2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷14.2 乘法公式 能力培优训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷14.2乘法公式能力培优训练(含答案) 14.2乘法公式专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（）A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4abC．(a+b)(－a+b)=－a2+b2 D．(a+b)(－a－b)=－a2－b22．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)43．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A．（a+b）（a－b）=a2－b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．（a+b）2=a2+ab+b25．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）A．a2－b2=（a+b）（a－b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．a（a+b）=a2+ab6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？状元笔记【知识要点】1．平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．2．完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【温馨提示】1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．【方法技巧】1．公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．参考答案1．D解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D错误．2．A解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，当x=2，y=3时，原式=22+4×2×3=4+24=28．4．B解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B．5．C解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）2和b2，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故选C．6．解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．14.2乘法公式1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(3)公式的特点：①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先平方后作差)．警误区平方差公式的特征利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了．【例1】利用平方差公式计算．(1)(2a＋3b)(－2a＋3b)；(2)503×497.分析：(1)可直接运用平方差公式进行计算．(2)题可经过适当变形，把503写成(500＋3),497写成(500－3)，就能利用公式来计算了．解：(1)(2a＋3b)(－2a＋3b)＝(3b)2－(2a)2＝9b2－4a2.(2)503×497＝(500＋3)(500－3)＝5002－32＝250000－9＝249991.解技巧平方差公式的理解和应用要注意辨别因式中哪些相当于公式中的a(完全相同的部分)，哪些相当于公式中的b(符号不同的部分)．2．完全平方公式(1)两数和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；两数差的完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．(3)公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同．析规律完全平方公式的特征完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例2】计算：(1)(4m＋n)2；(2)(y－eq\f(1,2))2；(3)(－a－b)2；(4)(－2a＋eq\f(1,2)b)2.解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2×4m·n＋n2＝(4m)2＋8mn＋n2＝16m2＋8mm＋n2；(2)(y－eq\f(1,2))2＝y2－2×y×eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2))2＝y2－y＋eq\f(1,4)；(3)(－a－b)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(4)(－2a＋eq\f(1,2)b)2＝(－2a)2＋2×(－2a)×(eq\f(1,2)b)＋(eq\f(1,2)b)2＝4a2－2ab＋eq\f(1,4)b2.3．添括号法则法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区添括号法则的易错点添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－(b＋c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例3】填空：(1)(x－y＋z)(x＋y－z)＝[x－()][x＋()]；(2)(x＋y＋z)(x－y－z)＝[x＋()][x－()]．答案：(1)y－zy－z(2)y＋zy＋z4．平方差公式、完全平方公式的推导从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式．(1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式．(2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式．5．添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单．【例4】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．解析：左上图的阴影部分的面积为a2－b2，因为右上图为梯形，梯形的高为(a－b)，所以阴影部分的面积为(2a＋2b)(a－b)÷2＝(a＋b)(a－b)．答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2【例5】利用乘法公式计算：(a＋b＋c)(a－b－c)．分析：可将(a＋b＋c)用添括号变形为[a＋(b＋c)]，再把(a－b－c)变形为[a－(b＋c)]，然后先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可．解：(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]＝a2－(b＋c)2＝a2－(b2＋2bc＋c2)＝a2－b2－2bc－c2.6．运用乘法公式解探索规律题解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律．