新教材2023-2024学年高中数学第3章排列组合与二项式定理测评（二）新人教B版选择性

第三章测评(二)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若An3=12Cnn-A.4 B.6 C.7 D.82.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种 B.20种 C.25种 D.32种3.x2+1x6的展开式中常数项为()A.30 B.20 C.15 D.104.[2023江苏高二课时练习]设(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10A.80 B.80 C.160 D.2405.将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()A.60种 B.120种 C.240种 D.480种6.(xy)(x+y)8的展开式中x3y6的系数为()A.28 B.28 C.56 D.567.某人民医院召开表彰大会,有7名先进个人受到表彰,其中有一对夫妻.现要选3人上台报告事迹,要求夫妻两人中至少有1人报告,若夫妻同时被选,则两人的报告顺序需要相邻,这样不同的报告方案共有 ()A.80种 B.120种C.130种 D.140种8.如图为并排的4块地,现对4种不同的农作物进行种植试验,要求每块地种植1种农作物,相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物,则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为()①②③④A.24 B.80 C.72 D.96二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在下列各式的运算结果中,等于n!的有()A.AnB.m!AC.1nD.(nm)!C10.计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种挂在一起,水彩画不在两端,那么下列不同的排列方式种数中错误的有()A.A44C.A3111.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an1=125n,则下列结论正确的是()A.n=6B.(1+2x)n展开式中二项式系数和为729C.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开式中所有项系数和为126D.a1+2a2+3a3+…+nan=32112.已知ax2+1xn(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中x15的系数为45三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若A16m=16×15×14×…×4,则正整数m=14.将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A,B,C,D四个班级,每个班级一位老师,且甲不能分配到A班,丁不能分配到B班,则共有分配方案的种数为.

15.1x2x4展开式中的常数项为.

16.[2023浙江高三专题练习]若多项式x5+(x+2)6=a0+a1(x+1)+…+a6(x+1)6,则a0+a2+a4+a6=;a0+a3=.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知(1+2x)n的展开式中,所有二项式系数之和为64.(1)求n的值以及二项式系数最大的项;(2)若(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,求a0+a2+a4+…+an的值.18.(12分)在下列三个条件中任选一个条件,补充在下面问题中的横线上,并解答.条件①:展开式中倒数第3项的二项式系数为15;条件②:展开式中只有第4项的二项式系数最大;条件③:展开式中各项的二项式系数和比系数和多63.问题:已知二项式x2xn,其中n∈N+,若.

(1)求n的值;(2)求展开式中含x3的项.19.(12分)已知f(x)=(2x3)n(n∈N+)展开式的二项式系数和为512,且f(x)=a0+a1(x1)+a2(x1)2+…+an(x1)n.(1)求a2的值;(2)设f(20)20=6k+r,其中k,r∈N,且r<6,求r的值.20.(12分)一个口袋内装有4个不同的红球,6个不同的白球,(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?21.(12分)已知x2+2xn的展开式的二项式系数之和为128.(1)求展开式中系数最大的项;(2)将展开式中所有项重新排列,求恰有两项有理项相邻的概率.22.(12分)某医院选派医生参加某地医疗支援,该院呼吸内科有3名男医生,2名女医生,其中李亮(男)为科室主任;该院病毒感染科有2名男医生,2名女医生,其中张雅(女)为科室主任,现在院方决定从两科室中共选4人参加医疗支援.(1)若至多有1名主任参加,有多少种选派方法?(2)若呼吸内科至少有2名医生参加,有多少种选派方法?(3)若至少有1名主任参加,且有女医生参加,有多少种选派方法?

