北师大版数学七年级上册章节复习讲义（导图+知识点+新题拔高卷）-第5章《一元一次方程》知识讲练（学生版）

2023-2024学年北师大版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．细节剖析：（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价3.行程问题：路程＝速度×时间4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数7.数字问题：多位数的表示方法：例如：.8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•淮阳区模拟）某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元，利润率为50%．为了让利顾客，提高销量，今年“五一”期间，该商场按同一标价打九折销售该品牌电器．那么“五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为（）A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元2．（2分）（2023春•永城市期末）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图1是我国古代传说中的洛书，图2是该洛书的数字表示，洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的规律，则a+b﹣c的值为（）A．﹣2 B．0 C．8 D．163．（2分）（2023•三明二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（）A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9 C． D．4．（2分）（2022秋•沧州期末）为了阻断新冠疫情传播，疫情居家期间，居民购买的蔬菜包由志愿者统一派送．若每位志愿者派送8个蔬菜包，则少5个；若每个志愿者派送6个，则剩下4个未送，设安排x个志愿者派送，则下面所列方程中正确的是（）A．8x﹣5＝6x+4 B．8x+5＝6x+4 C．8x+5＝6x﹣4 D．8x﹣5＝6x﹣45．（2分）（2022秋•海兴县期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车数．甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（）甲：设车数为x辆，可列方程为3（x﹣2）＝2x+9乙：设人数为y人，可列方程为A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错6．（2分）（2023春•衡山县期末）方程去分母后，正确的是（）A．3x﹣2（x﹣1）＝1 B．3x﹣2（x﹣1）＝6 C．x﹣2（x﹣1）＝6 D．3x+2（x﹣1）＝67．（2分）（2023春•社旗县期末）下列变形正确的是（）A．若﹣3x＝5，则 B．若﹣2x＜6，则x＞﹣3 C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6 D．若，则2x+3（x﹣1）＝18．（2分）（2022秋•青县期末）相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”来了的客人听了，心想难道我们是不该来的，于是有三分之一的客人走了，他一看十分着急，又说：“不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩下的五分之三的人离开了，他着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们．”于是最后剩下的四个人也都告辞走了，聪明的你能知道开始来了几位客人吗？（）A．20位 B．19位 C．15位 D．11位9．（2分）（2022秋•保定期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入15块等重的条形石，并在船上留5个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入2块同样的条形石，船上只留2个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为150斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）A．依题意15x+5×150＝（15+2）x+2×150 B．依题意5×150＝3x﹣2×150 C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤10．（2分）（2022秋•朝阳区校级期中）把2022个正整数1，2，3，4，…，2022按如图方式列成一个表，用图中阴影所示方式框住表中任意4个数，这四个数的和可能是（）A．192 B．190 C．188 D．186二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•邓州市期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是关于x的一元一次方程，则a＝．12．（2分）（2023•大连模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？若设共有x辆车，则可列方程为．13．（2分）（2022秋•海淀区校级期末）如果a，b为定值，关于x的一次方程，无论k为何值时，它的解总是1，则6a+b＝．14．（2分）（2022秋•华容区期末）例如：在1+++++…中，“…”代表省略号体现规律不断求和，设1+++++…＝x．则有x＝1+x，解得x＝2，故1+++++…＝2．类似的在1++++…的结果为．15．（2分）（2022秋•曹县期末）小明和小亮两人骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行，小明的速度是12.5千米/小时，小亮的速度是11.5千米/小时，经过小时两人相距12千米．16．（2分）（2022秋•巴南区期末）甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱一起购买某种商品若干件．商品买回来后，乙比甲多买了4件，丙比乙多买了7件，最后结算时，三人按所得商品的实际件数付钱，多退少补，若丙付给甲200元，丙付给乙m元，则m的值为．17．（2分）（2022秋•馆陶县期末）已知七年级学生小张的小区、市图书馆和万达电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张周六上午带了100元现金先从小区门口乘出租车去了市图书馆，付车费8元；中午再从市图书馆乘出租车去了万达电影院，付车费12.4元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，超过3公里后的部分按n元/公里计费．（1）m＝，n＝；（2）乘坐出租车x公里（x超过3公里）时的车费为元．（用含x的式子表示）18．（2分）（2022秋•君山区期末）《九章算术》中有这样一个问题，原文是：今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，问人几何？大意为：几个人一起去购买一物品，如果每人出8钱，则多了3钱，如果每人出7钱，则少了4钱．问有人．19．（2分）（2022秋•九龙坡区校级期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为3：5：3，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为3：3：2．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调20%，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是．20．（2分）（2021秋•阳新县期末）已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•海兴县期末）按要求完成下列各小题．（1）计算：；（2）解方程：．22．（6分）（2022秋•东宝区期末）列方程，解决下列问题：为了丰富课后服务课程，某校开展了篮球兴趣班和足球兴趣班，现需要给每名兴趣班同学分别购买一个篮球或一个足球，已知篮球每个95元，足球每个70元，结合图中两个学生的一段对话，求两个兴趣班各有多少人？23．（8分）（2022秋•华容区期末）某一商场经销的A，B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元．（1）A种商品每件进价为元，每件B种商品利润率为；（2）若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？（3）在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按总售价打九折超过600元其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？24．（8分）（2022秋•长顺县期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像（1）|a|＝5，（2）|a﹣3|＝5，（3）|a+2|＝6都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值．例如：（1）|a|＝|a﹣0|＝5表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，a﹣0＝5或a﹣0＝﹣5，对应的数有两个，分别是5和﹣5．解：因为|a|＝5，所以，a＝5或a＝﹣5．（2）|a﹣3|＝5表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，对应的数有两个，分别是8和﹣2．解：因为|a﹣3|＝5，所以，a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，解得：a＝8或a＝﹣2．知识应用：（1）求出下列未知数的值．①|a﹣6|＝2；②|a+7|＝3．（2）知识探究：直接写出|a﹣3|+|a﹣5|的最小值．25．（8分）（2022秋•香洲区期末）在一条水平直线上，自左向右依次有四个点A，B，C，D，AD＝16cm，BC＝7cm，CD＝2AB，线段AB以每秒2cm的速度水平向右运动，当点A到达点D时，线段AB停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝0秒时，AB＝cm，CD＝cm；（2）当线段AB与线段CD重叠部分为2cm时，求t的值；（3）当t＝5.5秒时，线段AB上是否存在点P，使得PD＝11PC？若存在，求出此时PC的长，若不存在，请说明理由．26．（8分）（2022秋•沧州期末）随着河北省体育中考政策出台，体育总分将提高到50分，包括过程性考核20分和现场测试30分．某中学为推进学校体育教学改革，适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌跳绳和足球，在查阅某些网店后发现有A、B两家网店商品定价相同并提供包邮服务，跳绳每条定价30元，足球每个定价160元．经过协商，两家网店给出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：跳绳和足球都按定价的90%付款，已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）．（1）若在A网店购买，需付款元（用含x的代数式表示），若在B网店购买，需付款元（用含