《数字信号处理》课件-第5章

5.1引言5.2数字滤波器的定义和分类5.3实际滤波器的设计指标5.4几种常见的特殊滤波器习题与上机题

数字滤波器与模拟滤波器都是一种选频器件，它对某些频率的信号给予很小的衰减，使具有这些频率分量(如有用信号的频率分量)的信号比较顺利地通过，而对其他不需要的频率分量(如噪声的频率分量)的信号给予较大幅度衰减，尽可能阻止这些信号通过。数字滤波器和模拟滤波器具有不同的滤波方法，数字滤波器是通过对输入信号进行数值运算的方法来实现滤波的，而模拟滤波器则用电阻、电容、电感及有源器件等构成电路对信号进行滤波。5.1引言因此，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定性强、灵活度大、体积小、重量轻、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。数字滤波器要求输入、输出信号均为数字信号。

本章主要介绍数字滤波器的定义、分类及实际滤波器的设计指标，重点介绍几种常见的特殊数字滤波器。5.2.1数字滤波器的定义

数字滤波器(DigitalFilter)通常是指一个用有限精度算法实现的离散线性时不变系统。因此它具有线性时不变系统的所有特性。

通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应H(ejω)用下式表示：

H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)

5.2数字滤波器的定义和分类式中，|H(ejω)|称为滤波器幅频响应；θ(ω)称为滤波器相频响应。幅频响应表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频响应反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频响应相同，只要相频响应不一样，对相同的输入，滤波器的输出信号波形也是不一样的。一般选频滤波器的技术要求由幅频响应给出，相频响应一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频响应的技术指标，例如语音合成、波形传输、图像处理等。如果对输出波形有严格要求，则需要设计线性相位数字滤波器，这部分内容在第6章进行介绍。图5.2.1低通滤波器幅频响应示意图滤波器的特性最容易通过它的幅频响应的形状来描述。滤波器在某个频率的幅度增益(Gain)决定了滤波器对此频率输入的放大因子，增益可取任意值。增益高的频率范围，信

号可以通过，称之为滤波器的通带(PassBand)，如图5.2.1所示;相反，增益低的频率范围，滤波器对信号有衰减或阻塞作用，称之为滤波器的阻带(StopBand)。例如，低通滤波器使低频成分通过，阻碍高频成分;高通滤波器则相反，使高频成分通过，阻碍低频成分。理想滤波器的幅频响应是矩形，即通带的增益为1，阻带的增益为0，然而这种理想的滤波器是不可实现的，这一点在5.3节进行讨论。数字滤波器的实现方式一般可以分为两种，即软件实现和硬件实现。软件实现指的是在通用计算机上执行滤波程序。这种方法灵活，但一般不能完成实时处理。硬件实现指的

是在单片机、FPGA或DSP芯片上实现，由于硬件运算速度快，可以实现实时处理，因此在实际系统中经常用硬件来实现各种数字滤波器。

数字滤波器的输出可以有两种方法求出，一种是用滤波器的差分方程计算滤波器的输出，另一种是利用卷积过程计算输出。后一种方法有限定条件，即系统单位脉冲响应h(n)必须为有限长序列。5.2.2数字滤波器的分类

数字滤波器按照不同的分类方法，有许多种类，但总体可以分为两大类。一类称为经典滤波器，即一般的线性系统滤波器。另一类即所谓的现代滤波器。现代滤波器的理论

建立在随机信号处理的理论基础上，它利用了随机信号内部的统计特性对信号进行滤波，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，这一部分内容留在研究生《现代信号

处理》课程中进行介绍。下面介绍经典滤波器的分类。

1.根据H(ejω)的通带特性分类

一般数字滤波器从滤波功能上分类，和模拟滤波器一样，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频响应如图5.2.2所示。图5.2.2理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅频响应(a)低通;(b)高通;(c)带通;(d)带阻需要注意的是，数字滤波器的频率响应H(ejω)都是以2π为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高通频带处于π的奇数倍附近，这一点和模拟滤波器是有区别的。

2.根据滤波器的实现方式分类

数字滤波器从实现的网络结构或者单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(InfiniteImpulseResponse，IIR)滤波器和有限脉冲响应(FiniteImpulseResponse，FIR)滤波器。它们的系统函数分别为

(5.2.2)(5.2.1)式(5.2.1)中的H(z)称为N阶IIR滤波器系统函数，(5.2.2)式中的H(z)称为N-1阶FIR滤波器系统函数。

1)IIR系统(递归系统)

IIR滤波器的差分方程为

(5.2.3)由于N≥1，y(n)不仅与x(n-i)有关，还与y(n-i)有关，即系统存在着输出对输入的反馈，所以称为递归系统(RecursiveSystem)。

