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文档简介
湖南省“五市十校”2025届高考数学五模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.的展开式中的系数为()A.-30 B.-40 C.40 D.503.设函数的导函数,且满足,若在中,,则()A. B. C. D.4.已知集合,,若,则实数的值可以为()A. B. C. D.5.若满足,且目标函数的最大值为2,则的最小值为()A.8 B.4 C. D.66.已知不等式组表示的平面区域的面积为9,若点,则的最大值为()A.3 B.6 C.9 D.127.已知函数为奇函数,且,则()A.2 B.5 C.1 D.38.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.9.若平面向量,满足,则的最大值为()A. B. C. D.10.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.11.将函数的图象先向右平移个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若函数在上没有零点,则的取值范围是()A. B.C. D.12.已知等差数列的前13项和为52,则()A.256 B.-256 C.32 D.-32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.14.在中,,点是边的中点,则__________,________.15.“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月共织九匹三丈.”其白话意译为:“现有一善织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织了5尺布,现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”则每天增加的数量为____尺,设该女子一个月中第n天所织布的尺数为,则______.16.随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”为假命题,求的取值范围.18.(12分)已知函数.(1)若,求证:.(2)讨论函数的极值;(3)是否存在实数,使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点,过点的直线交椭圆于,两点,直线,分别交直线于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)以线段为直径的圆是否过定点?若是,写出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.20.(12分)11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为,乙每次投球命中的概率为,且各次投球互不影响.(1)经过1轮投球,记甲的得分为,求的分布列;(2)若经过轮投球,用表示经过第轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②规定,经过计算机计算可估计得,请根据①中的值分别写出a,c关于b的表达式,并由此求出数列的通项公式.21.(12分)在三棱柱中,四边形是菱形,,,,,点M、N分别是、的中点,且.(1)求证:平面平面;(2)求四棱锥的体积.22.(10分)若函数在处有极值,且,则称为函数的“F点”.(1)设函数().①当时,求函数的极值;②若函数存在“F点”,求k的值;(2)已知函数(a,b,,)存在两个不相等的“F点”,,且,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由圆与相切可知,圆心到的距离为2,即.又,由此求出的值,利用离心率公式,求出e.【详解】由题意得,,,.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,直线与圆相切的性质,离心率的求法,属于中档题.2、C【解析】
先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.3、D【解析】
根据的结构形式,设,求导,则,在上是增函数,再根据在中,,得到,,利用余弦函数的单调性,得到,再利用的单调性求解.【详解】设,所以,因为当时,,即,所以,在上是增函数,在中,因为,所以,,因为,且,所以,即,所以,即故选:D【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4、D【解析】
由题意可得,根据,即可得出,从而求出结果.【详解】,且,,∴的值可以为.故选:D.【点睛】考查描述法表示集合的定义,以及并集的定义及运算.5、A【解析】
作出可行域,由,可得.当直线过可行域内的点时,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【详解】作出可行域,如图所示由,可得.平移直线,当直线过可行域内的点时,最大,即最大,最大值为2.解方程组,得..,当且仅当,即时,等号成立.的最小值为8.故选:.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查基本不等式,属于中档题.6、C【解析】
分析:先画出满足约束条件对应的平面区域,利用平面区域的面积为9求出,然后分析平面区域多边形的各个顶点,即求出边界线的交点坐标,代入目标函数求得最大值.详解:作出不等式组对应的平面区域如图所示:则,所以平面区域的面积,解得,此时,由图可得当过点时,取得最大值9,故选C.点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.7、B【解析】
由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.8、B【解析】
解:当直线过点时,最大,故选B9、C【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达,利用向量数量积的性质,化简为三角函数最值.【详解】由题意可得:,,,故选:C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.10、C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.11、A【解析】
根据y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,根据定义域求出的范围,再利用余弦函数的图象和性质,求得ω的取值范围.【详解】函数的图象先向右平移个单位长度,可得的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,∴周期,若函数在上没有零点,∴,∴,,解得,又,解得,当k=0时,解,当k=-1时,,可得,.故答案为:A.【点睛】本题考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换及零点问题,此类问题通常采用数形结合思想,构建不等关系式,求解可得,属于较难题.12、A【解析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由,,得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质,等差数列的等和性应用能快速求得结果.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:【点睛】此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.14、2【解析】
