不等式的证明作商比较法课件

不等式的证明：作商比较法作商比较法是一种常用的不等式证明方法，通过比较商的大小来判断不等式的真假。不等式的概念定义不等式是指用不等号(<,>,≤,≥)连接的两个代数式之间的关系。分类一元一次不等式一元二次不等式多元不等式绝对值不等式性质不等式的基本性质包括：传递性，加减性，乘除性等。不等式的性质传递性若a>b，b>c，则a>c。加减性若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。乘除性若a>b，c>0，则ac>bc，a/c>b/c；若a>b，c<0，则ac<bc，a/c<b/c。不等式证明的方法比较法通过比较大小来证明不等式放缩法将不等式左右两边进行放缩，得到一个更易比较的不等式数学归纳法利用数学归纳法证明不等式柯西不等式利用柯西不等式来证明不等式什么是比较法比较法通过比较两个或多个不等式的商或差来证明不等式成立的一种方法。核心思想利用两个不等式之间的联系，通过比较它们的商或差的大小来证明目标不等式。比较法的基本思想构造函数通过构造一个新的函数，该函数的值与原不等式中的表达式相关联，并利用函数的单调性来证明不等式。分析比较对构造的函数进行分析，判断其在一定范围内是单调递增还是单调递减，并比较函数在不同点的值。得出结论根据函数的单调性及比较结果，推导出原不等式的成立。比较法的基本步骤选择比较对象根据不等式中所要证明的结论，选择合适的比较对象，使它们之间的关系清晰易见。构造比较式利用比较对象之间的关系，构造出一个合适的比较式，以便进行下一步的推导。证明比较式运用不等式的性质或其他已知结论，证明比较式成立。得出结论根据比较式的成立，得出原不等式的结论。比较法的适用条件1两个函数形式相近比较法适用于当需要证明两个函数之间的大小关系，且这两个函数的表达式比较相近时。2能够找到合适的比较函数需要找到一个合适的比较函数，使得两个函数与比较函数的差值可以方便地进行判断。3能够确定比较函数的大小关系需要能够确定比较函数的大小关系，以便确定两个函数的大小关系。比较法的优缺点优势直观易懂逻辑清晰应用广泛劣势有时难以找到合适的比较对象可能需要较强的数学分析能力比较法的举例讲解现在我们来通过具体的例子来学习作商比较法的应用。比如，我们要证明不等式：a^2+b^2≥2ab。我们可以先将不等式两边同时除以ab，得到：(a^2+b^2)/ab≥2。然后我们可以将左边进行化简，得到：a/b+b/a≥2。此时我们可以利用基本不等式，得到：a/b+b/a≥2√(a/b*b/a)=2。因此，我们证明了原不等式成立。例题1：证明不等式1步骤一确定比较对象2步骤二构造商式3步骤三化简商式4步骤四判断商式大小通过比较商式的大小，从而得出原不等式的结论。这种方法对于证明涉及多个变量的不等式特别有效。解析化简通过简单的代数运算，可以将原不等式转化为更易于比较的形式。作商将不等式两边除以同一个正数，得到一个新的表达式，以便进行比较。比较大小利用作商得到的表达式，比较左右两边的大小，从而得出不等式的结论。例题2：证明不等式1设设a,b,c均为正数，且a+b+c=12证明证明a2+b2+c2≥1/3解析第一步将不等式两边同时除以a，得到第二步利用已知的结论，即a>b，可知a/b>1第三步将两边同时乘以b，得到a>b结论因此，不等式成立例题3：证明不等式1证明对于任意正数a,b,c,证明不等式:a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc2步骤将不等式两边同时减去ab+ac+bc,得到:a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc≥03化简利用完全平方公式,将左边进行配方:1/2(a-b)^2+1/2(a-c)^2+1/2(b-c)^2≥0解析首先计算左右两边的值，并进行比较通过比较发现，左侧的值小于右侧的值，因此不等式成立最后，将结果整理成文字形式，写出证明过程应用举例1：数学竞赛题比较法在数学竞赛中应用广泛，可以用来解决各种类型的证明题，尤其是在求解不等式、函数性质、几何问题等方面。例如，在证明不等式时，可以使用比较法来判断两个表达式的大小关系，从而得出结论。解析思路利用作商比较法，将原不等式转化为一个新的不等式，并证明该不等式成立。步骤1.构造商函数2.证明商函数的单调性3.利用商函数的单调性证明原不等式。关键选择合适的商函数，并利用其单调性证明原不等式。应用举例2：函数不等式运用作商比较法证明函数不等式时，通常需要构造一个新的函数，然后利用函数的单调性来比较大小。例如，证明不等式：f(x)>g(x)成立，可以构造函数h(x)=f(x)/g(x)，然后证明h(x)在某个区间上单调递增或递减。解析函数不等式运用比较法证明函数不等式，通常需要借助函数的单调性、凹凸性等性质来判断不等式的成立性。分析函数性质首先，要分析所给函数的单调性、凹凸性等性质，并结合函数图像进行直观判断。构造比较函数其次，要根据函数性质，构造一个合适的比较函数，并证明该比较函数满足所要证明的不等式。应用举例3：几何不等式在几何问题中，我们也可以利用作商比较法证明不等式。例如，要证明三角形中两边之和大于第三边，我们可以构造商，并利用三角形两边之和大于第三边的性质进行比较。解析利用基本不等式，将原式转化为更简单的形式。通过代数变形，得到目标不等式。验证不等式的成立。比较法的注意事项选择合适的比较对象选择与所要证明的不等式有关的已知不等式，并确保比较对象之间存在可比性。灵活运用不等式性质在比较的过程中，要灵活运用不等式的性质，如对称性、传递性、加减性等。注意符号的运用在进行比较时，要特别注意不等号的方向，避免出现错误。如何选择合适的不等式1理解题意首先要仔细阅读题目，理解题目的要求，明确要证的不等式。2观察已知条件分析已知条件，寻找可以利用的已知不等式。3考虑方法根据已知条件和要证的不等式，选择合适的证明方法，如比较法、放缩法等。如何选择合适的比较对象1目标导向选择的目标对象要与要证明的结论相符，要能够体现出结论的意义。2性质一致选择的比较对象要与被比较对象具有相同的性质，才能进行有效的比较。3易于比较选择的比较对象要易于进行比较，以便得出结论。如何利用已知结论基础不等式熟练掌握一些常见的不等式，例如均值不等式、柯西不等式、三角不等式等。这些不等式可以作为证明其他不等式的工具，可以简化证明过程。结论转化将已知结论转化为适用于当前问题的形式。例如，利用已知不等式进行变形，或者利用已知结论推导出新的结论。如何根据题目特点选择方法已知条件仔细分析题目给出的已知条件，判断是否适合使用作商比较法。待证结论观察待证结论是否能够转化为两个式子的比值大小关系。题目类型不同类型的题目可能需要不同的方法，例如函数不等式，几何不等式等。综合练习1应用举例尝试运用商比较法解决已有的应用举例题目。2拓展练习尝试用商比较法解决一些难度稍高的不等式证明题。3思考总结总结商比较法的应用范围，并思考如何选择最佳的证明方法。课后思考题除了作商比较法外，还有哪些方法可以用来证明不等式？尝试用作商比较法证明一些常见的不等式，例如均值不等式、柯西不