山东省百师联考2025届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省百师联考2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，.故选：D.2.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由或，，只是其中的一个取值，根据“小范围”是“大范围”的一个充分不必要条件，“大范围”是“小范围”的一个必要不充分条件，可知是的必要不充分条件故选：C.3.设向量，，，且，则（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】因为，，，所以；因为，所以，解得.故选：A.4.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为，则该圆锥的内切球体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为,因为圆锥的轴截面为等边三角形,所以圆锥的母线长为依题意：,解得.设圆锥的内切球半径为,又圆锥的轴截面为等边三角形，所以，则内切球的体积.故选：B.5.函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象，由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点.设的最小正周期为，则，所以，故.又，，且，可得，所以，.故选：A.6.已知函数，若方程恰有2个不相等的实数解，则的取值范围是().A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增.令，则，所以.当时，，，在0,1上单调递减.令，则.作出y=fx的大致图象，如图所示方程恰有2个不相等的实数解，也就是的图象与直线恰有两个公共点.由图易知所求的取值范围是.故选：C.7.已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称；因为函数f2x+1所以，即函数的图象关于点1,0中心对称.又当时，，所以.故选：C8.在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的焦距为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方程，将点的坐标代入方程，原方程保持不变，则椭圆关于原点对称；将点和的坐标分别代入方程，原方程保持不变，则椭圆关于直线和对称，令直线与椭圆交于，两点，由，解得或，；令直线与椭圆交于，两点，由，解得或，，由椭圆性质知，椭圆长轴长，短轴长，，，半焦距，所以焦距为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知方程的两个复数根为，，则下列说法正确的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】方程的两个复数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，故AC正确；B选项，的两个复数根为，若，，则，故B错误；D选项，由B选项知，或，均有，故D正确.故选：ACD.10.设函数，则（）A.当时，的极大值大于0B.当时，无极值点C.，使在上是减函数D.，曲线的对称中心的横坐标为定值【答案】BD【解析】对于A，当时，，求导得，令得或，由f'x>0，得或，由f'x<0，得，于是在，1,+∞在上单调递减，在处取得极大值，极大值为，故A错误；对于B，，当时，，即f'x≥0恒成立，函数在上单调递增，无极值点，故B正确；对于C，要使在上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为，故C错误；对于D，由，得曲线y=fx的对称中心的坐标为，故D正确.故选：BD.11.已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（）A.曲线的轨迹方程为B.若为曲线上的动点，则的最小值为5C.过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点D.圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12【答案】ABD【解析】对于A，依题意，曲线是以为焦点，直线为准线抛物线，方程为，A正确；对于D，直线交圆于点，而，四边形是矩形，周长为，D正确；对于B，显然共线，垂直于直线，令点到直线的距离为，则，，当且仅当与点重合时取等号，因此的最小值为，B正确；对于C，过点与曲线仅只一个公共点的直线方程为，由消去得，当时，直线与抛物线仅中一个公共点，当时，，解得，显然直线与抛物线仅只一个公共点，因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，C错误.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为等差数列的前n项和，若，，则______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，则，所以.13.曲线在点处的切线与抛物线相切，则__________.【答案】1【解析】由，则，则，曲线在点处的切线方程为，即，当时，则，得，由，得.14.已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________.【答案】【解析】当时，设，则有，解得，又，所以，又，所以，两边同除，得到，解得或（舍），因为，有，设，则，，，，所以，又，所以，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，，的对边分别是，，，且满足.（1）求角；（2）若，求周长的取值范围.解：（1）由及正弦定理得：，故，所以.因为B∈0,π，所以，因为，所以.（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，又，所以.由基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立.又，即，又，所以，所以，即周长的取值范围是.16.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）若，证明：.（1）解：由，则，因为在上单调递减，所以在上恒成立，所以，即，构造函数，所以，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当x=1时取得极大值也是最大值，即，所以，所以的取值范围为.（2）证明：解法一：由题意得的定义域为，当时，要证，即证：，等价于证明构造函数，即证；所以，令，因为函数的对称轴为，所以在上单调递增，且，，所以存在，使，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值也是最小值，又因为，得，所以，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以即证，所以可证.解法二：若，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，所以，所以.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，分别为，的中点，平面，且.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角是，求二面角的余弦值.（1）证明：设的中点为，连接，由为中点，得且，又且，则，，四边形平行四边形，则，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接，取的中点，连接，，则且，由平面，得平面，则与平面所成的角为，即，，菱形中，，则，即，直线两两垂直，以点原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，由平面得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，得，设二面角的平面角为，由图知为锐角，因此，所以二面角的余弦值为.18.如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程；（3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.（1）解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，结合椭圆的几何性质，得，解得，则，故椭圆的方程为.（2）解：设直线的方程为，，.由消去，整理得.由，得，则，.，解得或.当时，直线的方程为，此时直线过点；当时，直线的方程为，满足题目条件.所以直线的方程为.（3）证明：因为直线，均不与轴垂直，所以直线：不经过点和，则且，由（2）可知，，，为定值.19.若有穷数列且满足，则称为M数列．（1）判断下列数列是否为M数列，并说明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．（2）已知M数列中各项互不相同．令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；（3）已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．解：（1）①因为，所以该数列不是M数列；②因为，所以该数列是M数列．（2）必要性：若数列等差数列，设公差为，则．所以数列是常数列．充分性：若数列是常数列，则，即．所以或．因为数列的各项互不相同，所以．所以数列是等差