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文档简介
第六章立体几何与空间向量第四节直线、平面垂直的判定与性质·考试要求·1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题.必备知识落实“四基”
自查自测知识点一直线与平面垂直判断下列说法的正误,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线与这个平面垂直.(
)(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直.(
)(3)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线和这个平面内的所有直线都垂直.(
)(4)已知△ABC和两条不同的直线l,m,若l⊥AB,l⊥AC,m⊥BC,m⊥AC,则直线l∥m.(
)××√√
核心回扣1.判定定理:文字语言:如果一条直线与一个平面内的两条______直线垂直,那么该直线与此平面垂直.符号表示:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.2.性质定理:文字语言:垂直于同一个平面的两条直线______.符号表示:a⊥α,b⊥α⇒______.注意点:判定定理中平面内的两条直线必须是相交直线.相交平行a∥b
自查自测知识点二平面与平面垂直1.判断下列说法的正误,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,那么α⊥β.(
)(2)如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.(
)(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(
)(4)如果两个平面垂直,那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.(
)××××2.(教材改编题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥矩形底面ABCD,则四棱锥的四个侧面中,一定垂直的侧面有________对.
3
解析:由题意知PA⊥矩形底面ABCD,所以PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.同理可得平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PAB.
核心回扣1.面面垂直的定义:两个相交平面所成的二面角是__________.2.判定定理:文字语言:如果一个平面过另一个平面的______,那么这两个平面垂直.符号表示:l⊥α,______⇒α⊥β.3.性质定理:文字语言:两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的______,那么这条直线与另一个平面垂直.符号表示:α⊥β,l⊂β,α∩β=a,l⊥a⇒______.直二面角垂线l⊂β交线l⊥α注意点:面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
自查自测知识点三线面角和二面角1.(教材改编题)若正四棱锥的所有棱长都相等,则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为(
)A.30˚ B.45˚C.60˚ D.90˚B
√3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(
)A.60˚ B.30˚C.45˚ D.15˚C
解析:由条件得,PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45˚.√
核心回扣1.线面角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角.(2)特例:一条直线垂直于平面,它们所成的角是______,一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是_____.(3)取值范围:
__________.射影90˚0˚2.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作________棱的两条射线,这两条射线所构成的角.(3)取值范围:________.垂直于[0,π]【常用结论】1.若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.2.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.3.一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.4.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.应用1已知l1,l2是平面α内的两条直线,l是空间中的一条直线,则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A
解析:当l⊥α时,l1⊂α,l2⊂α,所以l⊥l1且l⊥l2;当l⊥l1且l⊥l2,l1⊂α,l2⊂α时,因为无法判断l1,l2是否相交,所以l⊥α可能成立,也可能不成立.综上,“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件.√应用2
(多选题)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是(
)A.若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则m∥n
B.若m∥n,m∥α,则n∥αC.若α∩β=n,α⊥γ,β⊥γ,则n⊥γ
D.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,则β∥γACD
解析:由线面平行的性质可知A正确.若m∥n,m∥α,则n⊂α或n∥α,故B错误.若α⊥γ,则在γ内可作a⊥α.因为α∩β=n,所以n⊂α,则a⊥n.同理,在γ内可作b⊥β,可得b⊥n.因为α∩β=n,所以a,b也相交,所以n⊥γ,故C正确.若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又α∥γ,由平行的传递性可得β∥γ,故D正确.√√√核心考点提升“四能”
垂直关系的基本问题1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有(
)A.l⊥m B.m∥βC.m⊥β D.l∥mA
解析:因为m⊥γ,且l⊂γ,所以l⊥m,A正确,D错误.直线m和平面β不能确定关系.√2.(多选题)(2024·聊城模拟)已知空间中的两条直线m,n和两个平面α,β,则“α⊥β”的充分条件是(
)A.m⊥α,m∥β B.m⊂α,n⊂β,m⊥nC.m⊂α,m∥n,n⊥β D.m⊥n,m⊥α,n⊥βACD
解析:若m∥β,则存在一条直线l⊂β,使得m∥l.因为m⊥α,所以l⊥α.又l⊂β,所以α⊥β,即条件“m⊥α,m∥β”能够推出“α⊥β”,故A正确.当m⊂α,n⊂β,m⊥n时,α,β可能相交或平行,故B错误.若n⊥β,m∥n,则m⊥β.因为m⊂α,所以α⊥β,故C正确.若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α.因为n⊥β,所以α⊥β,故D正确.√√√3.(多选题)若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是真命题的为(
)A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面βACD
解析:由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,所以该直线平行于平面β,因此A正确;过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此B不正确;根据面面垂直的性质定理知,选项C,D正确.√√√与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无须作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明.
√C
解析:如图,取AB的中点E,连接CE,DE.因为△ABC是等腰直角三角形,且AB为斜边,所以CE⊥AB.因为△ABD是等边三角形,所以DE⊥AB,所以∠CED为二面角C-AB-D的平面角,即∠CED=150˚.因为CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,所以AB⊥平面CDE.因为AB⊂平面ABC,所以平面CDE⊥平面ABC.因为平面CDE∩平面ABC=CE,CD⊂平面CDE,所以直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,所以∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角.
求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线、找垂足,把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角大小的求法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法和垂面法.注意利用等腰三角形和等边三角形的性质.
√
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别为PA,BC的中点.
线面垂直、面面垂直的判定与性质考向1线面垂直的判定与性质【例2】(2024·淄博质检)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60˚,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为AC⊥CD,PA∩AC
=A,PA,AC⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.证明:因为PA=AB=BC,∠ABC=60˚,所以△ABC为等边三角形,故AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又因为AB∩AE
=A,AB,AE⊂平面ABE,所以PD⊥平面ABE.1.证明线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则其与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.2.证明线线垂直的四种方法(1)利用特殊图形(直角三角形、矩形、直角梯形)中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理进行计算证明.(4)利用直线与平面垂直的定义和性质.考向2面面垂直的判定与性质【例3】(1)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90˚,且BC1⊥AC,过点C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则点H在(
)
A.直线AC上 B.直线AB上C.直线BC上 D.△ABC内部√B
解析:如图,连接AC1.因为BC1⊥AC,BA⊥AC,且BC1∩BA=B,BC1,BA⊂平面ABC1,所以AC⊥平面ABC1.又因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.因为平面ABC∩平面ABC1=AB,由面面垂直的性质可知,要过点C1作C1H⊥平面ABC,则只需过点C1作C1H⊥AB即可,故点H在直线AB上.
证明面面垂直的常用方法(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.1.(多选题)(2024·丽水模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E是BC1的中点,则(
)A.AE∥平面A1BB1 B.BD1⊥ACC.A1E⊥AD1 D.
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