2024届安徽省安庆某中学碧桂园分校高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2024届安徽省安庆二中碧桂园分校高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数？满足贝ijz=（)

c,也一亚iD,也怎

A.1-ZB.1+/

2222

2.双曲线入2一上=1的渐近线方程为（)

2

・）,=±万、B.y=±xC.y=±y/2xD.y=±y/3x

3.复数z=（2+1）（1+i）的共物复数为（)

A.3-3/B.3+3ZC.1+3/

的图象经过点［卷，（），则函数=+图象的一条

4.若函数），=2S〃?（2.E+川网<

\Z/

对称轴的方程可以为（

7137乃177r13乃

A.X=-----B.x=-----C.x=-----D.X-------

24242424

5.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C>0、E五个等级.某班共有36名学生且全部选考

物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅

有一科等级为A的学生，其另外一科等级为8,则该班（）

\^级

ABCDE

M11\

物理1016910

化学819720

A.物理化学等级都是5的学生至多有12人

B.物理化学等级都是8的学生至少有5人

C.这两科只有一科等级为3且最高等级为4的学生至多有18人

D.这两科只有一科等级为4且最高等级为3的学生至少有1人

6.若〃力是定义域为R的奇函数,且/（x+2）=-/（x）,则

A./卜）的值域为RB./（同为周期函数，且6为其一个周期

C./卜）的图像关于工=2对称D.函数/（X）的零点有无穷多个

7.若直线），=依-2与曲线y=l+31nx相切，则％=（）

11

A.3B.-C.2D.-

32

8.设M是AA3C边BC上任意一点，N为AM的中点，若AN=2AB+〃AC,则2+〃的值为（）

1八11

A.1B.—C.—D.一

234

9.如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABC。-4与GR中，点尸是平面内一点，则三棱锥尸一3CO

的正视度与侧视图的面积之和为（）

正视

A.2B.3C.4D.5

—,x<0

10.已知函数/")=已，若函数尸(x)=/0)-丘在R上有3个零点，则实数上的取值范围为()

Inx八

——,x>0

A.(0,—)B.(0,-^-)C.(-0>,上)D.(J,)

e2e2e2ee

11.己知正方体A8C。-AACQ的极长为2,点M为棱。。的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面

面积为()

兀c2乃cn4乃

A.-B.—C.兀D.

333

12.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列

与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,

在杨辉之后一般称为“垛积术”,现有高阶等差数列，其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为

、…P…、〃(〃+1)(2〃+1)、

()(注：1-+2-+3-++/?-=—-----------------)

6

A.1624B.1024C.1198D.1560

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量〃=(1,X+1),b=(x,2),若满足且方向相同，则无=

14.在AA8C中，角A,B,。的对边长分别为b,C,满足/-2a(sin8+Gcos8)+4=0,〃=2J7,则AABC

的面积为一.

15.已知关于x的不等式(G-层・4)(x・4)>0的解集为A,且A中共含有〃个整数，则当〃最小时实数〃的值

为.

16.设集合A=｛1,3｝,B=1X|X2-2X-3<0｝,则Afi8=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛〃“｝,仇｝,数列£｝满足％=［：；'；为编数，破N"

⑴若见=〃，。=2",求数列｛qj的前2〃项和百；

(2)若数列｛%｝为等差数列，且对任意〃wN*，恒成立.

①当数列低｝为等差数列时，求证：数列｛q｝,｛4｝的公差相等；

②数列出｝能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列也｝；若不能，请说明理由.

x=2+2cose

18.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为，八.，(。为参数)，以坐标原点为极点，工轴

y=4+2sina

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=4sin0.

(1)把G的参数方程化为极坐标方程：

⑵求G与G交点的极坐标(夕>0,0<6?<2^).

x=-l+2cos0

19.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为八.(夕为参数).以坐标原点为极点，x轴正

y=2s\n(p

半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P的直角坐标为(-2,0),过P的直线/与曲线。相交于M,N两点.

