2024 年高考数学模拟试卷1

2024年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知IBS等比数列包}满足=2%+廷，,an，使彳iama=知，则'+2日混小勃().

mn

yo

A16B—C5D4

.•3

V

2.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为V,则一二()

v

A.4B.8C.9D.27

3.已知ABC中，AB=2,BC=3,经ABC=60O,BD=2DC,AE二EC,则AD.BE=()

A.1B.-2C.1D.-1

22

4.设S;{x|2x+l>0},T={x|3x—5<0},则ST()

A.⑦B仅C"x|x>?}D{x|__l<xv_5}

2323

5.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD,将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面

人•4B.等常

6.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离

地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为()

1+e2e「1+ee-

A.——r+——RB.——r+——R

1-e1-e1-e1-e

1-e2e-1-ee-

C.——r+——RD.——r+——R

1+e1+e1+e1+e

的左右焦点分别为％，点已知动点在双曲线的右支

7.飒=l（a>0,b>0）F2E（0,t）（t>0）.PC

ab

上，且点P,EzF2不共线.若APEFz的周长的最小值为4b,则双曲线C的离心率e的取值范围是（）

A.Q（Z?，+丽B.01（青］C.R5+丽）D.

✓」

8.已知a=log3V2,b=In3,c=2°",则a,b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

9.下列判断错误的是（）

A.若随机变量E月龈正态分布N（L。）p（a<4）=0.78,则P（W<-2）=0.22

B.已知直线IJ平面a，直线m//平面0厕"a//0"是"IJm”的充分不必要条件

C.若随机变置月跳口^布：&B（|（4j,则E（W）=1

4

D.am>bm是a>b的充分不必要条（牛

10.已知随机变量X月纵正态分布N（4,9）,且P（X<2）=P（X>a）,则a=（）

A.3B.5C.6D.7

x2\

11.已知函数f（x）=x（lx・ln1，关于x的方程f（x）二a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）

（a）

/

\

A|/O1U1eB6

\7(

C.|（e,l）lD.（O,1）

12.已知复数〃lifa〃为纯虚数（为虚数单位），则实数0（）

A.-1B.1C.0D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已矢1抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为2的直线I与C的交点为A,B，苟AF|十|BF|=5,则直线I的方

程为___________

14.有2名老।廨口3名同学，将他们随机地排成一行，用士表示两名老师之间的学生人数，则£=1对应的排法有

种；E(H=;

15.已知双曲线x2-y2=l(a>O,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为.

a2b2

16.(a-2b)5(1-c)的展开式中，a*b?c的系数是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点为片(一4,0),F?(G,0),M为椭圆C上任意一点，且

MH+MF|2|=4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线I:y=kx+m(k>Qm>0)交椭圆C干P,Q两点，且满足k\=%P.kOQ(k”，嗫及。分别为直线

PQOP.OQ的斜率),求AOPQ的面积为百时直线PQ的方程.

2

18.(12分)设椭圆C^l+22=l(a>b>0)的离，薛为/，圆0:X?+y2=2与x轴正半轴交于点A,圆。在点

ab2

A处的切线被椭圆C截得的弦长为2应.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设国。上任意一点P处的切线交椭圆C于点M,N，试判断|PM|]PN是否为定值?若为定值，求出该定值；若

不是定值，请说明理由.

19.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进

行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)

平均每天健原

[0J0)[10：20)[20,30)[30.40)[40,50)[50,60)

的时阍/分钟

堡人敌20J644J04010

将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”.

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2x2列联表:

绸炼A士而合计

男

女20110

合计

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

由a?=四+猊，可得q=3,由钻二知，可得m+n=4,都际“V的妙用即可求出所求式子的最小值.

【详解】

22

设等比数列公比为q(q>0),由已知，为q=2a5q+3^,gpq=2q+3,

解得q=3或q=—1(舍)，又am自=9af,所以出3kl.aQi=9a"

H

m19119IQ;n

即3»2=j，故m+n=4,BfUl—+-=-(—+-)(m+n)=-(10+—+—)

mn4mn4mn

之L(10+/9)=4，组第m=l,n=3时，相盛L

4

雌：D.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.

