垂直于弦的直径教案

教材：人教版九年义务教育九年级数学第二十四章第一节“垂直于弦的直径（一）

一、教学目标：（1）知识目标①使学生理解圆的轴对称性。②掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。③掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。（2）、能力目标①通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力②提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。（3）、情感目标①通过垂径定理的证明，渗透爱国主义教育和美育教育。②师生共同探究定理，师生共作，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。2、教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。3、教学难点：理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。4、教学方法：启发式，先做后说，师生共作。二、教学过程创设情境问题1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让学生准备好）对折一下发现什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）。今天我们就利用圆的轴对称来研究“垂直于弦的直径”的问题。（板书课题）问题2：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？二、分析猜想1、

把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情况，学生未得到，教师直接给出）两种不同的情况在于直径的位置关系不同。教师问，学生观察，猜想。学生回答，教师引导补充：一个是斜交，另一个是垂直。2、问题：在直径CD的两侧相邻的两条弧是否相等？学生观察，回答：右图中=，=。3、若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，刚才的结论还成立吗？学生观察，归纳出上述结论依然成立。4、要求学生在圆纸片上画出上图，并沿CD折叠。（教师利用投影，增加效果）5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE）三、论证评价1、证明这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。证明：（1）连接OA、OB。（2）分加用红色粉笔显示CD左右两侧的两个半圆

（3）用白色粉笔显示点A、B。（4）用蓝色粉笔显示AE、BE。（5）用黄色显示、、、。2形成定理经过证明这个命题是正确的，我们把它作为一个定理，谁能将这个定理用一句话把它表达出来？（根据学生回答板书；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。强调：定理的题设有两个：①直径

②垂直于弦结论：①平分弦

②平分弦所对的两条弧（1）若将上述图形变为：0E⊥AB于E，则AE与BE相等吗？（如图5）（2）若只满足CD是直径（如图6）或CD⊥AB（如图7），则上述结论还成吗？（强调：两个条件缺一不可）因此定理又可表述为：（显示）

CD是直径

AE=BE（或CD过圆心）

=CD⊥AB

=（评述：几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换，可以加深对定理的理解，必须引起足够的重视）四、推广应用1、例题分析：（小黑板）如图：已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心0到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。（1）分析：“圆心0至AB的距离为3

cm”指的是哪一条线段？要求半径必须连结OA。（分别显示OE⊥AB于E、OA）（2）添出辅助线后启发学生思考解法，然后师生同时给出解答。2、变式训练练习：如上图，OE⊥AB于E，口答：①若OE=1，OA=2，则AB=_________；②若AB=1，∠AOE=30º，则OE=_________；③若OE=6cm，AB=16cm，则⊙O的直径为________cm。小结：①辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；②若圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，弦长为a，则r、a、d间有什么关系？根据什么？五、小结（尽可能由学生自己归纳）1、圆的两条重要性质；（1）圆是轴对称图形；（2）垂径定理2、垂径定理的应用：（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）；（2）解决某些实际问题（如引例、拱桥等）；3、常用的辅助线：（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段。垂径定理与勾股定理相结合，得出r2=d2+（）2——强化知识综合运用意识5、布置作业（1）：第84页，11、12题（2）选做题：第85页，2题。（评述：最后的小结，既点出了垂径定理的重要性，又帮助学生掌握不同知识结构在整体中的相互联系，从而使之纳入整个教材所建立起来的知识系统中去。这样做有利于学生对知识的理解与巩固，同时，也使整节课连贯，紧凑，重点突出。）相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)：（1）连接OA、OB。（2）分加用亮条显示CD左右两侧的两个半圆，然后在右侧着色。（3）用亮光显示点A、B。（4）用亮条显示AE、BE。（5）用亮条显示、、、。（评述：在学生动手操作—折纸和电脑动画的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，由于这种证明的文字表述不是学生常用的，因此本节课不要求学生严格地用轴对称性写出证明过程，而是采用与教师演示的同步，在屏幕上逐一显示文字和图形，目的是既使学生重视证明表述，又加深对它的理解。）2形成定理经过证明这个命题是正确的，我们把它作为一个定理，谁能将这个定理用一句话把它表达出来？（根据学生回答板书；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。（评述：学生的叙述可能是粗糙的，不准确的，课堂讨论可以引导学生注意语言的准确和精炼。）强调：定理的题设有两个：①直径

②垂直于弦结论：①平分弦

②平分弦所对的两条弧（1）若将上述图形变为：0E⊥AB于E，则AE与BE相等吗？（如图5）投影显示：（2）若只满足CD是直径（如图6）或CD⊥AB（如图7），则上述结论还成吗？（强调：两个条件缺一不可）因此定理又可表述为：（显示）