(D若/的斜率为2,求/的极坐标方程和曲线C的普通方程；

I艮艮y

(2)求PM.PN的值.

20.(12分)某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路44,以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山

隧道/WN,为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路4,和山区边界的直线型公路/,以乙，所在

](Y)

的直线分别为工轴，y轴，建立平面直角坐标系尤。丫，如图所示，山区边界曲线为C：y=——(1>()),设公路/与

X

曲线C相切于点。的横坐标为

(1)当，为何值时，公路/的长度最短?求出最短长度；

(2)当公路/的长度最短时，设公路/交X轴，).轴分别为A,B两点,并测得四边形A5MN中，/BAN

2

ZMBA=-;rtAN=10及千米，比0=156千米，求应开凿的隧道MN的长度.

21.(12分)已知函数〃力=忸_2H2x+l|.

(1)求不等式/(x)Nl的解集；

(2)若关于大的不等式/(x)W3—2?在区间卜]』内无解，求实数，的取值范围.

22.(10分)已知椭圆5+《=l(a>b>0)的右焦点为6(3,0),离心率为仁

(1)若e二立，求椭圆的方程；

2

(2)设直线)，二质与椭圆相交于A、8两点，M、N分别为线段人工、8乃的中点，若坐标原点。在以MN为直

径的圆上，且亚求我的取值范围.

22

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.

【详解】

解,"1=/=何1)田一)二6回

•1+z1+Z(1+/)(l-z)222

故选：C

【点睛】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

2、C

【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.

【详解】

2

双曲线21=1,

2

・••双曲线的渐近线方程为)，=士岳，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.

3、D

【解析】

直接相乘，得1+3L由共朝复数的性质即可得结果

【详解】

・・・z=(2+i)(l+i)=l+3i

・,•其共朝复数为J3i.

故选：D

【点睛】

熟悉复数的四则运算以及共施复数的性质.

4、B

【解析】

由点(t，。)求得9的值，化简/(x)解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得/(x)的对称轴，由此确定正确选项.

【详解】

由题可知25〃2x+^1=0,|<^|<^.^9=-—

r，乃，乃

所以/(工)=呵21+看卜852弋=0sinI2xH-----1—=\[1sin2x+

I64；

令2x+三-=+k冗,kGZ,

122

出冗、k兀

得，+"z

令攵=3,得x=

24

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.

5、D

【解析】

根据题意分别计算出物理等级为4,化学等级为4的学生人数以及物理等级为4,化学等级为4的学生人数，结合表

格中的数据进行分析，可得出合适的选项.

【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为8的学生10-5+8-5=8人(其中物理A化学8的有5

人,物理8化学A的有3人)，

表格变为：

A8CDE

物理10-5-5=016-3=13910

化学8-5-3=019-5=14720

对于A选项，物理化学等级都是3的学生至多有13人，A选项错误；

对于B选项，当物理。和3,化学都是“时，或化学。和O,物理都是4时，物理、化学都是"的人数最少，至少

为13-7-2=4(人)，B选项错误；

对于C选项，在表格中，除去物理化学都是8的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为4的学生，

因为都是8的学生最少4人，所以一科为8且最高等级为8的学生最多为13+9+1—4=19(人)，

C选项错误；

对于D选项，物理化学都是3的最多13人，所以两科只有一科等级为8且最高等级为3的学生最少14-13=1(人),

D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

6、D

【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.

【详解】

/(力是定义域为R的奇函数，则/(—x)=/(0)=。，

又/(x+2)=-f(x),/(x+4)=-/(x+2)=f(x),

即/(x)是以4为周期的函数，/(4幻=/(0)=0伙eZ),

所以函数/(x)的零点有无穷多个；

因为/(/+2)=-/(此，/[(x+1)+1]=/(-%),令，=1+%,则+=

即/(x+l)=/(l—x),所以/(x)的图象关于x=l对称，

由题意无法求出了（X）的值域，

所以本题答案为D.