2、D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取BC的中点为D,连接AD，作正四面体的高为PM,首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在RtAAMN中，根据勾股定理求出外接球的半径,利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四直体的棱长为1,取BC的中点为D,连接AD,

作正四面体的高为PM,

P

A

则AD=3AM=AD=

233

：PM=VPA2-AM2n

3

1百几V2

P-ABC=一根----根-----

34312

设内切球的半径为r,内切球的球心为O,

则Vp-ABC=4V°_ABC=4根

解导：r二吏;

12

设外接球的半径为R,外接球的球心为N,

则MNb|PM・R或R|・PM|,AN=R,

在RtAAMN中，由勾股定理得:

AM2+MN2=AN2

1（心）2,

3+i,3.、二R‘解得R

4

A3

R3

V

♦=27

r

故选:D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、夕械球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

3、C

【解析】

以BA,BC为基底,将AD,BE用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

BD=2DCBD=2BCAD=BD-BA=iBC-BA

'3'3

AE=ECZ:BE=：BC+^BA,

211

AD.BE=(_BC-BA).(JBC+-BA)

322

12112

=-BC-_BC.BA--BA

362

[1-11

=1-x2x3x=.

622

故选:C.

【点睛】

本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.

4、D

【解析】

集合S,T是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可

【详解】

T={x|3x-5<0}=<*<：〉，

赃(T=卜|一；<x<；卜

故选D

【点睛】

本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题.

5、C

【解析】

利用建系，假设AB长度，表示向量AC与BD,利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由平面ABDJ平面BCD,AB」BD

平面ABD(平面BCD=BD,AB平面ABD

所以ABJ平面BCD,又DC仁平面BCD

所以AB」DC,又DB」DC

所以作z轴〃AB,建立空间直角坐标系B—xyz

如图

设AB=1,所以BD=LDC=1,BC=&

则A（O,1,1）,B（0,1,0）,C（1,0,0）,D（0,0,0）

所以AC=（LT-l）,BD（0「L0）

所以C£AC，BD）=/氤专舍

故选：c

【点睛】

本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利

用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.

6、A

【解析】

由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴a,半焦距G即可确定该卫星远地点离地面的

距离.

【详解】

椭圆的离薛：e=：EQ1）,（c为半焦距;a为长半轴），

a

设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r,n,如图：

则n=a+c-R,ri=a-c-R

r+R(r+R)e

所以—,c=

1-e1-e

r+Re(r+R)1+e2e

n=a+c-R=-------+------------R=------r+------R

1-e1-e1-e1-e

故选：A

【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，属于中档题.

7、A

【解析】

依题意可得「之】・

PE%=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EFX2PF2a=4b

艮何得到2a+4b>2（a+c）,从而求出双曲线的离心率的取值范围；

【详解】

解：依题意可得如下图象，

CAPEF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EF]

=PE+PF】+EF「2a

之2PF「2a=4b

(

:2PF1=2a+4b>2a+c)

所以2b>c

贝！]4c2-4a2>d

所以3c2>4a2

24

所以e?=-

aa

q72>/3

所以e>F-，即e=|

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.

8、A

【解析】

根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.

【详解】

因为log3y/2<双弗二;,

所以a<:.

因为3>e,

=ln3>Ine=1,

因为0>-0.99>—1,y=2为增函数，

所以」〈（：=岁039<1

2

所以b>c>a,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.

9、D

【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四

个选项加以分析判断,进而可求解.

【详解】

对于A选项,若随机变量w月艮从正态分布N（1P收<4）=0.78,根据正态分布曲线的对称性，有

P（£<-2）=P（w之4）=1-p（W<4）=1-0.78=0.22,故随；

对于B选项，已知直线I」平面a，直线m〃平面0,则当a〃B时一定有I」m，充分性成立，而当I」m时，不

一定有a/不，故必要性不成立，所以“a/单”是“I」m”的充分不必要条件，故B选项正确，不符合题意；

BQ（44）,则E（£）二np二坐艮,故C选项正确，不符合题意;

对于C选项，若随机变量W月纵二I页分布：

对于页，am>bm,仅当m>0时有a>b,当m<0时，a>匕不成立，古好汾性不成立；若a>b,仅当m>0

时有am>bm,当m<0时，am>bm不成立，故必要性不成立.

因而am>bm是a>b的既不充分也不必要条件，故D选项不正确，符合题意.

故选：D

【点睛】

本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查

理解辨析能力与运算求解能力，属于亶出题.

10、C

【解析】

根据在关于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.

【详解】

—4,0=3,

:P（X<2）=P（X<4-2）=P（X之4+2）=P（X之6）=P（X之a）,:a=6.

古嫡：C.

本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布N（p,c2）,则

P（X<|j-m）=P（X^p+m）.

11、D

【解析】

原问题转化为；-力金I吟=1有四个不同的实根，换元处理令t=京，对g(t)=Int2眄亍零点

个数讨论.

