山东省泰安市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省泰安市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意直线，可得斜率为，设直线的倾斜角为，其中，可得，所以，即直线的倾斜角为.故选：A.2.在等比数列中，若，则（）A.6 B.9 C. D.【答案】A【解析】因为，所以（负值舍去），所以.故选：A3.点关于直线的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.4.已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线l的方向向量为和，可得，则向量直线l上的投影向量的坐标为.故选：D.5.已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由都是等差数列，设公差分别为，则，，则，故不妨令，所以，.故选：B.6.已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为，直线交轴于点，当直线与垂直时，此时，，原点到直线的距离取最大值，即，因为直线被圆所截得弦长的最小值为，即，解得.故选：C.7.已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，设，又，所以，即，解得，即，又由三点共线得.所以，整理得，所以.故选：B.8.已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线可化为，当时，，则，故此时曲线为椭圆的上半部分；当时，，则，故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为；直线，表示一组斜率为的平行直线，如图，当直线过点2,0时，，解得；当直线与椭圆上半部分相切时，由，消化简得，由，解得，又直线与椭圆上半部分相切，则，故，要使直线与曲线恰有三个不同交点，结合图形可得，实数的取值范围为.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线，则下列结论正确的是（）A.若直线与直线平行，则B.直线倾斜角的范围为C.当时，直线与直线垂直D.直线过定点【答案】BC【解析】选项A，存在斜率，直线方程可化为：，直线也存在斜率，方程可化为，由，则两直线平行的充要条件为，即解得或，故A错误；选项B，由直线的斜率，则倾斜角的范围为，故B正确；选项C，当时，直线，斜率为，又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确；选项D，，令，得，故直线过定点，不过，D错误.故选：BC.10.已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（）A.若，则该曲线为双曲线B.若该曲线是椭圆，则C.若该曲线离心率为，则D.若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率【答案】AD【解析】A选项，若，则，则曲线为焦点在轴上的双曲线，故A正确；B选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故B错误；C选项，若该曲线离心率为，则曲线为椭圆，由B可知且，当时，焦点在轴，，，解得,当时，焦点在轴，，，解得,故C错误；D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，此时，，当时，函数单调递增，所以，故D正确.故选：AD.11.如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若为的中点，则直线平面C.异面直线与所成角的正弦值的范围是D.直线与平面所成角的正弦的最大值为【答案】ACD【解析】对于A选项，在正四棱柱中，，且，所以，四边形平行四边形，所以，，因平面，平面，所以，平面，因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，所以，为定值，A对；对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，因为为的中点，则，则，，所以，，所以，与不垂直，故当为的中点时，直线与平面不垂直，B错；对于C选项，，设，则，，所以，，因为，则，所以，，所以，，因此，异面直线与所成角的正弦值的范围是，C对；对于D选项，设平面的法向量为，，，则，取，可得，此时，，，所以，，当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦的最大值为，D对.故选：ACD.12.已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则所有可能取值的集合为C.若，则D.若为正整数，则的前项和为【答案】BCD【解析】对于A，，故A错误；对于B，若，则只能（否则，于是奇数矛盾），从而（否则，于是奇数矛盾），进而由递推关系，故B正确；对于C，，所以从开始数列呈现周期为3，均能被3整除，所以，故C正确；对于D，，则的前项和为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知为等差数列的前项和，且满足，则_____________．【答案】【解析】在等差数列an中，,∴，解得：.故答案为：.14.已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则_____________．【答案】【解析】空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，如图，由为的重心，得，于是，即，所以.故答案为：15.已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为_____________．【答案】【解析】抛物线，则焦点，准线.过点作准线，垂足为，作轴，垂足为，准线与轴交点为.由抛物线定义可知，又，在中，，则有，得，解得，故所求抛物线的方程为.故答案为：.16.已知圆,过点的直线与圆交于两点，则的最小值为_____________．【答案】4【解析】由题可得：，所以表示，两点到直线距离之和的倍，根据题意作出图形如下：如图，设，的中点为，且，，在直线的投影分别为，，，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，易得，即，所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为，由图可得：由于到直线的距离，所以，即的最小值为.故答案：4四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知递增等差数列满足，且成等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设an的公差为，成等比数列，，即，，或，单调递增，，（2）由（1）可知，，则，则，．18.如图，在三棱柱中，平面为的中点，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．解：（1）连接交于，连接，侧面为平行四边形，为的中点，又为的中点，,平面平面，所以平面；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为n=x,y,z则即，取，则，，到平面的距离.19.已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为．（1）求曲线、的方程；（2）经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程．解：（1）由题意知，点到直线的距离等于PF，所以，点的轨迹是以F0,1为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为.因为椭圆的长轴长，F0,1为椭圆的一个焦点，则，，所以，，所以，曲线的方程为.（2）若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线的斜率必存在，则直线的方程为由，整理得，则，设Ax1,则，，所以，，则，由，整理得，则，设、，则，，所以，，因为，即，可得，解得，所以，直线的方程为.20.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数1，5，12，22，…，称为五边形数，记五边形数构成的数列为an，数列bn的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）由题意可知当时，累加得当时，满足上式．,.当时，，且，两式相减得，，即数列bn是首项为1，公比为的等比数列（2）①②①-②得21.如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）．（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求．解：（1）分别为的中点，．平面平面，平面，，是二面角的平面角，．，为等边三角形，．平面，平面，又平面，.（2）设中点为，由（1）知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，，，，设平面的法向量为n=x,y,z，则即，取，则，设，，设与平面所成的角为，则，解得或（舍）.22.已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