【点睛】

本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.

7、A

【解析】

33

设切点为（%,依2）,对），=1+31必•求导，得到），'=巳，从而得到切线的斜率z=一,结合直线方程的点斜式化简

x/

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为（%,5-2）,

3—=%①，

V/=-,A-^o

5-2=l+31nA^,

由①得组=3,

代入②得l+31n/=l,

则七=1,k=3,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单

题目.

8、B

【解析】

设BM=fBC，通过AN=；AM，再利用向量的加减运算可得AN=?AC，结合条件即可得解.

【详解】

设BM=tBC，

又AN=4A8十〃AC,

2=---

由J2ITt1

所以，，有4+〃=丁丁+二=二.

1*5t222

故选B.

【点睛】

本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向

量表示法唯一来解决问题.

9、A

【解析】

根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.

【详解】

由三视图的性质和定义知，三棱锥P-8CZ）的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是

]xlx2=l,正视图与侧视图的面积之和为1+1=2,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算

能力，属于基础题.

10、B

【解析】

根据分段函数，分当x<0,x>0,将问题转化为攵=]3的零点问题，用数形结合的方法研究.

X

【详解】

当x<0时，攵二旦打二-^,令g（x）=l，g〈x）=-N>（）,g（工）在xw（-8,0）是增函数，女>0时，上=“

xx~XX'X

有一个零点，

、,，cr.f（x）Inx人，/\Inxx1-21nx

当x>0时，左==岑，令卜（力=丁”（力=一一

XXX.1

当工€（o,五）时，力*）>0,在（0,G）上单调递增，

当X£（y[,+8）时，/?'（X）V。，「.〃0）在（6,+8）上单调递减,

所以当时，"（X）取得最大值1

2e

因为/。）=/*）-辰在R上有3个零点,

所以当x>0时，攵=&1有2个零点,

x

综上可得实数k的取值范围为（0，!）,

2e

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.

11、A

【解析】

根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截

面面积可求.

【详解】

如图所示：

设内切球球心为O，O到平面AC”的距离为d,截面圆的半径为，,

因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1,

又因为%-AMC=Kf-AOC»所以;XdxSAMC=xSAOC

JJ

2

又因为S.诙=gx2&X1曲—⑼=V6,SMOC=lx2V2xl=V2,

所以《xdx6=],所以包,

333

所以截面圆的半径一二庐力二日，所以截面圆的面积为S=/r1曰）=y.

故选：A.

【点睛】

本题考瓷正方体的内切球的特点以及球的截面面枳的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面,

截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.

12、B

【解析】

根据高阶等差数列的定义，求得等差数列｛%｝的通项公式和前〃项和，利用累加法求得数列｛%｝的通项公式，进而求

得•

【详解】

依题意

%:I,4,8,14,23,36,54..........

两两作差得

bn：3,4,6,9,13,18..........

两两作差得

：192,3,4,59••♦・•・

设该数列为｛〃〃｝,令b.a，设｛勿｝的前〃项和为伉，又令%=2用一%设｛&｝的前〃项和为C,・

222

曰_n+n,c厂on+non(n-i)n1to

易〃=〃，,进而得〃，+[=,所以〃贝

cC„=---------3+C0n=3+----------r=3+------------=----------〃+3,II

〃2〃十।2222

4=〃(〃+1)(〃一1)+3〃，所以4向=]+乩，所以49=1024.

6

故选：B

【点睛】

本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中

档题.

二、填空题，木题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.

【详解】

:。，x(x+1)—2=0,解得x=l或x=—2,

X=1时,4=(1,2)，=(1,2)满足题意,

%=-2时，a=(1,-1),/^=(-2,2),方向相反，不合题意，舍去.

**.x=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错.

14、2G

【解析】

由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求8,进而可求然后结合余弦定理可求C,代入

Sa8c=5〃csin8,计算可得所求.