又因为N≥1时，H(z)在z平面上存在着极点，所以h(n)为无限长序列，故递归系统也称为IIR滤波器。

2)FIR系统(非递归系统)

FIR滤波器的差分方程为

(5.2.4)显然，该系统不存在着输出对输入的反馈，所以称为非递归系统(NonrecursiveSystem)。

又因为h(n)=bn，0≤n≤M，h(n)为有限长序列，故非递归系统也称为FIR系统。

IIR系统和FIR系统的特性不同，实现方法也不同，后面将详细介绍。5.3.1实际滤波器对理想滤波器的逼近

图5.3.1是理想低通滤波器的幅频响应，该理想低通滤波器具有截止频率ωd。可以看出，理想滤波器在通带内幅度为常数(非零)，在阻带内幅度为零。另外，一般理想滤波器

要求具有线性相位(在第8章讨论)，这里假设相频响应θ(ω)=0。它的脉冲响应可以由离散傅里叶逆变换得到，即

(5.3.1)5.3实际滤波器的设计指标图5.3.1理想低通滤波器的幅频响应图5.3.2给出了理想滤波器的脉冲响应，显然该响应为非因果且无限长序列。图5.3.2理想低通滤波器的脉冲响应由于脉冲响应是非因果且无限长的序列，因此它不能通过时移来转变为因果系统。另外，无限长脉冲响应不能直接转换为非递归差分方程。一个简单的解决办法就是把图5.3.2所示脉冲响应两边响应值很小的采样点截去，将脉冲响应变为有限长，再进行时移得到因果系统，使得脉冲响应所描述的滤波器可用。例如图5.3.3(b)，除了中间的33项外，其余的部分被截取掉了，再通过移位即得到因果序列。图5.3.3理想低通滤波器脉冲响应(a)理想低通脉冲响应h(n)；(b)截短移位后的h(n)截短脉冲响应自然会对频率响应产生影响。截短后，滤波器幅频响应曲线不再是理想矩形，通带不再平坦，有过渡带，同时阻带衰减不再为零。图5.3.4给出了因果脉冲响应

的幅频响应。当然，脉冲响应保留的采样点越多，即滤波器阶数越高，滤波器形状越接近理想。图5.3.4非理想低通滤波器因果脉冲响应的幅频响应5.3.2实际滤波器的设计指标

当滤波器形状为非理想时，要用一些参数指标来描述其关键特性。图5.3.5表示低通滤波器的幅频响应。滤波器的通带定义了滤波器允许通过的频率范围。在阻带内，滤波器对

信号严重衰减。ωp和ωs分别称为通带截止频率(或通带上限频率)和阻带截止频率(或阻带下限频率)。参数δ1定义了通带波纹(PassBandRipple)，即滤波器通带内偏离单位增

益的最大值。参数δ2定义了阻带波纹(StopBandRipple)，即滤波器阻带内偏离零增益的最大值。参数Bt定义了过渡带宽度(TransitionWidth)，即阻带下限和通带上限之间的距离，Bt=|ωs-ωp|。过渡带一般是单调下降的。通带内和阻带内允许的衰减一般用单位dB表示，通带允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，它们分别定义为

(5.3.3)(5.3.2)式中，Amax是通带内幅度最大值；Amin是通带内幅度最小值；As是阻带内最大值。幅度下降到0.707即时，ω=ωc，此时αp=3dB，称ωc为3dB通带截止频率。如果滤波器为带通或带阻滤波器，则增加了低端通(阻)带频率ωpl(ωsl)(见图5.3.6)和高端通(阻)带频率ωpu(ωsu)(见图5.3.7)。图5.3.5低通滤波器的幅频响应图5.3.6带通滤波器的技术指标图5.3.7带阻滤波器的技术指标5.4.1全通滤波器

如果滤波器的幅频响应对所有的频率响应幅度均为常数或1，即

|H(ejω)|=1，0≤ω≤2π

(5.4.1)

则该滤波器称为全通滤波器。全通滤波器的频率响应函数可表示为

H(ejω)=ejθ(ω)

(5.4.2)

式(5.4.2)表明信号通过全通滤波器后，幅频响应保持不变，仅相频响应随ω改变。5.4几种常见的特殊滤波器图5.4.1a为实数，0<a<1时，一阶全通滤波器的零、极点位置简单的一阶全通滤波器的系统函数为

(5.4.3)

