北京市丰台区2024届高三上学期期末练习数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市丰台区2024届高三上学期期末练习数学试卷第一部分选择题一、选择题1已知集合，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，，所以，.故选：A.2.若，则（）A. B.1C. D.2【答案】B【解析】因为，所以，所以，故选：B．3.在的展开式中，的系数为（）A. B.120C. D.60【答案】D【解析】的通项为：，令可得：的系数为.故选：D.4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（）A.5.4 B.6.3C.7.2 D.13.5【答案】B【解析】∵依次成等差数列，，∴，即，又，则.故选：B.5.已知直线与圆相切，则（）A B.C. D.【答案】B【解析】直线即，由已知直线与圆相切可得，圆圆心到的距离等于半径1，即，解得，故选：B．6.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，令，且，解得，，令，则，则在上单调递增，，则，则当时，，，则满足，即，当时，，且单调递减，，且单调递增，则时，，即；时，，即；综上所述：的解集为，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【解析】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面，又因为平面平面，，且平面，所以平面，所以①正确；对于②中，由平面，且平面，可得，又因为，且，平面，所以平面，所以②正确；对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确；对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因为平面，所以，因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误.故选：C.8.已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当，且时，，充分性满足；当时，，当，时，是可以大于零的，即当时，可能有，，必要性不满足，故“，且”是“”的充分而不必要条件.故选：A.9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18 B.19C.31 D.37【答案】B【解析】设吉祥物宸宸记为，莲莲记为①每人得到一张，一张，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为四组，再分给四个人，则有种分法③将这八张纪念卡分为四组，再分给四个人，则有种分法共有：种.故选：B.10.已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（）A.3.5 B.4C.4.5 D.5【答案】C【解析】易判断函数为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数，上的最大值.当时，，二次函数的对称轴为，函数在上单调递增，所以；当时，，因为，所以在上递增，在上也是递增，所以；当时，，因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以或，若，则；若，则;当时，，（因为），所以函数在上递增，在上递减，所以.综上可知：的最小值为.故选：C.第二部分非选择题二、填空题11.双曲线的渐近线方程________．【答案】【解析】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为y=±.12.已知，则________．【答案】0【解析】因为，，所以.故答案为：0.13.矩形中，，，且分为的中点，则___．【答案】【解析】以为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，，所以，.故答案为：.14.如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为．若记点到直线的距离为，则的极大值点为___，最大值为___．【答案】或0.5【解析】由题意，，由，得，∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减，则的极大值点为或，∵，，∴当，即或时，取最大值为．故答案为：或；.15.在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：①曲线过原点；②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线围成区域的面积大于．则所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】设，则，到直线l的距离，由题意可知，，，，当时，，则；当时，，则，，.可作图如下：由图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线经过4个点，没有其它整点，故③正确；由，，，四边形的面积，，，多边形的面积曲线W围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题16.在△中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）在中，因为，又，所以．因为，所以．因为，所以．（2）选择条件②：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中．因为，所以．所以．设点为线段的中点，在中，．因为中，，所以，即边上的中线的长度为．选择条件③：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中．因为的面积为，即，所以．设点为线段的中点，在中，．因为中，，所以，即边上的中线的长度为．由题可知，故①不合题意.17.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点为中点．（1）求证：//平面；（2）点为棱上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．（1）证明：因为正方形中，．因为平面，平面，所以平面．（2）解：因为底面，正方形中，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图不妨设，因为，点为的中点，点为棱上一点，则，，，，，．所以，，．设为平面的法向量，则，．所以，令，得，所以．设直线与平面所成角为，则，解得，因为，所以，所以．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值时，求漏诊率和误诊率；（2）从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者人数，求的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值．解：（1）由频率分布直方图可知，．（2）样本中患病者在指标为区间的人数是，未患病者在指标为区间的人数是，总人数为5人．可能的取值为0，1，2．，，．随机变量的分布列为012随机变量的期望为．（3）由题，，时，令所以，关于的一次函数系数为，故单调递增，则即时取最小值.19.已知函数．（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（2）求函数的单调区间．解：（1）由题可得，因为在点处的切线平行于轴，所以，即，解得，经检验符合题意．（2）因为，令，得或．当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．当时，因为，当且仅当时，，所以在区间上单调递增．当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．20.已知椭圆．（1）求椭圆的离心率和焦点坐标；（2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．解：（1）由题意得，解得．所以椭圆E的离心率为，焦点坐标分别为，．（2）由消去y并整理得：①其判别式得，化简为．此时方程①可化为，解得，(由条件知异号)．记，则，所以，即点．所以OP的斜率．法一：因为，所以可设直线的方程为．由消去y并整理得：．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设，则．因为C是A关于原点O的对称点，所以点C的坐标为．所以直线BC的斜率．所以．法二：记，因为点C与点A关于原点对称，所以．因为，所以直线AB的斜率为，所以．因为点在椭圆上，所以，．两式相减得：．所以，即，所以．所以．21.对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①；②（2）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；（3）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．（1）解：、均是周期数列，理由如下：因为，所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为，所以．所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．（2）证明：假设不成立，则有，即对于，都有．因为，