'B'=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8≤AB≤10．故答案为：A．【分析】分类讨论：①当AB与小圆相切时有一个公共点，②当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，再分别求出此时AB的长，即可得到8≤AB≤10，从而得解.14．【答案】A【解析】【解答】解：二次函数y=mx且对称轴为直线x=−−4m①∵点M4,y1，点N∴y1>y②∵y=mx当y=1时，即1=mx解得：x=5或x=−1，该图象一定过定点5,1和−1,1；故②正确；③将y=x−1代入y=mx2−4mx−5m+1整理得，mx∴Δ=∴直线y=x−1与抛物线y=mx2−4mx−5m+1④当−3≤x≤1时，y随x的增大而增大，∴当x=−3时，y有最小值为m，即−32解得：m=−115，故综上，正确的有①②③，故答案为：A．

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.15．【答案】x2【解析】【解答】解：设一元二次方程为x2把x=1代入可得，1+b+c=0，所以只要aa≠0，b，c的值满足b+c=−1如：b=0，c=−1时，x2=1．

故答案为：x216．【答案】直线x=1【解析】【解答】解：∵二次函数的图象过点−3,7利5,7，∴二次函数的图象的对称轴为直线x=−3+5故答案为：直线x=1．【分析】利用二次函数图象的对称性可得对称轴为直线x=−3+517．【答案】3【解析】【解答】解：∵3个红球、2个白球一共是5个，∴搅拌均匀后从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是35故答案为：35【分析】利用红球的个数除以小球的总个数即得结论.18．【答案】y=【解析】【解答】解：∵正三角形ABC的边长为4，BE=x，DE⊥CB，∴CE=4−x，∠C=60°，∴∠CDE=90°−60°=30°∴CD=2EC=24−x∴DE=∴y=1∵D是AC上一点，∴0<4−x<2，即：2<x<4，∴y=3故答案为：y=3【分析】先利用等边三角形的性质可得CE=4−x，∠C=60°，利用角的运算求出∠CDE=90°−60°=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得CD=2EC=24−x=−2x+8，再利用勾股定理求出DE的长，最后利用三角形的面积公式可得19．【答案】76°【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针方向旋转106°得到△O∴∠∵∠AOB=30°∴∠A故答案为：76°．

【分析】先利用旋转的性质可得∠A1OA=106°，再结合∠AOB=30°20．【答案】15°【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：

∴OD=OA=OE，∵CD=OA，∠E=40°，∴CD=OD=OE，∴∠C=∠DOC，∠E=∠ODE，∴∠E=∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，∴2∠C=∠E=30°，∴∠C=15°．故答案为：15°．

【分析】利用等边对等角的性质可得∠C=∠DOC，∠E=∠ODE，利用三角形外角的性质可得∠E=∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，再结合∠E=30°求出∠C=15°即可．21．【答案】（1）解：x2−2x−2=0

x2−2x=2

x2−2x+1=3

x−12=3

∴（2）解：xx+2=6+3x

xx+2=3x+2

xx+2−3x+2=0

x+2x−3=0

【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.

（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.22．【答案】解：公平．理由如下：列表如下：36736,37,363,67,673,76,7共有6种等可能的结果数，其中当当抽出的牌面上的数字大的结果数为3，叮叮抽出的牌面上的数字大的结果数为3，所以当获胜的概率=叮叮获胜的概率=3所以该游戏公平．【解析】【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.23．【答案】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），

设抛物线解析式为：y=a(x﹣6)2+10，

将点B（0，4）代入，得：36a+10＝4，

解得：a=-16，

故该抛物线解析式为y=-16(x﹣6)2【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：y=a(x﹣6)2+1024．【答案】（1）解：如图所示，△A（2）解：如图所示，△A【解析】【分析】（1）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可.

（2）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出C225．【答案】（1）解：△COA是等边三角形．理由如下：∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥AO，∴∠PAO=90°，∵PC=OC，∴AC=1∴PC=CA=OC，∵CO=AC,OA=OC，∴OC=OA=AC，∴△COA为等边三角形；（2）证明：∵△COA为等边三角形，∴∠AOC=60°，在△POB和△POA中，OB=OA∠POB=∠POA=60°∴△POB≌△POASAS∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OB⊥BP，又OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．【解析】【分析】（1）先利用切线的性质可得∠PA