2024高考数学基础知识综合复习优化集训17正弦定理余弦定理

优化集训17正弦定理、余弦定理

基础巩固

1.在△4直、中，内角4B,。的对边分别为a,b,c.已知2AsinA$a,则8=（）

A.yB.2或卫■

666

「n1、丸T2H

C.-D.孑或可

2.在△48。中，若sinMrinB*sinCR（b+c+&（b+c-锵4bc,则该三角形的形状是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等腰直角三角形【）.等边三角形

3.已知的三个内角A,艮C所对的三条边分别为a,b,c,若A：B：C=[/I：4,则a:b：

c=（）

A.1/I/4B.1Z1：2

C.1/I.*3I）.1Z1；V3

4.设a,〃。分别是△力砥的三个内角A,8,0所对的边，若a=\,b用,则“1=30°”是“比60°”的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.在△//比中，a=718=l,4=6C°，则4=（）

A.30°B.60°

C.30°或150°D.60°或120°

6.在△力8C中，角A,氏C所对的边分别为a,byc,已知csin。-（2a班）sinB=（a-b）sinA,则C=（）

A-T或号C-VD.看或等

7.（2023浙江浙北G2联盟）在△/!比中，sinA；sin//；sinC=3：5；7,则cos。的值为（）

A.1B.OC.1D.i

8.（2023浙江温州新力量联盟）己知△力旗的三边分别为莉八伍C，且者+&二&则△月成是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

9.（多选）（2023浙江杭州六县九校）在△/%中，角/I,耳。的对边分别是处b,c,下列说法正确的有

（）

A.若A>B,贝ijcosJ<cosB

B.若月=30°,6=5,a=2,则△4T有两解

C.若cosAcos庆os。0,则ZU/'为锐角三角形

D.若a—c-cosB=a-cosC,则△//比为等腰三角形或直角三角形

10.（多选）（2023浙江钱塘联盟）△/L%的内角A,B,。的对边分别为a,山c,下列说法正确的有（）

A.若月40°,则△的。外接圆的半径等于1

B.若cos2^=啜,则此三角形为直角三角形

C.若a玛21,则此三角形必有两解

D.若△/切。是锐角三角形，则sinJ-^sinBKos/1-^cosB

11.在△力比'中，角A,AC的对边分别为a,b,c,若a=3,加5,sm力§则sinB=,其外接圆的

半径为.

12.若满足/月侬30。，BCC的△力颇有且只有一个，则边力8的取值范围是.

13.在△48。中，若sinA/sin8..sin62；3；4,则cosC=;当8C=1时,△/!式的面积

等于.

14.（2023浙江余姚中学）在锐箱三角形力和中，角4B,。对应的边分别为a,b,c,△力阳的面积

S~ka-c}.若24（Z?c-a）-ManB,则c的最小值是.

12----------

15.在△/1阿中，角48,。所对的边分别是a,b,c,若且la—b+d（a+b—0当c.

J/

⑴求cosA的值；

(2)若a而，求力的值.

16.已知在△/1比中，角A,氏C的对边分别为a,bc,且注+一?一4.

tcosC2a+c

(1)求角8的大小；

(2)若/尸闻,a打巧,求△力比的面积.

能力提升

17.在锐角三角形,中，A3,B,。的对边分别是b,c,则盘的取值范围是()

山(泊)民(^)

a(?1)D.信力

18.(2023浙江奉化)在锐角三角形力8。中，角A,B,。的对边分别为当6,Q且满足加2AosA.若

4sin力POS(C㈤<2恒成立，则实数A的取值范围为(：

A.(y,竽)氏(-8,啜

C.(-叼2@D.(-“夜

19.(多选)(2023浙江强基联盟)在锐角三角形俯。中，角的对边分别为a,8c,cos胃一点

则下列选项正确的有()°

A.b>a(1,2)

C.C=2AD.tan6/5

20.在等腰三角形ABC中,角A,B,。的对边分别为a,b,c,AB二AC,〃为然的中点，HM,则面积

的最大值为__________.

21.在△力比'中，已知tan力^,tan咤且△力也?最长边的长为后,则△力a'的最短边的长

为•

22.(2023浙江丽水)在阿中，三个内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,AD-2DC,BD2,且(a-

c)sin(力划=(a-8)(sinJ-^sin面.

⑴求8;

⑵当2a+c取最大值时,求△/仍。的周长.

优化集训17正弦定理、余弦定理

基础巩固

1.D

2.D解析由正弦定理知，若sin，rin8・sinC则

又(6+c为)(Z?+c-a)=^bc,

所以(加c)2g历，即/所以该三角形是等边三角形.故选I).

3.D解析设A=x,则B=x,C=4x,所以户才网产180°,解得产30°,则/1W0°,庆30°,。=120°,则a

b/c=sinJ/sin^/sin^inSO^/sin30°/sinl20"=1/1:炳.

4.B解析当时，/尸点,力力。。时，由正弦定理得,sin庐等=后,。。=今所以庐60°或120°,

反之，当6£)°时，由正弦定理得,J-3O0,故若则“月-30°”是“6Y0。”的

必要不充分条件，故选B.

