北师大版数学七年级上册章节复习讲义（导图+知识点+新题拔高卷）-第2章《有理数及其运算》知识讲练（教师版）

2023-2024学年北师大版数学七年级上册章节知识讲练知识点01:有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：细节剖析：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．细节剖析：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．细节剖析：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．知识点02:有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．细节剖析：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知识点03:有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．知识点04:科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•藁城区二模）若要等式4〇（﹣6）＝﹣2成立，“〇”中应填的运算符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷解：要使等式4〇（﹣6）＝﹣2成立，“〇”中应填的运算符号是+．故选：A．2．（2分）（2023•江岸区模拟）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（）A．80 B．90 C．100 D．120解：相加得5的两个整数可能为：1，4或2，3，相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3，相加得7的两个整数可能为：1，6或2，5或3，4，相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4，∵每次所得两个整数和最小是5，∴最小两个数字为2，3，∵每次所得两个整数和最大是8，∴最大数字为4或5，∴当最大数字为4的时，四个整数分别为2，3，4，4，当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5，∴4张纸片上各写的数为：2，3，4，4或2，3，3，5，∴2×3×4×4＝96或2×3×4×5＝120．故选：D．3．（2分）（2022秋•沧州期末）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b．例如：1*2＝12﹣2＝﹣1，求（﹣4）*[2*（﹣3）]的值为（）A．﹣23 B．﹣3 C．4 D．9解：∵a*b＝a2﹣b，∴2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）＝2×2+3＝7，∴（﹣4）*[2*（﹣3）]＝（﹣4）*7＝（﹣4）2﹣7＝（﹣4）×（﹣4）﹣7＝16﹣7＝9．故选：D．4．（2分）（2022秋•沧州期末）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个点A，M，B，满足MA＝MB，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．若b＝8，BM＝3OM，则m的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．2或﹣4解：由题意可知b＝8，OM＝m或﹣m，OM＝m时，∵BM＝3OM，∴8﹣m＝3m，解得m＝2，当OM＝﹣m时，∵BM＝3OM，b﹣m＝﹣3m，∴8﹣m＝﹣3m，解得：m＝﹣4，∴m＝2或m＝﹣4，故选：D．5．（2分）（2022秋•庐阳区校级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．下列式子错误的是（）A．a＜c＜b B．|a﹣b|＝﹣（a﹣b） C．|a﹣1|＝a﹣1 D．|c﹣a|＝c﹣a解：由数轴可得：a＜0＜c＜b，∴a＜c＜b，故A正确，不符合题意；∵a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝﹣（a﹣b），故B正确，不符合题意；∵a﹣1＜0，∴|a﹣1|＝﹣（a﹣1）＝1﹣a，故C错误，符合题意；∵c﹣a＞0，∴|c﹣a|＝c﹣a，故D正确，不符合题意；故选：C．6．（2分）（2022秋•海港区校级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则|a﹣c|﹣|a+b|+|b﹣c|的值为（）A．2a B．2a+2b﹣2c C．0 D．﹣2c根据数轴上点的位置得：b＜c＜0＜a，且|a|＜|b|，则a﹣c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，则|a﹣c|﹣|a+b|+|b﹣c|＝a﹣c+a+b﹣b+c＝2a．故选A．7．（2分）（2022秋•汝城县期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2009的值是（）A．﹣2009 B．2009 C．﹣1 D．1解：∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，∴a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2009＝（﹣2+1）2009＝﹣1，故选：C．8．（2分）（2019秋•云冈区期末）下列四个算式：①﹣2﹣3＝﹣1；②2﹣|﹣3|＝﹣1；③（﹣2）3＝﹣6；④﹣2÷＝﹣6．其中，正确的算式有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：①﹣2﹣3＝﹣5，此计算错误；②2﹣|﹣3|＝2﹣3＝﹣1，此计算正确；③（﹣2）3＝﹣8，此计算错误；④﹣2÷＝﹣2×3＝﹣6，此计算正确；故选：C．9．（2分）（2022秋•南关区校级期末）如图，数轴上的A，B两点所表示的数分别是a，b，如果|a|＞|b|且ab＜0，那么该数轴的原点O的位置应该在（）A．点A的左边 B．点B的右边 C．点A与点B之间且靠近点A D．点A与点B之间且靠近点B解：∵ab＜0，∴a、b异号，∵|a|＞|b|，∵数轴表示a的点离原点的距离大于表示b的点离原点的距离，即：a、b在原点的两侧，且a到原点远，b到原点近，故选：D．10．（2分）（2022秋•栾城区校级期末）已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（）A． B． C． D．解：已知a+b+c＝0，A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•莱山区期末）若a＞b＞0，则1，1+a，1+b这三个数用“＞”连接起来为1+a＞1+b＞1．解：∵a＞b＞0，∴1+a＞1+b＞0+1，∴1+a＞1+b＞1．故答案为：1+a＞1+b＞1．12．（2分）（2023春•肇东市期末）若|a|＝5，b＝6且a＜b，则2a﹣b＝4或﹣16．解：∵|a|＝5，b＝6且a＜b，∴a＝±5，当a＝5，b＝6时，2a﹣b＝10﹣6＝4；当a＝﹣5，b＝6时，2a﹣b＝﹣10﹣6＝﹣16，故2a﹣b的值为4或﹣16．故答案为：4或﹣16．13．（2分）（2022秋•鄄城县期末）点A在数轴上距原点3个单位长度，若将点A向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时点A所表示的数是0或6．解：∵点A在数轴上距原点3个单位长度，∴点A表示的数为3或﹣3；当点A表示的数是﹣3时，移动后的点A所表示的数为：﹣3+4﹣1＝0；当点A表示的数是3时，移动后的点A所表示的数为：3+4﹣1＝6；综上所述，移动后点A所表示的数是：0或6．