新教材2023年高中数学综合测试9第9章统计

第九章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．质检部门检查一箱装有2500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是(D)A．总体是指这箱2500件包装食品B．个体是一件包装食品C．样本是按2%抽取的50件包装食品D．样本量是50[解析]总体是指这箱2500件包装食品的质量，故A项错误；个体是一件包装食品的质量，故B项错误；样本是按2%抽取的50件包装食品的质量，故C项错误；样本量是50，故D正确．故选D．2．下列两个抽样：①一个城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，为了掌握该商品的销售情况，要从中抽取一个容量为21的样本；②某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱(每箱12盒)牛奶中抽取4盒进行质量检查．则应采用的抽样方法依次为(C)A．简单随机抽样；简单随机抽样 B．分层随机抽样；分层随机抽样C．分层随机抽样；简单随机抽样 D．简单随机抽样；分层随机抽样[解析]①中商店的规模不同，所以应采用分层随机抽样；②中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用简单随机抽样．3．某校高一年级15个班参加庆祝建党100周年的合唱比赛，得分如下：85、87、88、89、89、90、91、91、92、93、93、93、94、96、98，则这组数据的40%分位数、90%分位数分别为(A)A．90.5、96 B．91.5、96C．92.5、95 D．90、96[解析]将数据从小到大排列可得85、87、88、89、89、90、91、91、92、93、93、93、94、96、98，由15×40%＝6，则40%分位数为eq\f(90＋91,2)＝90.5，由15×90%＝13.5，则90%分位数为96．故选A．4．(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(C)A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间[解析]A．低于4.5万元的比率估计为0.02×1＋0.04×1＝0.06＝6%正确．B．不低于10.5万元的比率估计为(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%正确．C．平均值为：(3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02)×1＝7.68万元，不正确．D．4.5万到8.5万的比率为：0.1×1＋0.14×1＋0.2×1＋0.2×1＝0.64．正确．5．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为(C)A．2 B．4C．8 D．16[解析]因为样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22×2＝8．故选C．6．(2022·云南高一月考)某工厂利用随机数法对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600．从中抽取60个样本，下面提供由随机数表产生的第4行到第6行的随机数：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是(D)A．324 B．522C．535 D．578[解析]从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为436,535,577,348,522,535,578,324,577，…．因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324，…，故第6个数据为578．故选D．7．第24届冬奥会于2022年在北京和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障，在冬奥会志愿者的选拔工作中，某高校承担了志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，同学们面试得分的频率分布直方图如图所示，则此次面试中得分的90%分位数是(A)A．85 B．90C．86 D．80[解析]由图知各组的频率为分组[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.10.30.410a0.110a所以a＝0.005，则第四组[70,80)的频率为0.05，前四组的频率之和为0.85，所以这次面试得分的90%分位数是在第五组内，且为80＋10×eq\f(0.9－0.85,0.95－0.85)＝85．故选A．8．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则(B)A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差[解析]讲座前中位数为eq\f(70%＋75%,2)＞70%，所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%＞20%，所以D错．故选B．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(BD)A．57.2 B．62.8C．63.6 D．3.6[解析]当一组数据中的每个数同时加上一个数后，平均数相应增加，但方差不变，可知新数据的平均数为62.8，方差为3.6．故选BD．10．教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数zi＝eq\f(1,s)(xi－eq\x\to(x))(i＝1,2，…，n)，其中xi为原始分数，eq\x\to(x)为原始分数的平均数，s为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩eq\x\to(x)＝115，标准差s＝10.8，转化为标准分数后，记平均成绩为m，标准差为σ，则(BD)A．m＝115 B．m＝0C．σ＝10.8 D．σ＝1[解析]根据平均数与方差公式，得m＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,z)i＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,s)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))＝eq\f(1,s)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,x)i－\x\to(x)))＝eq\f(1,s)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－\x\to(x)))＝0，σ2＝eq\f(1,s2)·s2＝1，即m＝0，σ＝1．故选BD．11．(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则(CD)A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同[解析]A．eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)i,n)；eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)i＋nc,n)＝eq\o(x,\s\up6(－))＋c；B．y中＝x中＋c；C．Seq\o\al(2,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2；S′eq\o\al(2,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,[)(xi＋c)－(eq\x\to(x)＋c)2]＝Seq\o\al(2,n)；D．x的极差为xmax－xmin；y的极差为(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin．故选CD．12．为庆祝中国共青团成立100周年，校团委举办了“学团史，知团情”知识竞赛，甲、乙两个组各派7名同学参加竞赛，测试成绩(单位：分，十分制)如图所示，则下列描述正确的有(AC)A．甲、乙两组成绩的极差相等B．甲、乙两组成绩的平均数相等C．甲、乙两组成绩的中位数相等D．甲组成绩的方差大于乙组成绩的方差[解析]甲、乙两组成绩的极差都为4，故A正确；甲组成绩的平均数为eq\f(4＋5＋6＋6＋7＋7＋8,7)＝eq\f(43,7)，乙组成绩的平均数为eq\f(5＋5＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝eq\f(45,7)，∴甲组成绩的平均数小于乙组成绩的平均数，故B错误；甲、乙两组成绩的中位数都为6，故C正确；甲组成绩的方差为：eq\f(1,7)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(43,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(43,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(43,7)))2×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(43,7)))2×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(43,7)))2))＝eq\f(76,49)，乙组成绩的方差为eq\f(1,7)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(45,7)))2×3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(45,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(45,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(45,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(45,7)))2))＝eq\f(110,49)，∴甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，故D错误．