【详解】

x

由崎，a>2,令t=&,

2

(x)x2|xx2

贝！Jf(x)=a=X|/x-ln-|二ao/=ln=1

I(ayavaVaa

记g(t)=Int2-^ad(t-yj.

当t<2时，g(t)=2ln(-t)(t-1)单调递减，且g(-2)=2,

又g(2)=2,.•.只需g(t)=2在(2,+6上有两个不等于2的不等根.

o70二警

记h(t)=即*(t>2且t#2),

t-I

则h，(t)(2lnt+2)(t2-1)-4t2lnt2

(trl?

令。⑴名华*叱=杭2•

t2.1

・・力(2)=2,.-4(t)=.・Int在(2,2)大于2,在(2,+切上小于2.

t+1

「h(t)在(2,2)上大于2,在(2,+8)上小于2,

则h(t)在(2,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

由后等二Hm2lnt+2

=1,可得a<1，即a<2.

2

t喻11.11喻1

.•实数a的取值范围是(2,2).

古嫡：D.

【点睛】

此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.

12、B

【解析】

化简得到JQ/）/,根据纯虚数概念计算得到答案.

【详解】

；（/-i）Q，Da•/,（，，/）为纯虚数，故八/。且''，即aJ.

故选：B

【点睛】

本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2x-y-2=0

【解析】

设直线I的方程为y=2x+t,A（x「yJ,B（X2,y2）,联立直线I与抛物线C的方程，得到A,B点横坐标的关系式，

代入到AF+BF=4中，解出t的值，即可求得直线I的方程•

【详解】

旗线:y=2x+t,A（x1,y1）,B（x2,y2）.

由题场导F（1Q）,故AF+BF="+2,

由题设可得x1+x2=3.

由（V2x+Rl^x2+4（t-1）x4-t2=0,

ly=4x

则％+&=1-1,

从而1・t=3,得t=-2,

所以I的方程为y=2x-2,

2x-y-2=0

【点睛】

本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属丁中档题.

14、36；1.

【解析】

£的可能瞅劭0,1,2,3,&=1对觥腓法有：C；A代二36例原出P（W=O）,P（W=1）,P（E=2）,P（£二3）,

由此能求出E（W）.

【详解】

解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用£表示两名老师之间的学生人数，

则W的可能取值为0,1,2,3,

£二1对应邮混有：C；A：A：=36.

*=1对应的排法有36种；

P（^=0）=^1=48

A5120

C1A2A336

P（W=1"Y'

'fA120

A2A2A224

P4=2）='；，二,

'、）A：120

A2A212

Pt"）二刀二⑵，

48362412

...E（W）=0根+1根+2根+3f艮=1

'7120120120120

36；1.

【点睛】

本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.

15、至

2

【解析】

b2、即a=2b,进而由双曲线的几何性质可得c=^2+b2二胡b,由双

根据题意，由双曲线的渐近线方程可得二

a

曲线的离心率公式计算可得答案.

【详解】

根据题意，双曲线：一：；=1(a>0,b>0)的渐近线方程为丫二士;x,

又由该双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,即y=；x,

b[

则有一•一,即a=2b,

a2

则c=Ja?+6=&b,

贝眩双曲线的离心率e二c二叵二亚;

a2b2

故答案为：近.

2

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质,关键是分析a、b之间的关系，属于基础题.

16、-40

【解析】

先将原式展开成(a-2b)5-c(a-2b)5，发现(a-2b)5中不含a3b2c,故只研究后面一项即可得解.

【详解】

(a-2b)5(1-c)=(a-2b)5-c(a-2b)5,

依题意,只需求「c.(a—2b)5中a%2c的系数，是一C>(-2)2=-40.

故答案为：-40

【点睛】

本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/=1(2)y=1X+/或y=+£

42T2

【解析】

(1)根据椭圆定义求得a,b,得椭圆方程；

y=+m

2

(2)设P(Xi，y)Q(X2，y2),由x,得(1+**+8kmx+4nf-4=0,应用韦达定理得x1+X2，XiX2,

+>广=1

4

代入巳矢陈件k；Q=k°p.&可得k二二,再由椭圆中弦长公式求得弦长PQ,原点O到直线PQ的距离d,得三角

形面积，从而可求得m，得直线方程.

【详解】

解：（1）廉懿《胭（2的强/；+1=19＞八0）

aD

（件二4

则（c=3

F=a2+tf

:a=2,tf=1

y2

椭圆C的标准方程为x+y2=1.