根据正弦定理直接求出,利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.【详解】中,,,可得因为点是边的中点,所以故答案为:;.【点睛】本题主要考查了三角形的解法,向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题.15、52【解析】
设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求出,由此利用等差数列通项公式能求出.【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,
则,
解得,即每天增加的数量为,
,故答案为,52.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式,意在考查利用所学知识解决问题的能力,属于中档题.16、3000【解析】
根据正态曲线的对称性求出,进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解:全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,则,该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为:.【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1))当时,将函数写成分段函数,即可求得不等式的解集.(2)根据原命题是假命题,这命题的否定为真命题,即“,”为真命题,只需满足即可.【详解】解:(1)当时,由,得.故不等式的解集为.(2)因为“,”为假命题,所以“,”为真命题,所以.因为,所以,则,所以,即,解得,即的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,以及绝对值三角不等式,属于基础题.18、(1)证明见解析;(2)见解析;(3)存在,1.【解析】
(1),求出单调区间,进而求出,即可证明结论;(2)对(或)是否恒成立分类讨论,若恒成立,没有极值点,若不恒成立,求出的解,即可求出结论;(3)令,可证恒成立,而,由(2)得,在为减函数,在上单调递减,在都存在,不满足,当时,设,且,只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】(1),,,当时,,当时,,∴,故.(2)由题知,,,①当时,,所以在上单调递减,没有极值;②当时,,得,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.故在处取得极小值,无极大值.(3)不妨令,设在恒成立,在单调递增,,在恒成立,所以,当时,,由(2)知,当时,在上单调递减,恒成立;所以不等式在上恒成立,只能.当时,,由(1)知在上单调递减,所以,不满足题意.当时,设,因为,所以,,即,所以在上单调递增,又,所以时,恒成立,即恒成立,故存在,使得不等式在上恒成立,此时的最小值是1.【点睛】本题考查导数综合应用,涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明,考查分类讨论思想,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.19、(1);(2)是,定点坐标为或【解析】
(1)根据相切得到,根据离心率得到,得到椭圆方程.(2)设直线的方程为,点、的坐标分别为,,联立方程得到,,计算点的坐标为,点的坐标为,圆的方程可化为,得到答案.【详解】(1)根据题意:,因为,所以,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,点、的坐标分别为,,把直线的方程代入椭圆方程化简得到,所以,,所以,,因为直线的斜率,所以直线的方程,所以点的坐标为,同理,点的坐标为,故以为直径的圆的方程为,又因为,,所以圆的方程可化为,令,则有,所以定点坐标为或.【点睛】本题考查了椭圆方程,圆过定点问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、(1)分布列见解析;(2)①;②,.【解析】
(1)经过1轮投球,甲的得分的取值为,记一轮投球,甲投中为事件,乙投中为事件,相互独立,计算概率后可得分布列;(2)由(1)得,由两轮的得分可计算出,计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列(的取值为),然后结合的分布列和的分布可计算,由,代入,得两个方程,解得,从而得到数列的递推式,变形后得是等比数列,由等比数列通项公式得,然后用累加法可求得.【详解】(1)记一轮投球,甲命中为事件,乙命中为事件,相互独立,由题意,,甲的得分的取值为,,,,∴的分布列为:-101(2)由(1),,同理,经过2轮投球,甲的得分取值:记,,,则,,,,由此得甲的得分的分布列为:-2-1012∴,∵,,∴,,∴,代入得:,∴,∴数列是等比数列,公比为,首项为,∴.∴.【点睛】本题考查随机变量的概率分布列,考查相互独立事件同时发生的概率,考查由数列的递推式求通项公式,考查学生的转化与化归思想,本题难点在于求概率分布列,特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列,这里可用列举法写出各种可能,然后由独立事件的概率公式计算出概率.21、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)要证面面垂直需要先证明线面垂直,即证明出平面即可;(2)求出点A到平面的距离,然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.【详解】(1)连接,由是平行四边形及N是的中点,得N也是的中点,因为点M是的中点,所以,因为,所以,又,,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)过A作交于点O,因为平面平面,平面平面,所以平面,由是菱形及,得为三角形,则,由平面,得,从而侧面为矩形,所以.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明,求四棱锥的体积,属于一般题.22、(1)①极小值为1,无极大值.②实数k的值为1.(2)【解析】
(1)①将代入可得,求导讨论函数单调性,即得极值;②设是函数的一个“F点”(),即是的
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