不等式的性质课件高一上学期数学北师大版

北师大版必修第一册3.1不等式的性质第三节

不等式第一章

预备知识

在初中数学中,可以利用数轴比较任意两个实数a,b的大小.关于实数a,b,大小的比较,有以下基本事实:

如果a－b是正数,那么如果a>b;

如果a－b等于0,那么a=b;

如果a－b是负数,那么a<b反过来也成立.

知识引入(1)a>b⇔a－b>0a=b⇔a－b=0a<b⇔a－b<0性质1:如果a>b,且b>c,那么a>c.不等式基本性质分析:要证a>c,只需证a－c>0.证明:因为a>b,且b>c,

a－b>0,b－c>0,

从而a－c=(a－b)+(b－c)>0,即a>c.性质2:如果a>b,那么a+c>b+c.分析:要证a+c>b+c,需证(a+c)－(b+c)>0.证明:

因为a>b,所以a－b>0,

所以(a+c)－(b+c)=a－b>0,

即a+c>b+c.性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;

如果

a>b,c<0,那么

ac<bc分析:要证ac>bc,只需证明ac－bc>0

证明:因为a>b,所以a－b>0.又因为c>0,所以(a－b)c>0即ac－bc>0,ac>bc

请同学完成c<0的情况证明例1:试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.

性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.证明:因为a>b,所以a+c>b+c.

又因为:c>d,b+c>b+d

由不等式的性质1,得a+c>b+d.性质5:如果

a>b>0,c>d>0,那么

ac>bd.;

如果a>b>0,c<d<0,那么

ac<bd.证明:因为a>b,c>0,所以ac>bc.

又因:c>d,b>0,所以bc>bd

由不等式的性质1,得ac>bd.

请同学们:完成c<d<0的情况证明.特殊情况:

当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2

例3:(1)已知a>b,ab>0,求证:(2)已知a>b,c<d,求证:a－c>b－d课后小结1.掌握不等式的性质2.会比较两个代数式之间的大小关系3.会利用不等式性质证明不等式课后小结1.掌握不等式的性质(1)a>b,b>c⇒a>c.(2)a>b⇒a+c>b+c(3)a>b,c>0⇒ac>bc;

a>b,c<0⇒ac<bc(4)a>b,c>d⇒a+c>b+d.(5)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.;

a>b>0,c<d<0⇒ac<bd.

a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n≥2)(6)a>b>0⇒(n∈N+,n≥2)方法总结作差比较法比较两式大小的步骤(1)作差:对要比较大小的两个式子作差;(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形;(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号;(4)做出结论.知识梳理·自主探究探究点一用不等式(组)表示不等关系[例1]某汽车货运公司需要购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元,90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育方法总结将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育[针对训练]用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育探究点二实数(式)的比较大小[例2]已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育探究点二实数(式)的比较大小[例2]已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因为x≤1,得x-1≤0,而3x2+1>0,所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育[变式探究]把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因为3x2+1>0,当x>1时,x-1>0,所以3x3>3x2-x+1;当x=1时,x-1=0,所以3x3=3x2-x+1;当x<1时,x-1<0,所以3x3<3x2-x+1.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育方法总结作差比较法比较两式大小的步骤(1)作差:对要比较大小的两个式子作差.(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形.(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号.(4)得出结论.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育探究点三不等式的性质及其应用[例3](1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc;证明:(1)因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育方法总结不等式的性质常与比较大小或不等式的证明等问题结合起来考查,此类题目一般可以结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以利用特殊值求解.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育[针对训练](1)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是(

)√知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育(2)(多选题)已知a<b<0,则(

)√√√知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育【学海拾贝】利用不等式的性质求范围已知含有参数不等式的范围,求含有参数不等式的范围,通常把已知含有参数不等式看作一个整体来解决,不能根据已知不等式的范围,求解每一个参数的范围,然后利用每一个参数的范围求含有参数不等式的范围,因为所给的不等式范围,不能保证每一个参数同时取得最大或最小值,这样会使所求的范围增大.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育[典例探究]已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育[典例探究]已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育[应用探究]已知1≤a+b≤2,3≤4a+b≤4,求9a+b的取值范围.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育「当堂检测」1.完成一项装修工程,请木工需支付工资每人400元,请瓦工需支付工资每人500元,要求工人工资预算不超过20000元.设请木工x人,瓦工y人,则下列关系式正确的是(

)A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200√解析:由题意知,请木工共需支付400x元,请瓦工共需支付500y元,可得共需支付工资(400x+500y)元.又工人工资预算不超过20000元,故400x+500y≤20000,化简可得4x+5y≤200.故选A.知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育2.若m=2x2+1,n=x2+2x,p=-x-3,则(

)A.n≥m>pB.n>m>pC.m≥p≥nD.m≥n>p√知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育3.已知a>c,b>d,则下列结论正确的是(

)A.ab>cdB.a-b>c-dC.ab+cd>ad+bcD.|a+b|>|c+d|解析:若a=2,c=1,b=-1,d=-2,此时ab=cd=-2,a-b=c-d=3,|a+b|=|c+d|=1,A,B,D错误.因为b>d,所以b-d>0,又因为a>c,所以a(b-d)>c(b-d)⇒ab+cd>ad+bc,C正确.故选C.√知识梳理·自主探究课堂探究·素养培育4.已知a>b>c,且a+b+c=0,则b2-4ac

0.(填“>”“<”或“=”)

解析:因为a+b+c=0,所以b=-(a+c),所以b2=a2+c2+2ac.所以b2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2.因为a>c,所以(a-c)2>0,所以b2-4ac>0.>

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