青海省西宁市大通县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1青海省西宁市大通县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的一个通项公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】数列分子都是1，分母依次为，则第n项的分母为，所以数列，的一个通项公式是.故选：B2.经过点，且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】与直线平行的直线的方程可设为，又经过点，所以，解得，故所求直线方程为.故选：C.3.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为．故选：C．4.在等差数列中，若，则（）A.13 B.26 C.39 D.52【答案】D【解析】因为是等差数列，所以，解得，所以．故选：D．5.一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意设双曲线的方程为，将点（，）代入双曲线方程得，所以双曲线的方程为，即.故选：A.6.在等比数列中，，，则（）A. B. C.32 D.64【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，即，解得，所以．故选：C．7.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知．故选：C．8.设等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在等差数列中，，，成等差数列，即，设，则，于是，解得，所以．故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知椭圆的长轴长等于20，离心率等于，则椭圆的标准方程可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由椭圆的长轴长等于20，离心率等于，得，所以，所以椭圆的标准方程是或.故选：AC.10.已知向量，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】选项A，由题意，得，故A错误；选项B，，所以，所以，故B正确；选项C，，故C正确；选项D，由，因为，所以，D错误.故选：BC.11.已知数列的前项和为，若，则（）A.4是数列中的项 B.当最大时，的值只能取5C.数列是等差数列 D.当时，的最大值为11【答案】ACD【解析】由，得，所以数列是首项为20，公差为的等差数列，则，令，得，即，故A正确；易知利用二次函数性质可知当最大时，的值为5或6，故B错误；由，所以，所以数列是等差数列，故C正确；令，则，解得，所以当时，的最大值为11，故D正确．故选：ACD．12.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（）A.观测点之间的距离是B.圆的方程为C.小汽车行驶路线所在直线的方程为D.小汽车会进入安全预警区【答案】BCD【解析】由题意,得,所以,即观测点之间的距离是,故错误；设圆的方程为,因为圆经过三点,所以，解得，所以圆的方程为,故B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为,又点的坐标是,所以小汽车行驶路线所在直线的方程为,故C正确；圆化成标准方程为,圆心为,半径,圆心到直线的距离,所以直线与圆相交,即小汽车会进入安全预警区,故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：.14.已知椭圆的左，右顶点分别为A，，上顶点为，则直线，的斜率之积为__________．【答案】【解析】由题意知，，，所以，即直线，的斜率之积为．故答案为：15.中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂______盏灯笼．【答案】【解析】由题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，由题意知，公比，因为等比数列前项和，.所以前9项和为，所以九层塔楼一共需要挂盏灯笼．故答案为：.16.已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则_____．【答案】1【解析】由圆：可得圆心坐标为，半径，由、圆切线，故，又故，又，故为等边三角形，故.故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知在椭圆上，分别为的左､右焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）若动点均在上，且在轴的两侧，求四边形的周长.解：（1）由点在椭圆上，得，解得，则半焦距，所以的离心率为.（2）因为动点均在上，且在轴的两侧，所以由椭圆的定义得，四边形的周长为.18.已知的圆心为，且过点．（1）求的标准方程；（2）若直线与相切于点，求的方程．解：（1）由题可知，的半径为,所以的标准方程为.（2）因为直线与相切于点，且,所以，所以，由点斜式得，，整理得，.19.已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且．（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由得即即，解得或．当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，所以．又，所以，所以，即数列与数列的通项公式为，（2）利用等比数列前项和公式可得，数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和，即20.如图，已知正方体的棱长为，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面距离；（3）求平面和底面夹角的正弦值.解：（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，故，所以，所以，又，平面，因此平面.（2）平面的法向量为，，则取，可得，又，则点到平面的距离为.（3）设平面和底面夹角为，因为平面的一个法向量为，所以，故，所以平面和底面夹角的正弦值为.21.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求的最小值.解：（1）当时，由，得；当时，，符合上式.综上所述，.（2），所以.由，得，解得，又，所以的