5.A

6.C解析依题意，由正弦定理得(2a+6)。=(a-方)a,c~-2ab=a~-(ib,a+lf-d=-ab°”"二q,即

y2ab2

cosC--^.

因为oav”，所以咛.故选c.

7.A解析：'a；；c=sin力；sin8."sinCW；5；7,

.：C0SC32+52-72=T故选人.

2x3x52

8.A解析设△49C的内角A,B,C所对的边分别为迎,女,女，由才历=/可知，c%且c>by角。为最

大角.

因为4+。'=。：所以a->■If&ab〉d,即(a+垃‘>/,得a+b>c.

在△/1«C中，由余弦定理得cosC-鬻白开,所以角。是锐角，故心是锐角三角形.故选A.

2，a•\lb

9.ACD解析对于A,7函数片cosx在(0…)上单调递减，

ZcosJ<cos^»故A正确.

对于B,由正弦定理可得-三=七，.：sin8出丝=%=力1,此时无解,故B错误.

sinAsinBa24

对于C,Tcoszlcos氏。sGO,角4氏C为三角形的内角，

cos/1>0

•：cosB>O'可知AJi,。均为锐角，故△?!/'为锐角三角形，故C正确.

cosf>0

对于D,：%-"•cos庐&•cos6,•:由正弦定理可得sin/f《in/lcos。格inGos氏又

sin』书in(8+。rin及osGsin&os氏

因此sin^osesinGos"=sin.4cosCnGos}?=>sin&osC=sirL4cosC

bcosC=acosC,

Z(b-a)cosC=0,

・：b二a或cosCO,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确.

故选ACD.

10.ABD解析设△力比'外接圆的半径为匕

a近

根据正弦定理,2"/=逅之所以—

则△/!成外接圆的半径等宇1,故A正确.

zA1+cos/lb+c2R.sinB+2R.sinCsinB+sinC

COS-=-------=----=-------------：------=-----：-----,

222C2,2R.SineZsinC

所以2sinC+2cos力sinCWsinS+ZsinC

所以cos/1sinGsin8=sin[n-(4+0]=sin(/R6)=sin4cosOcos4sinC所以sin/fcosOO,

在三角形中，sin力为,所以cosCO,所以冷,则此三角形为直角三角形,故B正确.

因为a=3,b=A,所以asineW，所以asinB<a〈b,则此三角形只有一解，故C错误.

oN

因为△/1比是锐角三角形,所以oa《所以三力的兀，

所以0<y-//<4<y,所以sin<sinA,即cos«〈sin4同理,cos/1《sin〃,则sin/1inZ/?cos.4-^cos/4

故D正确.故选ABD.

即13'=(a-^c)2-2,3c-2accos^-^25-2ac+ac=2^)~ac,解得ac=12.

・：SA:与icsinB$sing右V5.

能力提升

17.B解析丁小28,.：春学号cos席传与,谒砥战：).

sinCrin(n-A-B)rin(n-3初rin36=sin(8+2而Ein及os28mos6sin28rin8(2cosN-

1)^sin^os^^cos^sin^-sin^^d-sinJi5)sin^-sin^=3sin^"4sin

所以由正弦定理可知搭=3R故选

b+csi.nB：?+smC「=sinB+3sinB_4sin3B=—4COS28O\32/B.

18.B解析因为c-b=2bo.QsA,所以sinC-sin/2sin及os4

H|Jsin/1cos8^os1sin8-sin8Wsin&os4sin/lcos^-siv\B=sin^os/l,sinNcosB-

sin%os1=sin氏sin(力㈤=six.B.

又因为A,B,。均为锐角，所以A-恒(-f,1),所以A-B=B,AAB.

r-n-A-B=^一38,所以cos(。㈤ADOS(nY协=-cos4^--(l-2sin22^)=2sivC2B-\.

0<A=2B

0<S<y所以

{0<C=n_3B<

/Isin/!-cos(C-Z?)<2恒成立，

HP4sin26-(2sin'26-l)〈2o-2sin，26十几sin2£，l<2=2sin'26-Xsin26方1X)，恒成立,其4«房(右,；

）•

因为砥（］，］），所以2BQ（y,y）,sin28£（y.1）.

设片sin2区底（当,1）,则有2y7加1有在（当1）内恒成立，则有久<23对好停1）恒成立.

又当又停1）时,2">乎所以4卷.

故选B.

19.ACD解析：•△仍C为锐角三角形，,:cosd-为，即可得。为,故A正确.

2a22a2

由正弦定理可知，2cos6>^ing-l,即2sinHcos6vsin/l=sin8=sin（力于。FinHcosOcos/sinC

sinX

・：sin力=sin（0T）,又三角形为锐角三角形，

AC-A=A,即G24故C正确.

0<C=2A<^f

0<A<g解得胃<4;，

（3月士，’

・W<T=2力号,

,:方VtanC故D正确.

..csinesin2/l.右

.：2cos/ie（冠,8），故B错误.故选ACD.

20.；解析由题意易知"K2.在△月初中，由余弦定理可得cos小丝虫==：一白可得

2xbx-b4bz

3____3_______2

sin/I^VlZcos^=J1_（U2,

.：△加0的面积S^lrsinA^-Jl_q