【详解】

解:把2a(sinB+GeosB)+4=0看成关于。的二次方程,

则△NO,即4(sin3+GcosB)2-16N(),

即为42sin(5+qJ-162(),

化为sin2(8+1)31,而sin~+W1,

则sin“B+可=1,

由于0<8<不，可得巳<8+工<也，

333

可得3+工=工，BPB=-,

326

代入方程可得，/_4〃+4=0,

:.a=2t

由余弦定理可得，cos-=4+c2~28=—,

62x2c2

解得：C=4G（负的舍去）,

S；SBC=—^sinB=-x2x4百x-=2百.

故答案为2方.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题.

15、-1

【解析】

44、/X4

讨论〃<0,。=0,。>0三种情况，aVO时,根据均值不等式得到。+—=一（-a-----)<-1J(_〃)—=-4,计算

a

等号成立的条件得到答案.

【详解】

已知关于x的不等式Cax-a1-4)(x-4)>0,

44

①〃V0时，[x-(a+—)](x-4)<0,其中。+一〈0,

aa

4

故解集为(〃+—,4),

44

由于a+—=一——)<=-4,

aa

4

当且仅当-〃二-一，即〃=-1时取等号,

a

44

・・・。+一的最大值为-4,当且仅当。+—=-4时，A中共含有最少个整数，此时实数〃的值为-1;

aa

②。=0时，・4（x・4）>0,解集为（・oo,4）,整数解有无穷多，故。=0不符合条件;

44

③。>0时，|x・(〃+—)1(x-4)>0,其中4+—24,

aa

4

工故解集为(-8,4)U(a+—,+oc),整数解有无穷多，故心>0不符合条件;

a

综上所述，a=-1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

16、｛1｝

【解析】

先解不等式Y一2/-3<0,再求交集的定义求解即可.

【详解】

由题，因为/一2工一3<0,解得-1vx<3,即B=｛X\-]<X<3｝9

贝UB=｛1｝,

故答案为:｛1｝

【点睛】

本题考有集合的交集运算，考查解一元二次不等式.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步躲。

17、(1)7^=〈+〃2一；(2)①见解析②数列｛"｝不能为等比数列，见解析

【解析】

(1)根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；

(2)①设数列｛〃“｝的公差为d,数列｛〃｝的公差为4,当〃为奇数时，得出4之d；当〃为偶数时，得出

从而可证数列｛4｝,他｝的公差相等；

②利用反证法，先假设｛〃｝可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列低｝不能为等比数列.

【详解】

(1)因为bn=T,所以。“+2-%=2,2=4且q=q=l,c2=b2=4

由题意可知，数列｛弓小｝是以1为首项，2为公差的等差数列,

数列｛。2“｝是首项和公比均为4的等比数列，

不力7工〃(〃一1)-4(1—4”)4田，24

所以=〃+-------x2+--------=----+〃一一；

2"21-433

(2)①证明：设数列｛4｝的公差为1,数列也』的公差为4，

当〃为奇数时，%=。“=%+(〃—l)d,cM+l=bt)+｝=b｛+nd]

ci,-d-b.

若4vd,则当〃~y1时，Cm-c“=(4_d)n+d—<U,

4-cl

即％M<%,与题意不符，所以42d,

当n为偶数时，c„=",二4+(〃-1)4,cM+1=an+l=a]+nd,

b.-d.-a.

若4>d,则当心一;—:—时，。用-%=(d-4)〃+q+4-&<0,

d一4

即C“M<%，与题意不符，所以《Md，

综上，d、=d,原命题得证；

②假设｛"｝可以为等比数列，设公比为分

因为％+i>%，所以>%，所以%+2-4=2">°，警=(广>1,

n

因为当""咻扁%时，

|〃+2-4T4|(丁-1)=W.|嫉"•(/一1)>4d，

所以当〃为偶数，且用时，％2任(。田，(+3)，

即当〃为偶数，且%<CH<%句时，嘘z<%十2<%十3不成立，与题意矛盾，

所以数列｛2｝不能为等比数列.