参考答案第三章测评(二)1.DAn3=12可得n(n1)(n2)=12×n(解得n=8.2.D5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32(种).3.C展开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6r1xr=C6rx123r,r=0,1,…,6,令123r=0,解得r=4,所以x2+1x6的展开式中常数项为C64=4.D因为(x23x+2)5=(x1)5(x2)5,所以二项展开式中含x项的系数为C54×(1)4×C55×(2)5+C55×(1)5×C55.C先分组有C52=10(种)方案,再分配有10×A46.B(xy)(x+y)8的展开式中x3y6的系数为C86-7.D若夫妻中只选一人,则有C21C52A33=120(种)不同的方案;若夫妻二人全选,则有8.D至少同时种植3种不同农作物可分两种情况:第一种,种植4种农作物,有A44=24(种)不同的种植方法;第二种,种植3种农作物,则有2块不相邻的地种植同一种农作物,有①③、②④、①④这三种情况,每一种情况都有C41C31C21=9.AC对于A,Ann-1=n(n1)(n2)×…×3×2=n(n1)(对于B,m!Anm=m!×n!对于C,1n+1An+1对于D,(nm)!Cnm=(nm)!n!m!(n10.ABC将4幅油画捆绑看作一个整体,有A44种排法;5幅国画捆绑看作一个整体,有A55种排法;水彩画不在两端,则油画和国画排在水彩画两边,共A22种排法,∴11.ACD对于A,令x=1,可得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an1+an,即2(1-2n)1-2=a0+a1+a2+…+an1+an,即a0+a1+a2+…+an令x=0,得1+12+13+…+1n=a0,即a0=n,②由于(1+x)n的展开式中Cnn·10·xn=xn,所以an=所以①②③得a1+a2+…+an1=2n+12n1=2n+1n3,而a1+a2+…+an1=125n,所以2n+1n3=125n,解得n=6,故A正确;对于B,由于n=6,则(1+2x)n=(1+2x)6,所以展开式中二项式系数和为26=64,故B错误;对于C,由于n=6,则(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的所有项系数和为2n+12=272=126,故C正确;对于D,由于n=6,则(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,等式两边同时求导得1+2(1+x)+3(1+x)2+…+6(1+x)5=a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5,令x=1,则1+2×2+3×22+…+6×25=a1+2a2+3a3+…+6a6=321,故D正确.故选ACD.12.BCD∵ax2+1xn(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,∴Cn4=C∵展开式的各项系数之和为1024,且a>0,∴(a+1)10=1024,解得a=1.则原二项式为x2+1x10,其展开式的通项Tk+1=C10k(x2)10k1xk=C10展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024=∵二项式系数和项的系数一样,且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,故B正确;令2052k=0,解得k=令2052k=15,解得k=2,则展开式中x15的系数为C10213.1314.14将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况:①甲分配到B班有A33=6(种)分配方案;②甲不分配到B班有A21A21A215.241x2x4的通项为Tr+1=C4r1x4r(2x)r=C4r(2)rx2r-4,r=0,1,2,3,4,令2r4=0,则r=2,所以1x216.1630由题意x5+(x+2)6=a0+a1(x+1)+…+a6(x+1)6,令x=0,a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=64,令x=2,a0a1+a2a3+a4a5+a6=32,两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=32,∴a0+a2+a4+a6=16,将已知转化为(x+11)5+(x+1+1)6=a0+a1(x+1)+…+a6(x+1)6,所以a3=C52(1)2+C6313=10+20=30.令x=1,得a0=0,所以a0+a17.解(1)展开式的二项式系数和为2n=64,解得n=6,则二项式系数最大的项为T4=C63(2x)3=160x(2)由①可得(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,令x=1,则a0+a1+…+a6=36,①令x=1,则a0a1+a2…+a6=(1)6=1,②则①+②可得a0+a2+…+a6=3618.解(1)选择条件①:展开式中倒数第3项的二项式系数为Cn而Cnn-2=因为n∈N+,所以n=6.选择条件②:因为展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以展开式中有7项,所以n=6.选择条件③:展开式中各项的二项式系数和为2n,各项的系数和为(1)n,所以2n(1)n=63.因为n∈N+,所以n=6.(2)x2x6展开式的通项为Tk+1=C6kx6k(2x-12)k=(2)kC由63k2=3,得k=所以展开式中含x3的项为T2+1=(2)2C62x3=60x19.解(1)因为二项式的展开式的二项式系数和为512,所以2n=512,解得n=9,所以(2x3)9=[1+2(x1)]9=a0+a1(x1)+a2(x1)2+…+a9(x1)9,因为a2是(x1)2的系数,所以a2=C92(1)722=(2)f(20)20=(2×203)920=(36+1)920=C90369+C91368+因为(C90369+C91368+而19=(4)×6+5,f(20)20=6k+r,所以r=5.20.解(1)将取出4个球分成三类情况:①取4个红球,没有白球,有C4②取3个红球1个白球,有C4③取2个红球2个白球,有C42故共有C44+(2)设取x个红球,y个白球,则0因此,符合题意的取法共有C42C21.解(1)x2+2xn的展开式的二项式系数之和为2n=128,解得n=7,故x2+2x7的通项Tk+1=C7k2kx14-5k2,故第检验可得,当k=5时,第k+1项的系数最大,故展开式中系数最大的项为T6=C7525x32(2)令x的幂指数145k2为整数,可得k=要使恰有两项有理项相邻,则先把4个无理项排好,共有A44个有理项按照2,1,1分为3