故答案为：0或6．14．（2分）（2023春•泉港区期末）如图，完全重合的两个等边△ABC、等边△DEF的边BC、EF都在数轴上，点B、C在数轴上所对应的数分别为3、9．若将△ABC向左平移m个单位，△DEF向右平移m个单位．当点E、C为线段BF的三等分点时，则m的值为或12．​解：当E、C为线段BF的三等分点时，BF＝BC＝9，EC＝3，由△ABC向左平移m个单位，△DEF向右平移m个单位，即2m＝3，∴m＝．当C、E为BF的三等分点时，BF＝3BC＝18，EC＝6，由△ABC向左平移m个单位，△DEF向右平移m个单位，即m＝18，∴m＝12．故答案为：或12．15．（2分）（2022秋•邯山区校级期末）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝9．解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．16．（2分）（2022秋•平谷区期末）黑板上写着7个数，分别为：﹣8，a，1，13，b，0，﹣6，它们的和为﹣10，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是﹣4．解：根据题意得：﹣8+a+1+13+b+0﹣6＝﹣10，∴a+b＝﹣10，先擦掉a、b，新加的数为﹣9，即﹣8，﹣9，1，13，0，﹣6，（随意擦两个数，新加一个数）﹣16，1，13，0，﹣6，继续﹣14，13，0，﹣6，0，0，﹣6，1，﹣6，﹣4，最后所剩的数是﹣4．故答案为：﹣4．17．（2分）（2022秋•朝阳区校级期末）若|m﹣3|与（n﹣4）2互为相反数，则（﹣m）n的值为81．解：∵|m﹣3|与（n﹣4）2互为相反数，∴|m﹣3|+（n﹣4）2＝0，∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，解得m＝3，n＝4，∴（﹣m）n＝（﹣3）4＝81．故答案为：81．18．（2分）（2022秋•安岳县期末）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝3．解：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝2022÷2022×（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）+＝1×4+（﹣1）＝3．故答案为：3．19．（2分）（2022秋•黄埔区校级期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝2b+2c﹣2a．解：根据图形，a﹣b＜0，b+c＞0，c﹣a＞0，所以|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝b﹣a+b+c+c﹣a＝2b+2c﹣2a．故答案为：2b+2c﹣2a．20．（2分）（2022秋•深圳校级期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是1119．解：依题意a≤b≤c≤d，则原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，则d＝9，a＝1四位数要取最小值且可以重复，故答案为1119．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•沧州期末）计算：（1）；（2）．解；（1）＝＝3+3＝6；（2）＝＝＝﹣1﹣27+66﹣3＝35．22．（6分）（2023春•肇东市期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简代数式：|a﹣b|+|a+b|+|b﹣c|．解：∵c＜b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，a+b＜0，b﹣c＞0，∴|a﹣b|+|a+b|+|b﹣c|．＝（a﹣b）﹣（a+b）+（b﹣c）＝a﹣b﹣a﹣b+b﹣c＝﹣b﹣c．23．（8分）（2022秋•鞍山期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．解：（1）5×6﹣2×3＝24；（3+5）×（6÷2）＝24；（5﹣3）×2×6＝24；（2）如抽到黑桃3、红桃4、方块6、梅花10，则有：3×6+10﹣4＝24．24．（8分）（2022秋•祁阳县期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．（1）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数﹣1表示的点重合；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，故答案为：﹣4，﹣1，2；（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，故答案为：﹣1；（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，5AB﹣B＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）＝15+0.5t﹣3﹣0.1t＝12+0.4t，5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；当t＞10时，BC＝4+0.3（0﹣10）t+0.2（t﹣10）＝0.5t﹣1，5AB﹣BC＝5（3+0.1t）﹣（0.5t﹣1）＝16这时5AB﹣BC的值不变．25．（8分）（2022秋•海兴县期末）如图，已知在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C对应的数分别是a，b，c，AC＝5，BC＝3．（1）若a+b＝0，则原点在点B的左侧（填“左侧”或“右侧”）；（2）设原点为O，若bc＜0，且，求a+b+c的值；（3）在（2）的条件下，数轴上一点D表示的数为d，若BD＝2OC，求d的值．解：（1）∵a+b＝0，∴数a与b异号，∴原点在点B的左侧；故答案为：左侧；（2）因为bc＜0，点B在点C的左侧，所以b为负数，c为正数，因为OB＝BC，BC＝3，所以OB＝1，所以OC＝BC﹣OB＝2，所以OA＝AC﹣OC＝3，所以a＝﹣3，b＝﹣1，c＝2，所以a+b+c＝﹣2；（3）因为BD＝2OC，所以BD＝4，当点D在点B的右侧时，d＝（﹣1）+4＝3，当点D在点B的左侧时，d＝（﹣1）﹣4＝﹣5，综上所述，d的值为3或﹣5．26．（8分）（2022秋•曹县期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式a﹣b＝ab成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为（a，b），例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题：（1）数对是“有趣数对”吗？试说明理由．（2）若是“有趣数对”，求a的值．（3）若（2，m2+2m）是“有趣数对”，求10﹣6m2﹣12m的值．解：（1）数对不是“有趣数对”，理由如下：∵5﹣＝，5×＝，∴（不是“有趣数对”；（2）∵（a，）是“有趣数对”，∴a＝a﹣，解得：a＝；（3）∵（2，m2+2m）是“有趣数对”∴2﹣（m2+2m）＝2（m2+2m），解得：m2+2m＝，∴10﹣6m2﹣12m＝10﹣6（m2+2m）＝10﹣6×＝10﹣4＝6．27．（8分）（2022秋•二七区期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝1；（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有ABD；（横线上填写序号）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数