CD是直径

AE=BE（或CD过圆心）

=CD⊥AB

=（评述：几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换，可以加深对定理的理解，必须引起足够的重视）四、推广应用1、例题分析：（投影）如图：已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心0到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。（1）分析：“圆心0至AB的距离为3

cm”指的是哪一条线段？要求半径必须连结OA。（分别显示OE⊥AB于E、OA）（2）添出辅助线后启发学生思考解法，然后师生同时给出解答。（评述：例题的教学突出了两个方面：（1）作圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加辅助线方法；（2）转化的教学思想，为学生练习起到了示范作用。）2、变式训练练习：如上图，OE⊥AB于E，口答：①若OE=1，OA=2，则AB=_________；②若AB=1，∠AOE=30º，则OE=_________；③若OE=6cm，AB=16cm，则⊙O的直径为________cm。小结：①辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；②若圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，弦长为a，则r、a、d间有什么关系？根据什么？（由学生归纳出r2=d2+（）2,并用投影显示）因此已知r、d、a中的两个量就可求出第三个量。变式1：若以O为圆心，再画一个圆交弦AB于C、D，则AC与BD间可能存在什么关系？（教师口述，电脑显示）（由学生作出判断后思考证法）注：估计学生会提出方法1、2，此时教师可有意识引导学生进行计论，方法3只有当学生提出时才作简单分析。最后通过比较择优，进一步突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线的重要性和应用垂径定理的优越性。变式2：（电脑演示）①若将AB弦往下平移，AC和BD仍相等吗？②当移到过圆心时，AB是大圆直径，CD是小圆直径，AC=BD，属特殊情形。③当AB移到与小圆只有一个交点时（如图），AC与BC相等吗？这个问题我们今后将会学到，有兴趣的同学课外先去预习一下。教师小结：解决此类问题的关键，是利用垂径定理，由圆心引弦AB的垂线。（评述：课本中的两个例题属于计算、证明两种题型，方法都是添“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线，应用垂径定理来解（证）。因此把例2作为例1的延伸，改编成一组变式训练，将它们组合在一起，比较自然。充分运用电脑的动画效果，用运动的观点，将例题逐渐变式，从一个圆到两个圆，从弦到割线，又从割线到切线，层层深入拓展了学生的思维空间，让学生在变式中体会到“变”与“不变”的辩证关系。经常做这类精心安排好的练习，可使学生对题型和图形结构有较全面的理解，学会举一反三。此外，在变式训练中，教师通过课堂巡视，交谈、提问、分析等手段，可随时搜集与评价学生的学习情况，给学生以及时的鼓励与鞭策，加强教学的针对性，启迪学生的探索灵感。课外思考题是将上述问题的进一步延伸，给学生留下思维发散的时间和空间。）3、反馈练习（打印后发给学生）（1）如图，已知AB是⊙O的直径，MN是弦，AB

