辽宁省锦州市2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省锦州市2024届高三上学期期末数学试题一､选择题1.设全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】故，故选：C.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由题设，对应点为在第四象限.故选：D.3已知向量满足，则（）A.-12 B.-20 C.12 D.20【答案】A【解析】由，则，所以，故选A．4.《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，它标志着中国古代数学体系的形成.其中记载了这样一个数学问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰“我羊食半马.”马主曰“我马食半牛.”今欲衰偿之，问牛主出几何.意思是：牛､马､羊吃了别人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共赔偿他五斗粟，羊的主人说：“我的羊吃了马一半的量.”马的主人说：“我的马吃了牛一半的量.”现在若依据三牲畜吃苗的量按比例赔偿苗主，牛主应偿还（）粟？（1斗=10升）A.1斗升 B.1斗升 C.2斗升 D.2斗升【答案】C【解析】令羊吃了斗，则马吃了斗，牛吃了斗，所以，故斗，所以斗，即2斗升.故选：C5.若随机变量，则下列说法错误的是（）A.的密度曲线与轴只有一个交点B.的密度曲线关于对称C.D.若，则【答案】B【解析】若，则的密度曲线关于直线对称，故B错误；又，令，可得的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确；，故C正确；，,故D正确．故选：B．6.若，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，若，则、、，A、B、C错；，即，D对.故选：D.7.已知是拋物线的焦点，过的直线与交于，两点，过作准线的垂线，垂足为.若线段的垂直平分线与准线交于点，点到直线的距离为，则当时，直线的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】由题意知，.设直线的方程为，由得，设，，所以，则.又易知，，，所以的中点坐标为，，则直线的方程为.令，得，则，点到直线的距离，又，所以，解得，所以直线的方程为，即或，故选：D.8.函数f（x）的定义域为R，且，，当时，，则）=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，有，可得，所以的周期为2.令，代，可得，所以，故函数为奇函数，所以因为，所以，所以.故选：B二､多选题9.以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】根据题意，分2种情况讨论：当以长所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积为，当以宽所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积，故选：CD．10.关于函数有下列命题，其中正确的是（）A.的图象关于点对称B.在区间上是单调递减函数C.若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为D.的图像关于直线对称【答案】ABC【解析】对于A，由于，所以的图象关于点对称，A正确，对于B,由，则，故在区间上是单调递减，B正确，对于C，，由，则，要使在区间上恰有两个零点，则，解得，故C正确，对于D，，故不是的对称轴，故D错误，故选：ABC11.如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的有（）A.当时，是一个点B.当动点到直线的距离之和为时，是椭圆C.当直线与平面所成的角为时，是抛物线D.当直线与平面所成的角为时，是双曲线【答案】AD【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,,,2,，设,，选项A，,,,,,，当时，有，整理得，即，此时曲线表示点,1,，即选项A正确；选项B，连接，，则动点到直线，的距离即为线段，的长，当点不在线段上时，有，当点到直线，的距离之和为时，点在线段上，此时曲线为线段，即选项B错误；选项C，因为平面，所以平面的一个法向量为,0,，,,，当直线与平面所成的角为时，有,，化简得，此时曲线为圆，即选项C错误；选项D，因为平面，所以平面的一个法向量为,1,，,,，当直线与平面所成的角为时，有,，化简得，此时曲线为双曲线，即选项D正确．故选：AD．12.已知函数，若关于的方程有四个不同的解且，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由函数，作出函数的图象，如图所示，关于的方程有四个不同的解且，即为函数与的四个交点的横坐标，当时，，满足，即图象的对称轴且，可得，即且，所以当时，函数，令，即，可得，则是方程的两个根据，所以且，结合图象，可得，因为，，，故选：ABD.三､填空题13.已知事件与事件互斥，如果，，那么__________.【答案】【解析】事件与事件互斥，则，，故.故答案为：.14.曲线在处的切线的倾斜角为，则______．【答案】【解析】因为，可得，由题意可知：，所以，即.故答案为：.15.双曲线的焦距为，已知点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为__________.【答案】【解析】直线的方程为，即，由点到直线的距离公式，且，得到点到直线的距离，同理得到点到直线的距离，，由，得，即，于是得，即，解不等式，得，由于，所以的取值范围是．故答案为：16.已知矩形垂直于点垂直于点，将矩形沿对角线折起，使异面直线成角，若四点都在球的表面上，则球的半径为__________，此时两点间距离为__________.【答案】5或【解析】连接相交于，由于四边形为矩形，所以,所以即为四面体的外接球，故半径为,延长与相交于点，根据等面积法可得,根据相似可得,故，又故即为异面直线所成的角或其补角，由于异面直线成角，故或，当，则，所以,因此，故,当，则，所以,因此，故,综上可得：或故答案为；5，或四､解答题17.如图.在四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.（1）证明：连接，交于点，连接，∵为中点，为中点，∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，且，∴，∴，即直线与平面所成角的余弦值为.18.已知为数列的前项和，，且__________.从①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答下列问题.（1）求数列的通项公式；（2）记求数列的前项的和.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解：（1）由，当时，，两式相减得，即，所以数列为等比数列，公比为.选①，由成等差数列，可得，即，解得，所以选②由成等比数列，得，即，解得，所以选③，由，得，所以（2）当为奇数时，记前项的和中的奇数项之和为，,当为偶数时，，记前项和中的偶数项之和为，故19.在中，内角所对的边分别为，其外接圆半径为1，，．（1）求；（2）求的面积．解：（1）因为且外接圆半径为1，根据正弦定理得，即，代入，即，由于，则，所以，则，解得．（2）因为，根据正弦定理得，即，由（1）知．由余弦定理得，解得．又因为，所以，所以．20.为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲､乙两个社区开展“服务满意度大调查”，随机对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中为非常不满意，为不满意，为一般，为基本满意，为满意，为非常满意.（1）求乙社区调查结果图中的值并估计乙社区调查结果的分位数（精确到0.01）；（2）已知调查问卷中有来自甲社区业主.①若在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业主的概率；②为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取70份进行细致分析，求这70份问卷中来自甲社区业主的问卷份数的期望.解：（1）由频率之和为1得：，解得：，这组的频率为：这组的频率为：，，故分位数在组，设分位数为，则，解得，故分位数89.09.（2）①任抽一份问卷，是来自甲社区业主问卷记作事件A，问卷评分不足60分记作事件.根据题意可知：，所以，，所以，，所以，从不足60分的问卷中抽取一份，该份问卷是来自甲社区业主问卷的概率为，②70份评分不足60分的调查问卷中来自甲社区业主的问卷份数，所以.21.已知椭圆的短轴长为4，离心率为．直线与椭圆交于两点，点不在直线l上，直线与交于点．（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率．解：（1）因为椭圆的短轴长为4，所以，，因为离心率为，所以，又，所以，，所以椭圆的方程.（2）设，，联立，化简可得，令，即，，，因为不在直线l上，所以，即，则直线方程为：，令，则，因为直线与交于点，所以，所以，将，代入，可得，所以直线的斜率为2.22.已知函数的最小值为0，其中．（1）求的值；（2）