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文档简介

福建省泉州市马甲中学2025届高考压轴卷数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线与双曲线没有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.2.下列选项中,说法正确的是()A.“”的否定是“”B.若向量满足,则与的夹角为钝角C.若,则D.“”是“”的必要条件3.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A. B. C. D.5.在平行六面体中,M为与的交点,若,,则与相等的向量是()A. B. C. D.6.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()A. B. C. D.7.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为A.96 B.84 C.120 D.3608.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()A. B.C. D.9.在中,,则()A. B. C. D.10.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()A. B. C. D.11.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为_______.14.已知集合,,则__________.15.,则f(f(2))的值为____________.16.若的展开式中所有项的系数之和为,则______,含项的系数是______(用数字作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)求下列函数的导数:(1)(2)19.(12分)已知函数,记不等式的解集为.(1)求;(2)设,证明:.20.(12分)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.(Ⅰ)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数.(1)当时.①求函数在处的切线方程;②定义其中,求;(2)当时,设,(为自然对数的底数),若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.22.(10分)在中,角的对边分别为.已知,.(1)若,求;(2)求的面积的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先求得的渐近线方程,根据没有公共点,判断出渐近线斜率的取值范围,由此求得离心率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线方程为,由于双曲线与双曲线没有公共点,所以双曲线的渐近线的斜率,所以双曲线的离心率.故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的取值范围的求法,属于基础题.2、D【解析】

对于A根据命题的否定可得:“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,即可判断出;对于B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角;对于C当m=0时,满足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;对于D根据元素与集合的关系即可做出判断.【详解】选项A根据命题的否定可得:“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,因此A不正确;选项B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角,因此不正确.选项C当m=0时,满足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正确;选项D若“”,则且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要条件,故正确.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等,属于简单题.3、B【解析】

由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.4、C【解析】

联立方程解得M(3,),根据MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是边长为4的等边三角形,计算距离得到答案.【详解】依题意得F(1,0),则直线FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x轴的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选:C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.5、D【解析】

根据空间向量的线性运算,用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,,则即,故选:D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算,用基底表示向量,属于基础题.6、A【解析】

设,,利用点差法得到,所以直线的斜率为2,又过点,再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解:设,∴,又,两式相减得:,∴,∴,∴直线的斜率为2,又∴过点,∴直线的方程为:,即,故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题,解题方法是“点差法”,即设出弦的两端点坐标,代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.7、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0开头的排列数共个,其中含有2个10的排列数共个,所以产生的不同的6位数的个数为.故选B.8、D【解析】构造函数,令,则,由可得,则是区间上的单调递减函数,且,当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.9、A【解析】

先根据得到为的重心,从而,故可得,利用可得,故可计算的值.【详解】因为所以为的重心,所以,所以,所以,因为,所以,故选A.【点睛】对于,一般地,如果为的重心,那么,反之,如果为平面上一点,且满足,那么为的重心.10、B【解析】

根据古典概型的概率求法,先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数,再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数,代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种,这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,分别是(巽,坤),(兑,坤),(离,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选:B【点睛】本题主要考查古典概型的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题.11、A【解析】

阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.12、A【解析】

观察可知,这个几何体由两部分构成,:一个半圆柱体,底面圆的半径为1,高为2;一个半球体,半径为1,按公式计算可得体积。【详解】设半圆柱体体积为,半球体体积为,由题得几何体体积为,故选A。【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力,属于基础题。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据题意,由双曲线的渐近线方程可得,即a=2b,进而由双曲线的几何性质可得cb,由双曲线的离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,双曲线的渐近线方程为y=±x,又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,即yx,则有,即a=2b,则cb,则该双曲线的离心率e;故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的几何性质,关键是分析a、b之间的关系,属于基础题.14、【解析】

解一元二次不等式化简集合,再进行集合的交运算,即可得到答案.【详解】,,.故答案为:.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算,考查运算求解能力,属于基础题.15、1【解析】

先求f(1),再根据f(1)值所在区间求f(f(1)).【详解】由题意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案为:1.【点睛】本题考查分段函数求值,考查对应性以及基本求解能力.16、【解析】的展开式中所有项的系数之和为,,,项的系数是,故答案为(1),(2).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2).【解析】

(1)利用绝对值的几何意义,将不等式,转化为不等式或或求解.(2)根据-2在R上恒成立,由绝对值三角不等式求得的最小值即可.【详解】(1)原不等式等价于或或,解得:或,∴不等式的解集为或.(2)因为-2在R上恒成立,而,所以,解得,所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18、(1);(2).【解析】

(1)根据复合函数的求导法则可得结果.(2)同样根据复合函数的求导法则可得结果.【详解】(1)令,,则,而,,故.(2)令,,则,而,,故,化简得到.【点睛】本题考查复合函数的导数,此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合,再根据复合函数的求导法则可得所求的导数,本题属于容易题.19、(1);(2)证明见解析【解析】

(1)利用零点分段法将表示为分段函数的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)将不等式坐标因式分解,结合(1)的结论证得不等式成立.【详解】(1)解:,由,解得,故.(2)证明:因为,所以,,所以,所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查不等式的证明,属于基础题.20、(Ⅰ)存在点满足题意,且,证明详见解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)可考虑采用补形法,取的中点为,连接,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质,先证平面,即,若能证明,则可得证,可通过我们反推出点对应位置应在处,进而得证;(Ⅱ)采用建系法,以为坐标原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,分别求出两平面对应法向量,再结合向量夹角公式即可求解;【详解】(Ⅰ)存在点满足题意,且.证明如下:取的中点为,连接.则,所以平面.因为是的中点,所以.在直三棱柱中,平面平面,且交线为,所以平面,所以.在平面内,,,所以,从而可得.又因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(Ⅱ)如图所示,以为坐标原点,以分别为轴建立空间直角坐标系.易知,,,,所以,,.设平面的法向量为,则有取,得.同理可求得平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角,所以其余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值,属于中档题21、(1)①;②8079;(2).【解析】

(1)①时,,,利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根据若对任意给定的,,在区间,上总存在两个不同的,使得成立,得到函数在区间,上不单调,从而求得的取值范围.【详解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切线方程为.②,.令,则,.因为①,所以②,由①+②得,所以.所以.(2),当时,函数单调递增;当时,,函数单调递减∵,,所以,函数在上的值域为.因为,,故,,①此时,当变化时、的变化情况如下:—0+单调减最小值单调增∵,,∴对任意给定的,在区间上总存在两个不同的,使得成立,当且仅当满足下列条件,即令,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减所以,对任意,有,即②对任意恒成立.由③式解得:④综合①④可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不

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