故选AC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为__30__．[解析]由题意知，eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30．14.3月12日是植树节，某地组织青年志愿者进行植树活动，植树的树种及其数量的折线图，如图所示．后期，该地区农业局根据树种采用分层抽样的方法抽取150棵树，请专业人士查看树种的成活情况，则被抽取的梧桐树的棵数为__10__．[解析]由分层抽样法，被抽取的梧桐树的棵数为：150×eq\f(50,200＋100＋250＋150＋50)＝10．故答案为10．15．(2022·黑龙江哈尔滨三中高二期末)某同学4次三级跳远成绩(单位：米)分别为x，y,11,9，已知这4次成绩的平均数为10，标准差为eq\r(2)，则xy的值为__97__．[解析]数据x，y,11,9的平均数为10，标准差为eq\r(2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋11＋9＝40，,\f(1,4)[x－102＋y－102＋12＋－12]＝2，))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,x2＋y2＝206，))所以xy＝97．16．在对某中学高一年级学生每周体育锻炼时间的调查中，采用随机数法，抽取了男生30人，女生20人．已知男同学每周锻炼时间的平均数为17小时，方差为11；女同学每周锻炼时间的平均数为12小时，方差为16．依据样本数据，估计本校高一年级学生每周体育锻炼时间的方差为__19__．[解析]根据平均数的计算公式，全班的平均数为eq\x\to(z)＝eq\f(17×30＋12×20,30＋20)＝15(小时)，由S2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi2－2xieq\x\to(x)＋eq\x\to(x)2)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i2－2eq\x\to(x)eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\x\to(x)2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i2－eq\x\to(x)2，设男同学为x1，x2，…，x30，女同学为y1，y2，…，y20，则男同学的方差Seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,30)eq\i\su(i＝1,30,)(xi－17)2＝eq\f(1,30)eq\i\su(i＝1,30,x)i2－289＝11，从而eq\i\su(i＝1,30,x)i2＝300×30＝9000，则女同学的方差Seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,)(yi－12)2＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i2－144＝16，从而eq\i\su(i＝1,20,y)i2＝160×20＝3200；所以全班同学的方差为S2＝eq\f(1,50)eq\i\su(i＝1,50,)(zi－15)2＝eq\f(1,50)eq\i\su(i＝1,50,z)i2－225＝eq\f(1,50)(9000＋3200)－225＝19．故答案为19．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)南京市某报社发起了建党100周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取60篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在[15,65]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：(1)求频率分布直方图中m的值；(2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在[15,35)的作者中选出参加座谈会的人数；(3)根据频率分布直方图，求这60位作者年龄的样本平均数eq\x\to(x)(同一组数据用该区间的中点值作代表)和80百分位数(结果保留一位小数)．[解析](1)∵10×(0.01＋0.015＋m＋0.03＋0.01)＝1，∴m＝0.035．(2)应从[15,35)选出参加座谈会的人数为：20×(0.01＋0.015)×10＝5人．(3)由题意得：eq\x\to(x)＝(20×0.01＋30×0.015＋40×0.035＋50×0.03＋60×0.01)×10＝41.5；假设第80百分位数为t，则(0.01＋0.015＋0.035)×10＋(t－45)×0.03＝0.8，解得：t≈51.7，即第80百分位数为51.7．18．(本小题满分12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．[解析]由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以eq\f(4＋x,2)＝5，解得x＝6．设这组数据的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，由题意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s2＝eq\f(1,6)×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝eq\f(74,3)．19．(本小题满分12分)(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率．[解析](1)平均年龄eq\o(x,\s\up6(－))＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．(2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89．20．(本小题满分12分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组．已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示．(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数；(2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a∈[70,80)，b∈[80,90)，c∈[90,100]，当三人的体育成绩方差s2最小时，写出a，b，c的所有可能取值(不要求证明)．[解析](1)由折线图得体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)，∴估计该校高一年级学生“体育良生”的人数为1000×eq\f(30,40)＝750．(2)用样本估计总体的思想，估计该校高一年级学生达标测试的平均分为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,40)(45×2＋55×6＋65×2＋75×14＋85×3＋95×13)＝77.25(分)．(3)∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a∈[70,80)，b∈[80,90)，c∈[90,100]，其中a，b，c∈N，∴当三人的体育成绩方差s2最小时，a，b，c的所有可能取值为79,84,90或79,85,90．21．(本小题满分12分)某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分；(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶24∶5[解析](1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005．(2)这100名学生化学成绩的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)．(3)数学成绩在[50,60)的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60,70)的人数为100×0.4×eq\f(1,2)＝20，数学成绩在[70,80)的人数为100×0.3×eq\f(2,3)＝20，数学成绩在[80,90)的人数为100×0.2×eq\f(5,4)＝25．所以数学成绩在[50,90)之外的人数为100－5－20－20－25＝30．22．(本小题满分12分)在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．(1)若采用随机数法抽样，已知用计算机产生的若干0～9范围内的随机数如下，以第3个数5为起点．从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；06512916935805770951512687858554876647547332081112449592631629562429482699616553583778807042105067423