湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.一组数据的第百分位数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先，我们把按顺序排列，得到，而，故第百分位数是第个数，则该组数据的第百分位数是，故D正确.故选：D.2.若圆锥的表面积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥底面圆半径r，母线长为l，高为h.由题，，则.则圆锥体积为.故选：C.3.在平行六面体中，为上靠近点的三等分点，为的中点，设，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如图，连接，并作的中点，由题意得，因为为上靠近点的三等分点，为的中点，所以，故A正确.故选：A.4.从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知组成的两位数有：共12个数，能整除3的有：共4个，所以相应概率为.故选：B5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由辅助角公式，.因，则.故选：B.6.已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称；由于时，曲线的方程为，即，故结合曲线对称性，作出曲线C如图：而表示曲线C上的点到直线的距离，可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，当时，曲线的方程为，即，此时d的最小值为，当时，曲线的方程为，即，此时d的最大值为，故的最小值与最大值之和为，所以的最小值与最大值之和为，故选：C．7.已知直线和平面，则下列命题正确的是（）A.平面内不一定存在和直线垂直的直线B.若，则C.若异面且，则D.若，则直线可能两两相交且不过同一点【答案】C【解析】对于A，我们要讨论平面和直线的关系，当时，平面内一定存在和直线垂直的直线，当直线时，在平面内有无数条直线与直线是异面垂直直线；当直线平面时，在平面内有无数条平行直线与直线相交且垂直；当直线与平面相交但不垂直时，在平面内有无数条平行直线与直线垂直，故平面内一定存在和直线垂直的直线，故A错误；对于B，当时，一定有或相交，故B错误；对于C，如图，因为，过直线，一定存在平面，使得，，所以，而，，故，因为异面，所以一定相交，而，，故成立，故C正确；对于D，如图，，，，.∵直线和不平行，相交.设，则，.又.三条直线相交于同一点，故D错误，故选：C8.设函数，下列命题正确的是（）A.当时，的最小正周期为 B.当时，的最大值为C.的最小值与的取值无关 D.的最大值与的取值无关【答案】D【解析】若，此时，此时函数的周期为，故A错误；若，此时显然，当时，，故B错误；其实此时；由A、B知与时函数的最小值变化，最大值不变，而时，，故C错误；不妨设，则，则，易知单调递增，由复合函数单调性知也递增，时，所以时，即此时单调递减，时，即此时单调递增，又，故D正确.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是的一个周期 B.在上有2个零点C.的最大值为 D.在上是增函数【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以是的一个周期，故A正确，对于B，因为，所以令，解得或，当时，，故舍去，当时，而，，，，由余弦函数性质得在上单调递减，在上单调递增，而，我们分为不同区间进行讨论，当时，得到，所以此时在上存在一个根，当时，得到，所以此时在上存在一个根，综上可得在上有2个零点，故B正确，对于C，令，故可化为，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，且，，故最大值为，即最大值为，故C正确，对于D，由题意得，，所以在上不可能是增函数，故D错误.故选：ABC.10.下列命题正确的是（）A.若事件两两互斥．则成立B.若事件两两独立．则成立C.若事件相互独立．则与不一定相互㹨立D.若，则事件相互独立与互斥不能同时成立【答案】AD【解析】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥，所以，，因此A正确；对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数，于是有，，，可以看出事件两两独立，但不互相独立，所以，因此B错误；对于C，若事件相互独立，则，又，，则，因此C错误；对于D，若，事件相互独立，则，若互斥，则，因此D正确.故选：AD11.记为圆的圆心．H为轴上的动点．过点H作圆的两条切线，切点分别是M，N，则下列结论正确的是（）A.的最大值为4 B.直线过定点C.存在点，使得 D.四边形HMCN的面积的最小值为【答案】BD【解析】由题如图，圆C：，则C，.A选项，如图，由几何知识可知，HC垂直平分MN，则，因HM与圆C相切，则是以M为直角顶点的直角三角形，则，故，则A错误；B选项，设，取HC中点为D，则，.则圆D：，与圆C方程相减并化简可得直线MN为：.令，即直线MN过定点，故B正确；C选项，若，则，又由题可知，结合，可知此时四边形HMCN为正方形.则.当与y轴垂直时，最小为3，因，则不存在相应的H点，使，故C错误；D选项，设四边形HMCN的面积为S，则.由题，.则，当且仅当时取等号.故D正确.故选：BD.三、填室题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量满足，则______．【答案】【解析】由题意可知，且，即.故答案为：.13.已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为．方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为______．【答案】【解析】由题意可知五人的平均身高为，所以五人身高的方差为.故答案为：.14.在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是______．【答案】【解析】如图，取的中点,连接,易得，则,过点在平面内作,交于点，则；再取的三等分点（靠近点），连接,同理可得,过点在平面内作,交于点，则，连接,因平面平面,则过三点的截面与它们的交线必平行，同理过三点的截面与平面,平面的交线也平行，故五边形即点的正方体的截面.因则,，由可得，则有：,即得：,则,;又由可得,则有：,即得：，则则.故五边形截面的周长为：故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知（1）求；（2）若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围．解：（1）设，则，所以，即，所以，即．（2）设，在复平面内对应的点为，由知，在以为圆心，2为半径的圆上，即，所以，即的取值范围是．16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．解：（1）因为，所以由正弦定理可知，，因为，所以，即．又，所以，即或，即或（舍去）．（2）由（1）得，则，即,由正弦定理可知，所以．因为为锐角三角，所以，即，则，即，则.故的周长的取值范围为．17.甲、乙两所学校之间进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生羽毛球比赛，后进行女生羽毛球比赛.按照以往比赛经验，在男生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为．设各局比赛相互之间没有影响且无平局．（1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率；（2）求甲校以3：1获胜的概率．解：（1）恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：甲校连胜3局，概率为；乙校连胜3局，概率为．故恰好比赛三局，比赛结束的概率．（2）甲校以3：1获胜的情况如下：①前两局男生羽毛球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，概率为；②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，概率为．故甲校以3：1获胜的概率．18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点．（1）求证：平面．（2）求平面与平面夹角的余弦值．（3）在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由．解：（1）连接，交BD于点，连接．因为是的中点，是的中点，所以，又平面平面，所以平面．（2）如图，以的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，即，则．设平面的法向量为，则令，得，所以可取．易知平面的一个法向量为．设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面夹角的余弦值为．（3）由（2）知，则，．由（2）知平面的一个法向量可为，根据题意可得：，即，解得，又当时，，，则BF的长为．综上所述，棱上存在一点，使直线平面，且BF的长为.19.已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为．（1）求的方程．（2）已知直线与轴交于点．①