2024高考讲义：基本初等函数知识梳理

2024高考讲义：基本初等函数知识梳理

目录

1.指数与指数函数...............................................................1

Li.指数式的化简与求值.......................................................1

1.2.指数函数的图像和性质.....................................................2

1.3.指数函数的综合应用.......................4

2.对数与对数函数...............................................................4

2.1.对数及其运算.............................4

2.2.对数函数的图像及其性质..................................................6

3.某函数.......................................................................9

3.1.寡函数的定义.............................................................9

3.2.基函数的图像和性质.......................9

4.幕函数的大小比较............................................................12

1.指数与指数函数

L1.指数式的化简与求值

1、化简原则：

①化根式为分数指数抵；

②化负指数幕为正指数幕；

③化小数为分数；

④注意运算的先后顺序。

提醒：有理数指数基的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来

运算。

2、结果要求：

①题目以根式形式给出，则结果用根式表示；

②题目以分数指数基形式给出，则结果用分数指数幕形式表示；

③结果不能同时含有根式和分数指数累，也不能既有分母又有负分数指数

幕。

例1-1.已知“,力，则化简二a一3的结果是()。

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A、—J1-4〃B、—J4a—1c、J4a—1

D、Ji—4。

变式1-1.化简G.妫的结果是（）o

变式1-2.已知x+-=3,求下列各式的值：（l）/+x"；（2尸2+婷；⑶

3_3

小+f2。

1.2.指数函数的图像和性质

1、定义：一般地，函数八"）二优（。＞。且4"）叫做指数函数，其中X是自

变量。

①当0V4V1时，XT+8,/（幻-0；。的值越小，图像越靠近丁

轴，递减的速度越快c

②当。＞1时，XT-8,73-（）；，的值越大，图像越靠近）

轴，递增的速度越快。

（2）画指数函数且。。1）的图像，应抓住三个关键点：

（1，叽（0』）、*）。

注意：与指数函数有关的函数的图象问题的研究，往往利用相应指数函数

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的图象，通过平移、对称变换得到其图象。一些指数方程、不等式问题的求

解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解。

⑶熟记指数函数、〃“）=2、而:/⑺二弓）,在同一坐

标系中图像的相对位置，由此掌握指数函数图像的位置与底数大小的关系。

（4）在有关根式、分数指数幕的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点

处理问题，通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程来求解。

（5）比较指数基值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等。是用指数

函数的单调性，还是用幕函数的单调性。要注意指数函数图象和幕函数的图象

的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高（逆时针方向底数依次变

大）”。还应注意中间量。、।等的运用。

注意：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，值域为大于。的实数集

合，这里的前提是〃大于。，对于。不大于。的情况，则必然使得函数的定义域

不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2）可以看到一个显然的规律，就是当。从。趋向于无穷大的过程中（当然不

能等于0），函数的曲线从分别接近于）'轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位

置，趋向分别接近于丁轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。其

中水平直线）'=1是从递减到递增的一个过渡位置。

例12函数〃幻=4"一气4＞。且，工1）的图象可能是（）0

例13函数/3=优（八。且"1）必过点。

变式1-3.函数/㈤且必过点。

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〃二1强小（〃＞。且〃工1）。其中〃叫做对数的底数，N叫做真数。

对数函数的一般形式为/"）=1华，/（。＞°且〃工|）,它实际上就是指数函数

的反函数。因此指数函数里对于。的规定，同样适用于对数函数。

注意：a"=No“=log〃Na＞（）且"1）的关系是解决有关指数、对数、可题

的有效方法，在运算中要注意灵活运用。

下图给出对于不同人小。所表示的指数函数和对数函数的图形:

图像a>b>\\>a>b>0

y

1

指数函数：一,

/。)=*'与/(幻=90X

n

11/

4//

\///\A

1\

/I

/X

/

/I/」

对数函数：

/(x)=10gaX与/(A)=log/,X

a

可以看到对数函数的图形只不过是指数函数的图形关于直线y=x的对称图

形，因为它们互为反函数。

2、对数的运算规律：(〃、伉。>0且〃、〃、cwl,M>0,N>0]

(l)log/=0,bg"=l,4*N=N,log/N=N；

⑵log“MN=log“M+log”N,让R=bg“MT°g〃J

⑶bgM〃=?g之

10g,4=型=幽=她=，

(4)“log,a】ga卜alog^,a；推广logalog/,c•log。d=log”d。

注意：在运用log"=〃log*时,在无。>0的条件下应为log》'=〃log"加

且〃为偶数)。

3、几种常见对数

对数形式特点记法

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一般对数底数为〃（4>0且4工1）啕N

常用对数底数为1°1gN

自然对数底数为e=2.71828…InN

4、对数式的化简与求值

对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式

及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形。利用对数运算

法则，在真数的积、商、基与对数的和、差、倍之间进行转化。

嘀9

2

例2-1.求值：⑴嘀3；（2）（lg5）+lg5O.]g2.（3）

卜14

例22求值：（1）若2"=5〃=10,求。6的值;

（2）若"°g34=l,求4'+4一、的值。

变式2・式关于x的方程bg2（xT）=2-bg2（x+l）的解为

变式2-2.已知函数〃x）=lgx,若/（"）=】，则/（/）+/（，/）=

2.2.对数函数的图像及其性质

1、对数函数的图像

a>\0<d<1

图像

必过第1/4象限及x轴正半轴必过（1Q）点，渐近线为）'轴

共性

都是无界函数定义域为（°'+8）,值域为R

异性在R上是增函数，图形都是上凸的在尺上是减函数，图形都是下凹的

2、对数函数比较大小

对数函数值大小的比较一般有三种方法：

①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同

底。

②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用

勺”或其他特殊值进行“比较传递”。

③图像法，根据图像观察得出大小关系C

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④作差或作商法。

3、对数函数与指数函数的关系

指数函数互为反函数对数函数

(

f(x)=a^a>og")=log“xa>o

X—>>,

且"1)且a叫

若指数幽数〉’"转化成对数闲数人一小，但这么写不符合闲数形式，就

把命名为y=w

1

V

<yf(i,o)x

y0/1

|\(h0)