这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用．【例6】观察下列各式的规律：12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…写出第n行的式子，并证明你的结论．解：第n行的式子为：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.证明如下：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝n2＋(n2＋n)2＋n2＋2n＋1＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1＝(n2＋n＋1)2.15.2.1平方差公式选择题1、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是()A.(x+y)(－x－y)B.(2x+3y)(2x－3z)C.(－a－b)(a－b)D.(m－n)(n－m)2、在下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（）A.B.C.D.3、下列计算正确的是()A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9B.(x+4)(x－4)=x2－4C.(5+x)(x－6)=x2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b24、下列运算中，正确的是（）A.B.C.D.5、下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是()A.(－a－b)(－b+a)B.(xy+z)(xy－z)C.(－2a－b)(2a+b)D.(0.5x－y)(－y－0.5x)6、在下列各式中，运算结果是的是（）A.B.C.D.7、(4x2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算()A.－4x2－5yB.－4x2+5yC.(4x2－5y)2D.(4x+5y)28、在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）aabbaaabbabb图1图2图乙B．C．D．二、填空题9、两项和与两项差的积等于这两项的，其中项的平方作为被减数；项的平方作为减数。10、已知，，则11、12、若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．13、14、=；。15、；。16、(a+)(a－)=a2－0.2517、计算：。18、若，，比较aB．三、解答题19、运用平方差公式计算:①20021998②20、先化简，后求值：，其中21、先化简，再求值：，其中．22、化简：．23、化简：15.3乘法公式一、课前预习(5分钟训练)1.下列各式运算正确的是()A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.(ab2)3=ab6D.a10÷a2=a52.用乘法公式计算：(1)5012；(2)99.82；(3)60×59；(4)20052－2004×2006.二、课中强化(10分钟训练)1.计算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.3.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y2(y+3)(y－3).三、课后巩固(30分钟训练)1.下列各式中，相等关系一定成立的是()A.(x－y)2＝(y－x)2B.(x+6)(x－6)＝x2－6C.(x+y)2＝x2+y2D.x2+2xy2－y2＝(x+y)22.下列运算正确的是()A.(a+3)2＝a2+9B.(x－y)2＝x2－xy+y2C.(1－m)2＝1－2m+m2D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y43.将面积为a2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了()A.4B.2a+4C.4a+4D.4a4.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是()A.(a+1)(2a－2)B.(2x－3)(－2x+3)C.(2y－)(+2y)D.(3m－2n)(－3m－2n)5.不等式(2x－1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是()A.x＞－2.5B.x＜－2.5C.x＞2.5D.x＜2.56.计算：(1)(1.2x－y)(－y－1.2x)；(2)15×(－14)；(3)［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；(4)(a－2b+3c)(a+2b－3c).7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求－ab的值.8.图15-3-1为杨辉三角系数表部分，它的作用是可以按规律写出形如(a+b)n(其中n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)4展开式中所缺的系数.图15-3-1(a+b)＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4＝a2+_________a3b+_________a2b2+_________ab3+b4.9.大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：2x(x+y)＝2x2+2xy就可以用图15-3-2(1)的面积表示.图15-3-2(1)请写出图(2)所表示的代数恒等式：__________；(2)请写出图(3)所表示的代数恒等式：__________；(3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(x+y)(x+3y)＝x2+4xy+3y2.10.如图15-3-3所示,长方形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形面积为4，求长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差.图15-3-3参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.下列各式运算正确的是()A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.(ab2)3=ab6D.a10÷a2=a5思路解析：考查整式的运算法则，A中两式不为同类项，不能合并，C中a的指数应为3，D中除法时指数应为分子的指数减分母的指数，即结果应为a8.答案：B2.计算：(1)5012；(2)99.82；(3)60×59；(4)20052－2004×2006.思路分析：本题是利用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，关键是写成公式的形式.解：(1)5012＝(500+1)2＝5002+2×500×1+12＝250000+1000+1＝251001.(2)99.82＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2+0.22＝10000－40+0.04＝9960.04.(3)60×59＝(60+)(60－)＝602－()2＝3600－＝3599.(4)原式＝20052－(2005－1)×(2005+1)＝20052－(20052－1)＝1.二、课中强化(10分钟训练)1.计算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).