MN于P，则MP=_______，=_______，=__________。（2）如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为________，∠AOB=__________度。（3）第78页第2题。（4）提高题（见前面引入的实际问题）提示：添出如图所示辅助线，则OC=0.9m，OA=1.5m，在RtΔAOC中，可求得AC=1.2m，∴AB=2.4m<2.5m，这说明该集装箱卡车不能通过此门楼。提出问题：若要使卡车通过这个门楼，门楼应如何改建？（作课外思考题）（评述：数学来源于实践，又应用于实践。在反馈练习中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。）4、小结（尽可能由学生自己归纳）1、圆的两条重要性质；（1）圆是轴对称图形；（2）垂径定理（在复述内容基础上突出二个条件，三个结论，及三种语言的相互转换）2、垂径定理的应用：（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）；（2）解决某些实际问题（如引例、拱桥等）；——强化应用意识。3、常用的辅助线：（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段。垂径定理与勾股定理相结合，得出r2=d2+（）2——强化知识综合运用意识5、布置作业（1）必做题：第84页，11、12题（2）选做题：第85页，2题。（评述：最后的小结，既点出了垂径定理的重要性，又帮助学生掌握不同知识结构在整体中的相互联系，从而使之纳入整个教材所建立起来的知识系统中去。这样做有利于学生对知识的理解与巩固，同时，也使整节课连贯，紧凑，重点突出。）对应着《垂直于弦的直径（一）》的课例分析，可以得出定理公式课教学的一般过程：（1）第一阶段，创设情境：要求教师根据教材的特点，找准知识的生长点，精心设计问题。根据不同的教学内容，设计的问题可以是实际问题也可以是数学问题，或模型演示，通过具有启发性、探索性和开放性的问题的引起学生的认知冲突，激发探究兴趣。同时，课堂教学的始终，教师都要创设有利于学生自主活动，进行数学思考的良好氛围，创设平等、合作的教学情境，良好的教学情境，有利于学生积极主动地参与探究活动。（2）第二阶段，分析猜想：公式定理课的教学，不能只满足于结论的证明与应用，而应鼓励学生以探索者的姿态出现，去猜想，去探索它们的发现过程。这一环节要充分发挥学生的主动性，引导学生通过实验、观察，运用类比、联想、归纳、综合等方法去探索、去研究，在学生的主动参与中，使问题逐步得到解决，在问题解决的过程中，引导学生不断猜想，不断发现新问题，获得新知识、新方法。教师可以根据不同的教学内容，引导学生去猜想结论，猜想规律，猜想策略。猜想的一般方法有：（1）观察——实验——猜想，（2）类比——联想——猜想，（3）分析——归纳——猜想。在实际教学中，学生的猜想难免会有错误，教师的任务是引导学生大胆尝试，最终得到有价值的猜想。（3）第三阶段，论证评价：在这一环节中，教师要引导学生对自己的猜想进行评价，去验证自己结论的合理性，并给出严格的逻辑证明。应鼓励学生尽可能用自己的方式和方法完成证明，而不是完全模仿他人的证法。在学生经过探究，找到思路之后，不要急于证明和应用，要给学生提供一个展示思维过程的机会，讲出自己的思路，并反思自己的思路是怎样想到的，使更多的同学受到启发，相互借鉴，并讨论能不能用别的方法来证明促使学生思路发散。完成证明之后，还要引导学生进行理性归纳，分析它和以前学过的某些定理、公式有何本质的联系，把新定理、公式纳入知识体系中。（4）第四阶段，推广应用：定理、公式的运用是必不可少的一环。前面三个环节是从实际问题出发，经过分析探究、逐步形成理论。而这一环节则是运用理论来指导实践，让学生学会用数学知识解决实际问题。这正体现了“实践——理论——实践”的哲学思想。在这一环节中，教师的作用是引导学生分析定理公式的特点，适用于解决哪些类型的问题，应用时有哪些注意事项。完成基础知识和基本方法的运用。变式推广，则要根据教材特点和学生的实际情况，适当加强或削弱定理或公式的条件，看看能得到什么有益的结论。通过这一环节，引导学生进行反思小结，对知识进行整理，规律进行总结，思想方法进行提炼，最终形成自己的观点。在“探究——主体参与型”课堂教学模式中，定理、公式课的教学加强了创新思维能力的培养，在整体结构上突出了“猜想”与“证明”两大环节，而这正是数学发现中的基本策略和途径。这两个环节与其他环节有机结合，共同承担了对学生形象思维、直觉思维、逻辑思维的训练与培养，对学生创新思维和能力的培养具有十分突出的作用。（教师利用投影，增加效果）5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE）（评述：以两条互相垂直的直径，用运动的观点很自然地渡到垂直于弦的直径，遵循了从特殊到一般的规律，引导学生通过观察、实验、分析、猜想，主动地探索垂径定理的知识。在这个过程中，学生动眼、动手、动口、动脑，主动参与到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，改变以往那种被动地、单纯听讲的学习方法。）三、论证评价1、证明这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)：（5）用亮条显示、、、。（评述：在学生动手操作—折纸和电脑动画的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，由于这种证明的文字表述不是学生常用的，因此本节课不要求学生严格地用轴对称性写出证明过程，而是采用与教师演示的同步，在屏幕上逐一显示文字和图形，目的是既使学生重视证明表述，又加深对它的理解。）2形成定理经过证明这个命题是正确的，我们把它作为一个定理，谁能将这个定理用一句话把它表达出来？（根据学生回答板书；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。（评述：学生的叙述可能是粗糙的，不准确的，课堂讨论可以引导学生注意语言的准确和精炼。）强调：定理的题设有两个：①直径

②垂直于弦结论：①平分弦

②平分弦所对的两条弧（1）若将上述图形变为：0E⊥AB于E，则AE与BE相等吗？（如图5）投影显示：（2）若只满足CD是直径（如图6）或CD⊥AB（如图7），则上述结论还成吗？（强调：两个条件缺一不可）因此定理又可表述为：（显示）

CD是直径

AE=BE（或CD过圆心）

=CD⊥AB

=（评述：几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换，可以加深对定理的理解，必须引起足够的重视）四、推广应用1、例题分析：（投影）如图：已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心0到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。（1）分析：“圆心0至AB的距离为3

cm”指的是哪一条线段？要求半径必须连结OA。（分别显示OE⊥AB于E、OA）（2）添出辅助线后启发学生思考解法，然后师生同时给出解答。（评述：例题的教学突出了两个方面：（1）作圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加辅助线方法；（2）转化的教学思想，为学生练习起到了示范作用。）2、变式训练练习：如上图，OE⊥AB于E，口答：①若OE=1，OA=2，则AB=_________；②若AB=1，∠AOE=30º，则OE=_________；③若OE=6cm，AB=16cm，则⊙O的直径为________cm。小结：①辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；②若圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，弦长为a，则r、a、d间有什么关系？根据什么？（由学生归纳出r2=d2+（）2,并用投影显示）因此已知r、d、a中的两个量就可求出第三个量。变式1：若以O为圆心，再画一个圆交弦AB于C、D，则AC与BD间可能存在什么关系？（教师口述，电脑