4

y=kx+〃j

⑵据〈一得(1+4k2)x2+8kmx+4m2—4=0

02=1

[4

:64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0

:rrf〈4k2+1

"%），Qg）,则…二"联

=

嗡KP-Kxj

:k2=yi-y

%x2

:超+m)(kx2+m)=感凶

2

:mk^+x2)+m=0

-8A21rl2

:〃+rrf=0

1+4k2

又k>Qm>0

1

：k=2

：法匹.厢昴4不收?时IF)

Ird

原点O到直线PQ的距离d=T=U

Vl+k2

二;m223

:SAOPQXPQXq=2；+；k2=|m2-m=2(m>0)

导m二或m二

22

X1

:所的ytx+©或y=x+—

2222

【点睛】

本题考查求椭圆标准方程，考直直线与椭圆相交问题.解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为

直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得,把这个结论代入题中条件求得

P(XpyjQ(x2,y2),Xi+X2/XXX2

参数，用它求弦长等等，从而解决问题.

18、(l)x2+y2=l;(2)见解析.

63

【解析】

⑴结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可.(II)

分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将

直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM.ON,结合三角形相似，证明结论，即可.

【详解】

(I)设椭圆的半焦距为c,由椭圆的离心瘁为，b=c,a=2b,

2

椭圆C的方程可设为I2+f=1.

2b02

易求得A(C0)，.点(72J2)在椭圆上，/.2]+•=1,

(a2=6Y2V2

解得<2，，椭圆C的方程为x+7二i.

1b=363

(口)当过点P且与圆。相切的切鳏率不存在时，不妨设切线方程为X=#7由(I)知，M(777),N(1一。)，

0M二他用,0N=(£M),OM.ON=0JON.

当过点P且与圆。相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y=匹+m,M(%,yj,N(X2,力)，

/.上“二F,即rr?=2(k2+1).

Vk+1

联立直线和椭圆的方程得x2+2(kx+m『=6,

△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0

.-.(l+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0J#(%+x?

2m26

H.二旅.I

'.'OM=(X1，Yi),ON=(x2,丫2),

/.OM.ON=XjX2+y1y2=峪+(%+m)(kx2+m),

22

=(l+k^x^+km(x1+x2)+rrf=(1+k),^+km.4-m

'7v72k+12k2+1

22222

(1+k)(2m-6)-4krrf+rrf(2k+1)3m2_5^_53(2片+2)-6k-6

■=01

2k2+12k2+12k2+1

.-.OMJON.

综上所述，圆。上任意一点P处的切线交椭圆C于点M,N,都有OMJON.

在RtAOMN中，由AOMP与ANOP相似得,|Off同PMIPN|二2为定值

【点睛】

本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难.

19(1)能；(2)(i)男生有6人，女生有4人；(ii)E(X)=4，分布列见解析

'5

【解析】

(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这

样不达标人数随之而得，然后计算E可得结论；

(2)由达标人数中男女生人数比为3：2可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，X的可能值为0,1,2,分别

计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望.

【详解】

(1)列出列联表,

旧烁不达柘承球网合计

男603090

女9020110

合计15050200

K?_200x(60x20—30x90)2=普心6.061>5.024,

150x50x90x110

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“课夕M本育达标”与性^有关.

(2)(i)在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3:2,

用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人.

(ii)从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，2人中女生的人数为X,

则X的可能值为0,1,2,

则P(X=0)=cl=J,P(X=1)=C^=1,P(X=2)=C^=A,

C

103C1015C1015

可得X的分布列为：

X012

P182

3r

可得数学期望E(X)=0x^+lxA-2x^3=-^.

【点睛】

本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望.主要考查学生的数据处理能力，运算

求解能方，属于中档题.

20、(1)1；(2)4刀

2

【解析】

(1)根据正^定理化简得SJsin(A—B)=sin(A+B)—sinB，故sinB=2sinBcosA,得噌案

(2)计算be<16,再利用面积公式计算得到答案.

【详解】

(1)tanA-tanB_c-b贝sinAcosB-cosAsinB_sinC-sinB

tanA+tanBcsinAcosB+cosAsinBsinC

即sin(A-B)=sin(A+B)-sinB，故sinB=2sinBcosA,sinB子0,故cosA=".

(2)a?=tf+(?-2bccosA，故b，+(?-be=16之2bc-be,故be<16.

当b=c=4时等号成立.

«）8二1,故5访人=/，S=2bcsinA<4f3，故AABC面积的既鼬4&.

222

【点睛】

本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.

21、（I）见证明；（口）后

4

【解析】

（I）取BC的中点为D,连结DF,易证四边形CDFG为平行四边形，即CG〃DF,由于BF=CF,D为BC的

中点，可得到DFJBC,从而得到CGJBC,即可证明CGJ平面ABC,