思路分析：观察每个题的特征，符合完全平方公式的特征，就利用完全平方公式，符合平方差公式的特征，就利用平方差公式，结果注意合并同类项.解：(1)原式＝a4－1+a4＝2a4－1.(2)原式＝4a2－b2－(9a2－b2)＝4a2－b2－9a2+b2＝－5a2.(3)原式＝x2－(16－8x+x2)＝x2－16+8x－x2＝8x－16.(4)原式＝9x2－12xy+4y2－4(2x2－3xy+y2)＝9x2－12xy+4y2－8x2+12xy－4y2＝x2.2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.思路分析：由于(a+b)2和(a－b)2的展开式中都只含有a2+b2和ab，所以把(a+b)2和(a－b)2展开，已知的两个等式可看成是关于a2+b2和ab的二元一次方程组，可求a2+b2和ab的值.解：由(a+b)2＝7，得a2+2ab+b2＝7.①由(a－b)2＝4，得a2－2ab+b2＝4.②①+②得2(a2+b2)＝11，∴a2+b2＝.①－②得4ab＝3，∴ab＝.3.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状.思路分析：式子a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0体现了三角形三边关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab中的2倍，因此可以对等式两边都扩大2倍，从而得到结论.解：∵a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac＝0,即(a2－2ab+b2)+(b2－2bc+c2)+(a2－2ac+c2)＝0.∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y2(y+3)(y－3).思路分析：按运算要求化简方程.解：(1)36x2－63x－［(6x)2－25］+38＝0,63x=63,x=1.(2)［y2－(3y－2)］［y2+(3y－2)］＝y2(y2－9),y4－(3y－2)2＝y4－9y2,y4－9y2+12y－4＝y4－9y2,12y＝4,y=.三、课后巩固(30分钟训练)1.下列各式中，相等关系一定成立的是()A.(x－y)2＝(y－x)2B.(x+6)(x－6)＝x2－6C.(x+y)2＝x2+y2D.x2+2xy2－y2＝(x+y)2思路解析：互为相反数的偶次幂相等.用两个乘法公式计算时，分清其特点.答案：A2.下列运算正确的是()A.(a+3)2＝a2+9B.(x－y)2＝x2－xy+y2C.(1－m)2＝1－2m+m2D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y4答案：C3.将面积为a2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了()A.4B.2a+4C.4a+4D.4a思路解析：用面积公式列出算式(a+2)2－a2，用平方差公式计算.答案：C4.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是()A.(a+1)(2a－2)B.(2x－3)(－2x+3)C.(2y－)(+2y)D.(3m－2n)(－3m－2n)思路解析：平方差公式的特点为两个数的和乘以两个数的差.答案：B5.不等式(2x－1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是()A.x＞－2.5B.x＜－2.5C.x＞2.5D.x＜2.5思路解析：用平方差公式化简，移项合并同类项.答案：D6.计算：(1)(1.2x－y)(－y－1.2x)；(2)15×(－14)；(3)［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；(4)(a－2b+3c)(a+2b－3c).解：(1)用平方差公式来做，但要注意－y和－y是相同项，1.2x和－1.2x是相反项.原式＝y2－1.44x2.(2)原式＝－(15+)(15－)＝－(152－)＝－224.(3)原式＝［2x2－(x2－y2)］(z2－x2+y2－z2)＝(x2+y2)(－x2+y2)＝y4－x4.(4)原式＝［a－(2b－3c)］［a+(2b－3c)］＝a2－(2b－3c)2＝a2－(4b2－12bc+9c2)＝a2－4b2+12bc－9c2.7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求－ab的值.思路分析：知道整式的变形(x+y)2－(x－y)2＝4xy等.解：(1)①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝62－2×4＝36－8＝28.②(x－y)2＝(x+y)2－4xy＝62－4×4＝36－16＝20.③x2+xy+y2＝28+4＝32.(2)由a(a－3)－(a2－3b)＝9，得到－3a+3b＝9，∴b－a＝3..8.图15-3-1为杨辉三角系数表部分，它的作用是可以按规律写出形如(a+b)n(其中n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)4展开式中所缺的系数.图15-3-1(a+b)＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4＝a2+_________a3b+_________a2b2+_________ab3+b4.思路解析：弄清杨辉三角系数中的每一层均是a+b的几次方的系数.第一层为(a+b)0的系数；第二层为(a+b)1的各项系数，依次类推，第五层是(a+b)4的各项系数.答案：4649.大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：2x(x+y)＝2x2+2xy就可以用图15-3-2(1)的面积表示.图15-3-2(1)请写出图(2)所表示的代数恒等式：__________；(2)请写出图(3)所表示的代数恒等式：__________；(3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(x+y)(x+3y)＝x2+4xy+3y2.思路分析：这实际上是一种图形的两种面积表示方法，所以它们是相等的.计算面积时，列出的是整式的乘法.解：(1)(x+y)(2x+y)＝2x2+3xy+y2(2)(2x+y)(x+2y)＝2x2+5xy+2y2(3)答案不唯一，如图：10.如图15-3-3所示,长方形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形面积为4，求长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差.图15-3-3思路分析：因为小正方形的面积为4，所以它的边长为2.显然它是最小的正方形.其余正方形的边长是b＝a+2，c＝b+2＝a+4，d＝c+2=a+6，可见边长为d的正方形是最大的，因此可求得两正方形面积差.解：由题意，得b＝a+2，c＝b+2＝a+4，d=c+2＝a+6，∵AB＝DC，∴d+c＝b+2a.∴a+6+a+4＝a+2+2a.∴a＝8.∴两正方形的面积差为d2－4＝(a+6)2－4＝(8+6)2－4＝192.15.3乘法公式一、课前预习(5分钟训练)1.下列各式运算正确的是()A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.(ab2)3=ab6D.a10÷a2=a52.用乘法公式计算：(1)5012；(2)99.82；(3)60×59；(4)20052－2004×2006.二、课中强化(10分钟训练)1.计算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.3.