福建省福州市部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点关于平面的对称点是，,故选：A.2.已知，向量，，，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量，，，由，则，解得，由，则，解得，则．故选：A．3.已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知可得，设，，解得，即向量在基底下的坐标为.故选：A.4.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，解得或，所以由可以得到，反之则不然，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A. B.C D.【答案】C【解析】设点，有，解得，，，，结合图可知，，故选：C．6.已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆，则，半径r1=1，圆，则，半径，因为两圆外切，所以，即，即，则点在以1,0为圆心，半径为3的圆上，即在圆上，令，则k表示过点与点的直线的斜率，则该直线一定过点，且与圆有公共点，由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在(若斜率不存在，则直线与圆相离)，设该直线方程为，即为，圆心1,0到直线的距离为d，则，解得，即的取值范围是.故选：C.7.将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（）A. B.是等边三角形C.点与平面的距离为 D.与所成的角为【答案】C【解析】对于选项A：设的中点为，则，且，平面，可得平面，又因为平面，所以，故A正确；对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角，故，即，可知，则，所以是等边三角形，故B正确；对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，所以点与平面的距离，故C错误；又因为，且与所成的角取值范围为，可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确.故选：C.8.已知点，，点为直线上动点，当最大值，点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为直径作圆，方程为，半径，则圆心到直线的距离，则直线与圆相离，即，由点在直线上，设，则，，所以直线与的夹角满足，当时，，当时，，当时，，此时，当且仅当，即时等号成立；当时，，此时，当且仅当，即时等号成立；综上所述，当时，取最大值，即取最大值，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9.已知圆M：和圆N：相交于A，B两点，下列结论正确的是（）A.直线AB的方程为B.若点P为圆N上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为C.线段AB的长为D.直线是圆M与圆N的一条公切线【答案】BCD【解析】A选项，两圆方程作差得，即，所以两圆公共弦所在直线方程为，A错误；B选项，圆的圆心为，半径，圆，即的圆心为，半径；圆心到直线的距离，半径，所以点到直线的距离的最大值为，B正确；C选项，，C正确；D选项，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，所以直线是圆与圆的一条公切线，D正确.故选：BCD.10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（）A.的周长为B.存在点，使得C.若，则的面积为D.使得为等腰三角形的点共有4个【答案】AB【解析】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确；对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确.对于C，当时，如图：设，，则.所以，所以C错误；对于D，若是以为顶点的等腰三角形，点位于上下顶点；若是以为顶点的等腰三角形，则，此时满足条件的点有两个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有两个；故使得为等腰三角形的点共六个，所以D错误.故选：AB.11.如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A.在中点时，平面平面B.异面直线所成角的余弦值为C.在同一个球面上D.，则点轨迹长度为【答案】ACD【解析】对于选项A：取的中点，连接，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知，平面，在面内，所以，面，面，，所以面，面，所以，连接，是正方形，，因为面，面，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以，综上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的三个顶点，，那么三角形外接圆的方程是_____.【答案】【解析】因为的三个顶点，，，所以为直角三角形，故三角形外接圆圆心为斜边的中点，半径,所以圆的方程为.故答案为：13.椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于__________.【答案】【解析】已知点P1,22在椭圆上，可得所以，又因为直线斜率，所以的方程为.设Ax1,y1,Bx可得，所以，点F21,0到直线的距离，所以.故答案为:.14.已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________.【答案】【解析】由已知条件可得、，直线的斜率为，则直线的方程为，当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行，

故设该直线的方程为，联立，整理，得，由，得，解得，分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为，则点到直线的距离.又，所以，所以，所以、，所以，则，当且仅当时取等号，因此，的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的顶点，边AC上的高BH所在直线的方程为，边AB上的中线CM所在直线的方程为.（1）求直线AC的方程及点的坐标；（2）求的面积.解：（1）因为边AC上的高BH所在直线的方程为，所以边AC的斜率为-1，又顶点，所以边AC的的直线方程为，所以，解得，所以直线AC的方程为，点的坐标为.（2）设点坐标为，由中点坐标公式可得，由点在直线上可得，又在直线BH上，所以，联立两方程可得，又到直线AC的距离为，所以.16.如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，（1）试用，，表示向量、；（2）若，求向量与所成的角的余弦值.解：（1），.（2）因为，,,，，，所以，即向量与所成的角的余弦值为.17.如图，已知某市穿城公路自西向东到达市中心O后转向正北方向，，在公路段上距离市中心O点处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，为半径的圆形保护区E，并准备修建一条直线型高架公路L，在上设出入口A，在上设出入口B，满足且直线与圆E相切.（1）若将出入口A设计在距离中心O点处，求R；（2）若点B到该圆上任意一点的距离均不少于，则如何设置出入口B，才能使该圆形保护区的半径R最小.解：（1）如图，设切点为F，连接,则，且,在直角三角形中，，即（2）以O为原点，如图建立平面直角坐标系，设，则直线方程：，即，圆心，设P为圆C上任意一点，由条件需使恒成立，即，即，化简得，①，又直线与圆C相切，得，由①知，，则有将代入①式，整理得，解得或（舍去），当且仅当时取得最小值，即当时，圆形保护区的半径R最小.18.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，（i）求平面PDM与平面BDM的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，，∴四边形是平行四边形，，又平面平面平面．（2），∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而，

∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，为棱的中点，

（i），设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，

，∴平面PDM与平面BDM的余弦值为；（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，设，则，

由（2）知平面一个法向量为，，∴点Q到平面的距离是，

．19.已知椭圆，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且．（1）求C的方程；（2）若M，N是C上任意两点.①若点，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设和的面积分别为，，若，求线段MN的长度；②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与