2023-2024学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数章末复习课

章末复习课要点训练一指数型函数、对数型函数的定义域、值域指数型函数与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借助于指数函数、对数函数的单调性.涉及指数函数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如y=af(x)和y=logaf(x)的函数,一般要先求f(x)的值域,然后利用指数函数、对数的单调性求解;二是形如y=f(ax)和y=f(logax)的函数,一般要根据ax和logax的范围,利用函数y=f(x)的性质求解.1.(全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 ()A.y=x B.y=lgxC.y=2x D.y=1解析:函数y=10lgx的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除选项A,C;y=lgx的值域为R,排除选项B,故选D.答案:D2.若函数f(x)=2x-1-2,x≤1,-log2(A.74 B.C.34 D.解析:当a≤1时,f(a)=2a12=3,即2a1=1,不成立,舍去;当a>1时,f(a)=log2(a+1)=3,即log2(a+1)=3,所以a+1=23=8,所以a=7,此时f(6a)=f(1)=222=74故选A.答案:A3.(江苏高考)函数f(x)=log2x-1解析:由题意,知log2x1≥0,即log2x≥log22,解得x≥2,即函数f(x)的定义域为{x|x≥2}.4.若函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[1,0],则a+b=32解析:①当a>1时,f(x)在区间[1,0]上单调递增,则a-1②当0<a<1时,f(x)在区间[1,0]上单调递减,则a-1+b=05.函数y=(12)

x2-2x+2(0≤解析:令t=x22x+2,则y=(12)t因为t=x22x+2=(x1)2+1(0≤x≤3),所以当x=1时,tmin=1;当x=3时,tmax=5.因此1≤t≤5,所以(12)5≤y≤(12)1,因此所求函数的值域为[132,要点训练二指数型函数、对数型函数的奇偶性、单调性(区间)1.奇偶性利用f(x)=f(x)或f(x)=f(x)判断奇偶性或求参数的值,判断奇偶性时注意考虑函数的定义域.2.单调性(区间)形如y=af(x)或y=logaf(x)的函数的单调性要先求定义域,再根据y=au,y=logau和u=f(x)的单调性来确定,其单调性遵循“同增异减”的规律.1.若函数f(x)=2x+12x-a是奇函数,则使f(xA.(∞,1) B.(1,0)C.(0,1) D.(1,+∞)解析:由题意,知f(x)=f(x),即2-x+12-x-a=2x+12x-a,即2x+11-a所以1<2x<2,解得0<x<1.故选C.答案:C2.函数f(x)=log12(x24)的单调递增区间为 (A.(0,+∞) B.(∞,0)C.(2,+∞) D.(∞,2)解析:由x24>0,得x>2或x<2,即函数f(x)的定义域为(∞,2)∪(2,+∞).设u=x24,则u在区间(∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数.又因为y=log12u在区间(0,+∞)上是减函数,所以函数f(x)=log12(x2答案:D3.若函数f(x)=ln(x+a+x2)为奇函数,则解析:由题意,知f(x)+f(x)=0,即ln(x+a+x2)+ln(x+a+x2)=ln(a+x2x解得a=1.要点训练三函数的零点与方程的解(1)方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y=f(x)有零点,在解决函数与方程问题时,要注意三者之间的关系,在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化,同时还要注意使用函数的性质,如函数的单调性、奇偶性等.(2)确定函数零点的个数或函数零点所在区间的两个基本方法:①利用零点存在定理;②数形结合转化为函数图象的交点问题.1.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ()A.y=lnx B.y=x2+1C.y=x3x D.y=e|x|e解析:选项A,y=lnx的定义域为(0,+∞),故y=lnx既不是奇函数也不是偶函数;选项B,y=x2+1是偶函数,但x2+1=0无实根,即不存在零点;选项C,y=x3x是奇函数;选项D,y=e|x|e是偶函数,由e|x|e=0,得|x|=1,所以x=±1,存在两个零点.故选D.答案:D2.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为 ()A.(0,18) B.(18,C.(14,12) D.(解析:易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(18)=π83<0,f(14)=π42<0,f(12)=π21>0,f(1)=π>0,所以f(14)·f(12)<答案:C3.(2023年新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(xa)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是()A.(∞,2] B.[2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)解析:设t=x(xa)=x2ax,对称轴为直线x=a2因为f(t)=2t是增函数,所以要使f(x)在区间(0,1)内单调递减,则t=x2ax在区间(0,1)内单调递减,即a2≥1,即a故实数a的取值范围是[2,+∞).