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y2(y+3)(y－3).三、课后巩固(30分钟训练)1.下列各式中，相等关系一定成立的是()A.(x－y)2＝(y－x)2B.(x+6)(x－6)＝x2－6C.(x+y)2＝x2+y2D.x2+2xy2－y2＝(x+y)22.下列运算正确的是()A.(a+3)2＝a2+9B.(x－y)2＝x2－xy+y2C.(1－m)2＝1－2m+m2D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y43.将面积为a2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了()A.4B.2a+4C.4a+4D.4a4.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是()A.(a+1)(2a－2)B.(2x－3)(－2x+3)C.(2y－)(+2y)D.(3m－2n)(－3m－2n)5.不等式(2x－1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是()A.x＞－2.5B.x＜－2.5C.x＞2.5D.x＜2.56.计算：(1)(1.2x－y)(－y－1.2x)；(2)15×(－14)；(3)［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；(4)(a－2b+3c)(a+2b－3c).7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求－ab的值.8.图15-3-1为杨辉三角系数表部分，它的作用是可以按规律写出形如(a+b)n(其中n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)4展开式中所缺的系数.图15-3-1(a+b)＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4＝a2+_________a3b+_________a2b2+_________ab3+b4.9.大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：2x(x+y)＝2x2+2xy就可以用图15-3-2(1)的面积表示.图15-3-2(1)请写出图(2)所表示的代数恒等式：__________；(2)请写出图(3)所表示的代数恒等式：__________；(3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(x+y)(x+3y)＝x2+4xy+3y2.10.如图15-3-3所示,长方形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形面积为4，求长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差.图15-3-3参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.下列各式运算正确的是()A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.(ab2)3=ab6D.a10÷a2=a5思路解析：考查整式的运算法则，A中两式不为同类项，不能合并，C中a的指数应为3，D中除法时指数应为分子的指数减分母的指数，即结果应为a8.答案：B2.计算：(1)5012；(2)99.82；(3)60×59；(4)20052－2004×2006.思路分析：本题是利用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，关键是写成公式的形式.解：(1)5012＝(500+1)2＝5002+2×500×1+12＝250000+1000+1＝251001.(2)99.82＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2+0.22＝10000－40+0.04＝9960.04.(3)60×59＝(60+)(60－)＝602－()2＝3600－＝3599.(4)原式＝20052－(2005－1)×(2005+1)＝20052－(20052－1)＝1.二、课中强化(10分钟训练)1.计算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).思路分析：观察每个题的特征，符合完全平方公式的特征，就利用完全平方公式，符合平方差公式的特征，就利用平方差公式，结果注意合并同类项.解：(1)原式＝a4－1+a4＝2a4－1.(2)原式＝4a2－b2－(9a2－b2)＝4a2－b2－9a2+b2＝－5a2.(3)原式＝x2－(16－8x+x2)＝x2－16+8x－x2＝8x－16.(4)原式＝9x2－12xy+4y2－4(2x2－3xy+y2)＝9x2－12xy+4y2－8x2+12xy－4y2＝x2.2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.思路分析：由于(a+b)2和(a－b)2的展开式中都只含有a2+b2和ab，所以把(a+b)2和(a－b)2展开，已知的两个等式可看成是关于a2+b2和ab的二元一次方程组，可求a2+b2和ab的值.解：由(a+b)2＝7，得a2+2ab+b2＝7.①由(a－b)2＝4，得a2－2ab+b2＝4.②①+②得2(a2+b2)＝11，∴a2+b2＝.①－②得4ab＝3，∴ab＝.3.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状.思路分析：式子a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0体现了三角形三边关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab中的2倍，因此可以对等式两边都扩大2倍，从而得到结论.解：∵a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac＝0,即(a2－2ab+b2)+(b2－2bc+c2)+(a2－2ac+c2)＝0.∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y2(y+3)(y－3).思路分析：按运算要求化简方程.解：(1)36x2－63x－［(6x)2－25］+38＝0,63x=63,x=1.(2)［y2－(3y－2)］［y2+(3y－2)］＝y2(y2－9),y4－(3y－2)2＝y4－9y2,y4－9y2+12y－4＝y4－9y2,12y＝4,y=.三、课后巩固(30分钟训练)1.下列各式中，相等关系一定成立的是()A.(x－y)2＝(y－x)2B.(x+6)(x－6)＝x2－6C.(x+y)2＝x2+y2D.x2+2xy2－y2＝(x+y)2思路解析：互为相反数的偶次幂相等.用两个乘法公式计算时，分清其特点.答案：A2.下列运算正确的是()A.(a+3)2＝a2+9B.(x－y)2＝x2－xy+y2C.(1－m)2＝1－2m+m2D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y4答案：C3.将面积为a2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了()A.4B.2a+4C.4a+4D.4a思路解析：用面积公式列出算式(a+2)2－a2，用平方差公式计算.答案：C4.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是()A.(a+1)(2a－2)B.(2x－3)(－2x+3)C.(2y－)(+2y)