式中，a为实数且0<|a|<1。这一系统所对应的零、极点位置如图5.4.1所示。图5.4.2a为复数，一阶全通系统的零、极点位置高阶全通滤波器是由一串一阶系统组成的，可以包括如式(5.4.3)的实零点和实极点的一阶系统，还可以包括复数零点和复数极点对。复数零点和极点的全通系统函数为

(5.4.4)式中，a为复数且0<|a|<1。全通系统函数的零、极点出现在共轭镜像位置上(以单位圆为“镜子”)，如图5.4.2所示。一般来讲，要求系统为实，即h(n)是实序列，此时H(z)的系数应为实数，因而其系统函数的复数极点(零点)必须以共轭对形式出现。例如，一个实系数二阶全通系统函数应

为

(5.4.5)

也就是说，它是由两个一阶全通系统(其极点(零点)成共轭对)级联组成的，如图5.4.3所示。图5.4.3二阶全通系统的零、极点位置可以证明，式(5.4.3)和式(5.4.4)的一阶全通系统在任何频率上，其频率响应的模都为1。例如，对式(5.4.4)，设a=rejθ为复数，在任一频率ω处研究，令z=ejω，则有

一般来说，N阶数字全通滤波器的系统函数可表示为

(5.4.6)

式中

D(z)=1+d1z-1+…+dN-1z-(N-1)+dNz-N

(5.4.7)

D(z)为具有实系数的多项式，其根全部在单位圆内，当z=ejω时，满足

D(ejω)=D*(e-jω)

所以有

|H(ejω)|=1，0≤ω<2π

H(z)满足全通系统的要求。下面分析全通滤波器的零点和极点的分布规律。设zk为H(z)的零点，按照式(5.4.6)，zk-1必然是H(z)的极点，记为pk=zk-1，则全通滤波器的极点和零点互为倒数关系。如果

考虑到D(z)和D(z-1)的系数为实数，其极点、零点均以共轭对出现，这样，对复数零点、复数极点必然以四个一组出现。例如，zk为H(z)的零点，则必有零点zk*、极点pk=zk-1、

pk*=(zk-1)*。

对实数零、极点，则以两个一组出现，且零点与极点互为倒数关系。全通滤波器起纯相位滤波作用，常常用作延时均衡器。当一个系统与另一个离散时间系统级联时，全通滤波器可以使整个级联系统在感兴趣的频带内有一个常数延时。5.4.2数字陷波器

数字陷波器是一个在频率响应特征上包含了一个或多个深槽，在理想情况下，这些深槽完全为零的滤波器，也就是在频率响应中有一些被完全抑制的部分。图5.4.4表示出了在

频率ω0和ω1出现深槽的陷波器。陷波器在许多实际应用中非常有用，这些应用中要求完全消除某些频率分量。图5.4.4陷波器的频率响应为了在滤波器的频率ω0处完全抑制频率响应，简单地在单位圆上且角度为ω0处引入一对复共轭零点，即

所以陷波器的系统函数为

(5.4.8)

图5.4.5给出了时的陷波器的幅频响应。图5.4.5时的陷波器的幅频响应和相频响应(a)幅频响应;(b)相频响应陷波器的问题在于陷波有一个相对大的带宽，这意味着在陷波频率附近的其他频率分量也会被严重抑制。为了降低陷波的带宽，可以通过在系统函数中引入极点来改善频率响应特征。

假定，将一对复共轭极点放置在，引入极点使得陷波点附近出现了共振峰，同时减少了陷波的带宽。此时所得滤波器的系统函数为

(5.4.9)图5.4.6给出了当，r=0.65或，r=0.95时式(5.4.9)的滤波器的幅频响应。

将|H(ejω)|与图5.4.5中的滤波器的频率响应作比较时，可看到极点的作用减少了陷波带宽。图5.4.6极点位于r=0.65和r=0.95处两个陷波器的幅频响应和相频响应(a)幅频响应;(b)相频响应图5.4.6的Matlab参考代码如下：

clearall%清除工作区中所有变量和函数

r1=0.65;

r2=0.95;

w=0：0.005*pi：pi；

z1=exp(j*pi/4);z2=exp(-j*pi/4)；

%给出系统的两个零点z1,2=e±jπ/4

p11=r1*exp(j*pi/4);p12=r1*exp(-j*pi/4)；

%给出系统1的两个极点p1,2=r1e±jπ/4

p21=r2*exp(j*pi/4);p22=r2*exp(-j*pi/4)；

%给出系统2的两个极点p1,2=r2e±jπ/4

［b1，a1］=zp2tf(［z1，z2］′，［p11，p12］′，1)； %由零极点求系统函数H(z)的系数

［b2，a2］=zp2tf(［z1，z2］′，［p21，p22］′，1);