答案:D4.函数f(x)=2x|log0.5x|1的零点个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.4解析:函数的定义域为{x|x>0}.易知函数f(x)=2x·|log0.5x|1(x>0)的零点个数⇔方程|log0.5x|=12x=(12)x(x>0)的根的个数⇔函数y1=|log0.5x|(x>0)与y2=(12)x(x>答案:B5.函数f(x)=x2-2解析:当x≤0时,由x22=0,得x=2;当x>0时,f(x)=2x6+lnx在区间(0,+∞)上为增函数,且f(2)=ln22<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上有且只有一个零点.综上,可知f(x)的零点个数为2.要点训练四比较大小的方法1.幂值的大小比较(1)对于底数相同、指数不同的两个幂,可以利用指数函数的单调性来比较大小.(2)对于底数不同、指数相同的两个幂,可以利用幂函数的单调性来比较大小.(3)对于底数不同、指数也不同的幂,则应通过中间值(如0,1,1等)来比较大小.(4)对于三个或三个以上的幂的大小比较,则应先根据值的大小(特别是与0,1比较)进行分组,再在各组中比较数的大小,最后综合在一起.2.对数值的大小比较(1)底数相同的对数的大小比较,可利用对数函数的单调性来求解.(2)底数不同、真数相同的对数的大小比较,可取倒数,也可以使用图象比较大小.(3)底数、真数都不同的对数的大小比较,能化为同底的化成同底再比较大小,不能化成同底的则借助中间值比较大小.3.幂值、对数值混合(三个)的大小比较先区分各数值的正、负,再区分是大于1还是小于1,最后分类比较.1.若a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 ()A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b解析:由log27>log24=2,知a>2.由log33<log38<log39,知1<b<2.由0.30.2<0.30=1,知c<1.所以c<b<a.答案:A2.若a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a解析:由log20.2<log21=0,知a<0,由20.2>20=1,知b>1.由0<0.20.3<0.20=1,知0<c<1.所以a<c<b.答案:B3.若a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则 ()A.b<a<c B.c<a<bC.c<b<a D.a<c<b解析:由log33<log37<log39,知1<log37<2,所以1<a<2.由21.1>21,知b>2,由0.83.1<0.80=1,知c<1.所以c<a<b.答案:B要点训练五建模思想(1)解决函数应用题的关键在于理解题意,并准确建立数学模型.因此,一方面要加强对常见函数模型的理解,弄清其产生的实际背景,把数学问题生活化;另一方面,要不断拓宽自己的知识面,提高生活阅历,培养实际问题数学化的意识和能力.常见的解决方法:①关系分析法:通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型.②列表分析法:通过列表的方法探求函数模型.③图象分析法:通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型.(2)对于只是给出几组对应值,而变量关系不确定的应用题,求解函数模型的一般步骤如下:①作散点图;②选择函数模型;③用待定系数法求函数模型;④检验,若符合实际,则可用此函数模型解决问题,否则重复步骤②~④.1.已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%,设质量为1的这种物质,经过x年后剩余质量为y,则x,y之间的函数解析式是 ()A.y=0.9576100x B.y=0.9576C.y=0.9576100xD.y=10.0424解析:设质量为1的这种物质1年后剩余质量为a,则有a100=0.9576,所以a=0.95761所以y=ax=0.9576x答案:B2.若某工厂的产值月平均增长率为p,则年平均增长率是 ()A.(1+p)11 B.(1+p)12C.(1+p)111 D.(1+p)121解析:设第一年的第一个月的产值为a,则第一年的产值M=a+a(1+p)+a(1+p)2+…+a(1+p)11,第二年的产值N=a(1+p)12+a(1+p)13+…+a(1+p)23=M(1+p)12.所以年平均增长率为N-MM=(1+p)答案:D3.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,此种溶液的杂质含量不能超过0.1%.若初始含杂质2%,每过滤一次可使杂质减少13,则至少应该过滤8次才能达到市场要求(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解析:设应该过滤n次,则2%(113)n≤0.1%,则n≥-lg2-1lg2-lg3≈74.为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站.测量最大积雪深度xcm与当年灌溉面积yhm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的图象;(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25cm,请估计可以灌溉的土地面积是多少.答案:(1)描点作图,如图甲:(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深