)

1

1-4-4-1Io!z0r-7

；尸1。股

a>\a>\

ar>l

0<4<1()<6Z<1

指数函数的图像与对数函数的图像关于直线）'=x轴对称，即互为反函数

的图像关于直线）轴对称

例2-3.设"噫2,〃=ln2,c=52,贝乂

A、a>b>c

B、a>c>b

C、b>a>c

D、b>c>a

变式2・3.设〃=b832,〃=「二1。821贝1J()o

A、a>b>c

B、a>c>b

C、b>a>c

D、b>c>a

4、对数函数的图像与性质及应用

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研究对数型函数的图像时，一般从最基本的对数函数的图像入手，通过平

移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图像。

例2・4.作出下列函数的图像：

①/(x)=Igx,/(x)=®-x),/(x)=-lgx.②/(x)=lg|xl；③

/(x)=-l+lgxo

例2・例已知函数/⑶=%("+1)1>0且"1),若当xe(-L°)时,

〃幻<。，则f(x)在定义域上是()。

A、减函数

B、增函数

C、常数函数

D、不单调的函数

例2・6.求下列函数的定义域、值域及单调区间：

/(x)=log1(4-j),f(x)=­!—

⑴3；(2)/3=咋2(尸)；⑶1%。

〃、/*)=bg7T^T

(4)l-3xo

变式2-4.求函数八*=1°&3-/2的定义域。

变式2-5.已知/㈤="二g(x)=logax(〃>0且叱1),若f(3)g⑶<0,则

/(幻与8。)在同一坐标系内的图像可能是()。

变式2-6.已知小)=log〃3'T)(心0且。叫，求/⑴的定义域并判断

"X)的单调性。

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3.1函数

3.1.基函数的定义

一般地，形如阴的函数称为事函数，其中〃为常数。

1、判断上函数需:

①系数为1,②底数为变量L③指数为一常数，⑷后面不加任何项。

x

例如：/*）=3q2,f（x）=x+\f/（x）=—+l均不是悬函数，再者注意与

指数函数的区别，例如：“处=一是幕函数，八”）=2、是指数函数。

2、由于弃函数的解析式中只含有一个参数。，因此只需一个独立的条件

即可确定其解析式，当己知事函数经过某一点时，可采用待定系数法求出解析

式。

例3-1.已知点3'在基函数八用的图像上，求/（©的解析式。

变式3-1.已知函数/（x）=（〃'+2〃?-2）X"T+2〃-6是幕函数，求/⑴的解

析式。

例32已知累函数/（幻=加一〃1）.产-3在g+8）上是增函数，则〃一

（）。

A、-1

B、2

C、-1或2

D、3

变式3-2.已知函数/（幻=（〃,一〃1）尸：当〃，为何值时，/（©：

①是幕函数；②是幕函数，且在（仇+8）上的减函数；③是正比例函数；④

是反比例函数；⑤是二次函数。

3.2.寻函数的图像和性质

1、图像分类：

①直线型：。=。或I；②抛物线型：。＜。＜1或。＞1；③双曲线型：〃＜0。

2、幕函数的图像特征：

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y5

4=()尸1(/0)a=\二

0X

叫旦a<00<6/<1a>\

P

JKJJ1

p、g都是奇厂

数0X0X9A

yJX

。是奇数、q

/V

是倡数

cJXO\Xo

y，1)

p是偶数、'/V

是奇数-----A

0XO\XO\X

y1

①必经过（1,1）点，必经过第一象限，必不经过第四象限。k\

7②除原点外，任何暴函数图像与坐标轴都不相交。\.

性

③任何两个幕函数最多有三个公共点。一、对'O1x

/八

O<"1和的幕函数在区间。+8）上的性

质：

的幕函数在区间3+8）上

①必经过两个点（°，°）和（M）；

的性质：

②都是递增函数；

①必经过（1,1）点；

③事函数与直线）'=%有如下关系：

②都是递减函数；

性0<x<lx>\

③图像向上与）'轴正向无限接

在尸工的在尸工的

近，向右与X轴正向无限接近。a>\

下方上方

在…的在）0的

()<a<\

上方下方

3、暴函数规律总结

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(1)在研究事函数的性质时，通常将分式指数索化为根式形式，负整指数累

化为分式形式再去进行讨论；

(2)对于幕函数/(©="“，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶

性，由此确定图像的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即，〈。，

0<〃<1和〃>1三种情况下曲线的基本形状，还要注意。=0,±1三个曲线的形

状；对于某函数在第一象限的图像的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负

双，大竖小横”，即心。("1)时图像是抛物线型；时图像是双曲线型；

时图像是竖直抛物线型；。<。<1时图像是横卧抛物线型。

⑶曲线在第一象限的凹凸性：时，曲线下凸；Ovavl时，曲线上

凸；时，曲线下凸。

〃广一2/w—3

例3・3.己知基函数)的图像与x轴、)’轴都无交点，且

关于原点对称，则〃?=()o

A、T或2

B、0或1

C、0或2

D、3

变式3-3.己知函数/8=(〃/+血短一2",当〃，为何值时，/⑴在第•象

限内的图像是上升