圆锥曲线小题综合练【解析版】-2025届高三数学二轮复习

圆锥曲线小题综合练一、单项选择题1．(★)(2024·长沙模拟)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．10C.eq\r(7)D．2eq\r(7)答案D解析抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的左焦点为(－eq\r(7)，0)，所以p＝2eq\r(7).2．(★★)(2023·深圳模拟)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(3)B.eq\f(2\r(3),3)C．2D.eq\r(2)答案C解析圆的方程x2＋y2－4y＋2＝0可化为x2＋(y－2)2＝2，则其圆心坐标为(0,2)，半径为eq\r(2).双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由对称性，不妨取y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.圆心(0,2)到渐近线的距离d＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，又由点到直线的距离公式，可得eq\f(|2a|,\r(b2＋a2))＝eq\f(2a,c)＝eq\f(2,e)＝1，所以e＝2.3．(★★)(2023·石家庄模拟)已知抛物线y2＝－2x上的两点A，B(点A的横坐标大于点B的横坐标)满足eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(FA,\s\up6(→))(O为坐标原点，F为抛物线焦点)，弦AB的中点M的横坐标为－eq\f(5,6)，则实数λ的值为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(4,3)C．3D．4答案D解析由题意可得抛物线y2＝－2x的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，直线AB的斜率存在．由eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(FA,\s\up6(→))，可得eq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\o(FA,\s\up6(→))，即直线AB过抛物线的焦点F，设直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，))消去y得k2x2＋(k2＋2)x＋eq\f(k2,4)＝0，∴x1x2＝eq\f(1,4)，又∵弦AB的中点M的横坐标为－eq\f(5,6)，∴x1＋x2＝－eq\f(5,3)，∴x1＝－eq\f(1,6)，x2＝－eq\f(3,2)，∴点A到准线的距离为|FA|＝|x1|＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，点B到准线的距离为|FB|＝|x2|＋eq\f(1,2)＝2，又|AB|＝|FA|＋|FB|＝eq\f(8,3)，∴eq\f(|FA|,|AB|)＝eq\f(1,4)，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\o(FA,\s\up6(→))，故λ＝4.4．(★★)(2023·衡水模拟)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足∠POF2＝2∠PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系是()A．e1e2＝2 B．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2C．eeq\o\al(2,1)＋e1e2＋eeq\o\al(2,2)＝2 D．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2eeq\o\al(2,1)eeq\o\al(2,2)答案D解析如图，因为∠POF2＝∠PF1F2＋∠F1PO，∠POF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝∠F1PO，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c，所以PF1⊥PF2，记椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由椭圆和双曲线定义可得m＋n＝2a1，①m－n＝2a2，②①2＋②2可得2(m2＋n2)＝4(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))，由勾股定理知m2＋n2＝4c2，代入上式可得2c2＝aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)，整理得eq\f(a\o\al(2,1),c2)＋eq\f(a\o\al(2,2),c2)＝2，即eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2，所以eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2eeq\o\al(2,1)eeq\o\al(2,2).二、多项选择题5．(★★)(2024·温州模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有()A．存在点P使得∠F1PF2＝eq\f(π,2)B．cos∠F1PF2的最小值为－eq\f(7,25)C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值eq\f(9,25)答案ABC解析由椭圆的方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，可得a＝5，b＝3，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(25－9)＝4.A中，设P(x，y)，若∠F1PF2＝eq\f(π,2)，则直线PF1，PF2互相垂直，则eq\f(y,x－4)×eq\f(y,x＋4)＝－1，即y2＝16－x2，∵eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(16－x2,9)＝1，解得x＝±eq\f(5\r(7),4)，∴存在点P使得∠F1PF2＝eq\f(π,2)，故A正确；B中，设|PF1|，|PF2|的长分别为p，q.则在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝eq\f(p2＋q2－4c2,2pq)＝eq\f(p＋q2－4c2－2pq,2pq)＝eq\f(4a2－4c2－2pq,2pq)＝eq\f(2b2－pq,pq)＝eq\f(2b2,pq)－1≥eq\f(2b2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))2)－1＝eq\f(2b2,a2)－1＝eq\f(18,25)－1＝－eq\f(7,25)，当且仅当p＝q＝a＝5时取等号，∴cos∠F1PF2的最小值为－eq\f(7,25)，故B正确；C中，由∠F1PF2＝90°，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，∴|PF1||PF2|＝eq\f(4a2－4c2,2)＝2×(25－16)＝18，∴＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝eq\f(1,2)×18＝9，故C正确；D中，当P不为椭圆的左、右顶点时，设P(x0，y0)，y0≠0，可得eq\f(x\o\al(2,0),25)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，由椭圆的方程可得A(－5,0)，B(5,0)，则kPA·kPB＝eq\f(y0,x0＋5)·eq\f(y0,x0－5)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－25)＝eq\f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),25))),x\o\al(2,0)－25)＝－eq\f(9,25)，故D不正确．6．(★★)(2024·济南质检)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则()A．若x1＋x2＝6，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝8B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PP1))≥eq\r(2)D．过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条答案ABC解析对于A，因为p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2，则|PQ|＝8，故A正确；对于B，设N为PQ的中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NN1))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PP1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(QQ1)),2)＝eq\f(|PF|＋|QF|,2)＝eq\f(|PQ|,2)，故B正确；对于C，因为F(1,0)，所以|PM|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PP1))＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝eq\r(2)，当且仅当M，P，F三点共线时等号成立，故C正确；对于D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点．当过点M的直线斜率存在时，可设为y＝kx＋1(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，所以有三条直线符合题意，故D错误．三、填空题7．(★★)(2023·聊城模拟)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后(A，B，F2在同一直线上)，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－eq\f(4,5)，AB⊥BD，则E的离心率为________．答案eq\f(\r(10),2)解析如图，连接F1A，F1B，则F1，A，C三点共线，F1，B，D三点共线，设|F2B|＝x，则|F1B|＝x＋2a，因为cos∠F1AB＝cos(π－∠BAC)＝eq\f(4,5)，所以sin∠F1AB＝eq\r(1－cos2∠F1AB)＝eq\f(3,5)，所以tan∠F1AB＝eq\f(sin∠F1AB,cos∠F1AB)＝eq\f(3,4)，又AB⊥BD，所以tan∠F1AB＝eq\f(|F1B|,|AB|)＝eq\f(3,4)，即|AB|＝eq\f(4,3)|F1B|＝eq\f(4,3)x＋eq\f(8,3)a，sin∠F1AB＝eq\f(|F1B|,|F1A|)＝eq\f(3,5)，即|F1A|＝eq\f(5,3)|F1B|＝eq\f(5,3)x＋eq\f(10,3)a，又|F2A|＝|AB|－|F2B|＝eq\f(1,3)x＋eq\f(8,3)a，因此|F1A|－|F2A|＝eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3)a＝2a，即x＝a，在Rt△F1F2B中，由勾股定理得(2c)2＝(x＋2a)2＋x2＝10a2，即c2＝eq\f(5,2)a2.故e＝eq\f(\r(10),2).8．(★★★)(2023·南京模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得csin∠PF1F2＝asin∠PF2F1，则该椭圆离心率e的取值范围是____________．答案(eq\r(2)－1,1)解析由已知得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)，在△