【点睛】

本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要

回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心

素养.

18、(1)〃2_4〃cos6—8〃sin8+16=0；(2)G与交点的极坐标为((怖]，和

【解析】

(1)先把曲线G化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；

(2)联立曲线G和曲线G的方程解得即可.

【详解】

2

⑴曲线的直角坐标方程为：(x—2)2+(y—4『=4,Bpx+/-4x-8y+16=0.二G的参数方程化为极坐标

方程为p~-4pcos^-8psin^+16=0；

⑵联立卜〜〃。。包8ps,M6二。可得：：；或卜2,".2交点的极坐标为(),和(2加],

p=4s加。0=—0=—k2；<4；

[214

【点睛】

本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.

19、(1)/：2pcos^-psin^+4=0,C：(x+l)2+y2=4；(2)-3

【解析】

(1)根据点斜式写出直线/的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用sin2e+cos2°=l,将曲线。的参数方程

转化为普通方程.

(2)将直线/的参数方程代入曲线C的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得QV/.QN的值.

【详解】

(1)/的直角坐标方程为>=2(工+2),即2x-y+4=0,

则/的极坐标方程为2/7COS，一osin6+4=0.

曲线C的普通方程为(x++V=4.

fx=-2+rcostz

(2)直线/的参数方程为V为参数，。为/的倾斜角)，

[y=rsina

代入曲线C的普通方程，得r―2，cosa—3=0.

设M,N对应的参数分别为乙，与，所以〈”=-3,M”在尸(-2,0)的两侧.则

WN=KWM•COS71=-|/,/2|=-3.

【点睛】

本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，

属于中档题.

20、（1）当，=10时，公路/的长度最短为20五千米；（2）5同（千米）.

【解析】

（1）设切点尸的坐标为上,产）。>0）,利用导数的几何意义求出切线/的方程为），一甲二一詈（元-/）,根据两

点间距离得出|人用一小4一+写”,1>0,构造函数以“=4/+写2,r>0,利用导数求出单调性，从而得出极值

和最值，即可得出结果；

（2）在M5N中，由余弦定理得出BN=10C，利用正弦定理一^一=—^一,求出NA3N=f,最后

sin/BANsin4ABN6

根据勾股定理即可求出MN的长度.

【详解】

（1）由题可知，设点尸的坐标为，，半卜>。），

「，100/小

又y=一--U>o）,

JT

m士位100100/、

则直线/的方程为y----=一一-U-r）,

tr

由此得直线/与坐标轴交点为：42/,0）,3（0,平）

muL，40000H,,、L、40000

贝！）|A8|=’4厂+——，/>A0,故/⑺=,4厂+——,r>0n,

”/、，240000八皿，/、2x40000

设gQ）=4厂+—--,/>0,则g"）=8o/-----——.

tt

令g'Q）=0,解得/=10.

当/£（0/0）时，g⑺v0,g（f）是减函数；

当，£（10,+8）时，4«）>0,g“）是增函数.

所以当"10时,函数g«）有极小值,也是最小值，

所以g（f）min=800，此时/⑺“加=20VL

故当/=10时，公路/的长度最短，最短长度为20近千米.

（2）在AA用V中，AN=\。瓜ZBAN=三,

所以BN2=AB2+AN2-2AB-ANcos/BAN，

所以BN=1。娓,

根据正弦定理

BN_AN

sin/BAN-sin/ABN'

.10>/6_10V2

二;"sin/ABN，

sin

3

:.s\nZABN=-

2f

71

4ABN=-,

6

又4MBX=Z兀，

3

7T

所以NM3N=/MBA—/ABN=—.

2

在AMBN中,BM=156,BN=10瓜,

由勾股定理可得MN?=BM?+BN?,

即加川2二(15百)2+(10后)2,

解得，MN=55(千米).

【点睛】

本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调