H1=freqz(b1，a1，w)； %求系统1的频率响应

H2=freqz(b2，a2，w)； %求系统2的频率响应除了减少陷波带宽外，由于极点产生了共振峰，在陷波点附近引入极点可能会在通带内引起小的纹波。在陷波器的系统函数中引入另外的极点或零点可以减少纹波。

【例5.4.1】设信号x(t)=sin(2π×60t)+xs(t)，式中xs(t)是低于60Hz的低频信号。试设计一个陷波器将60Hz干扰滤除，采样频率Fs=200Hz。

解

60Hz对应的数字频率，选择r=0.75，陷波器的系统函数为

为了测试陷波器的特性，令xs(n)=2sin(2π×25t)，因此数字陷波器的输入信号

Matlab程序如下：

B=［1，0.618，1］; %系统函数H(z)的分子系数A=［1，0.4635，0.5625］;

%系统函数H(z)的分母系数f1=60;f2=25;Fs=200;

%给出频率参数

n=0：1023;x=sin(2*pi*f1/Fs*n)+sin(2*pi*f2/Fs*n)； %输入信号

X=abs(fft(x))/max(abs(fft(x)));

y=filter(B，A，x);

%求出输出信号

Y=abs(fft(y，1024))/max(abs(fft(y，1024)))

由图5.4.7(a)可以看出输入信号有两个频率。陷波器的输出波形如图5.4.7(b)所示，60Hz的干扰信号被抑制掉了。图5.4.7例5.4.1陷波器输入、输出幅频响应(a)输入信号幅频响应;(b)输出信号的幅频响应5.4.3梳状滤波器

最简单方式的梳状滤波器可以看成是陷波器，在频带内周期性地出现陷波，类似于常见的梳子，有一个个周期间隔的齿。在实际系统中梳状滤波器有许多应用，例如消除电源

中的谐波，从电子聚集的电离层测量中分离太阳和月亮成分，抑制来自移动目标指示雷达中固定物体的杂乱信号。设滤波器的系统函数为H(z)，其频率响应函数H(ejω)是以2π为周期的。如果将H(z)的变量z用zN代替，得到H(zN)，则相应的频率响应函数H(ejωN)是以2π/N为周期的，在区间［0，2π］上有N个周期。利用这种性质，可以构成各种梳状滤波器。现在，假定原来的数字滤波器的频率响应函数H(ejω)在某一频率ω0处的谱为0，那么频率响应函数为H(ejωN)的滤波器在处周期性地出现零谱。例如，，零点为1，极点为a，所以H(z)表示一个高通滤波器。以zN代替H(z)的z，得到

(5.4.10)当N=8时，零点为极点为

H(z)的零、极点分布和幅频响应曲线如图5.4.8所示。由其幅频响应曲线的形状取名为梳状滤波器。梳状滤波器可滤除输入信号中

k=0，1，…，N-1的频率分量。图5.4.8梳状滤波器的零、极点分布和幅频响应(N=8)(a)零、极点分布图;(b)幅频响应

【例5.4.2】设计一个梳状滤波器，用于滤除心电图信号中的50Hz及其二次谐波100Hz干扰，设采样频率为400Hz。

解采用前面介绍的梳状滤波器，系统函数为

式中有两个参数需要选择，N的大小决定于要滤除的点频的位置，a要尽量靠近1。计算得到要滤除的两个数字角频率为

零点频率为k=0，1，2，…，N-1。由

求出N=8。设a=0.9，梳状滤波器的幅频响应如图5.4.9所示。图5.4.9例5.4.2梳状滤波器的幅频响应5.4.4最小相位滤波器

一个因果稳定的离散时间系统，其极点必须位于单位圆内，而对零点没有特殊的要求，它可以在单位圆内、单位圆上，也可以在单位圆外。在第2章中讲到，如果一个离散

系统的H(z)的极点与零点全部在单位圆内，则称为最小相位系统。与之相对照，若零点全部在单位圆外，则称为最大相位系统;若在单位圆内和圆外都有零点，则称该系统为混合

相位系统。因此，对于给定的频率响应，其相频响应可以不唯一。最小相位系统有下列几个重要性质:

(1)任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成，即

H(z)=Hmin(z)·Hap(z)

(5.4.11)设系统H(z)有一个零点在单位圆之外，即|z0|<1，其余的极点、零点均在单位圆内，那么H(z)可表示为

H(z)=H1(z)·(z-1-z0)

(5.4.12)H1(z)是最小相位的，上式又可表示为由于|z0|<1，因此Hmin(z)=H1(z)(1-z0*z-1)是最小相位的，

而是全通的。上述做法的结果是把H(z)在单位圆外处的零点反射到单位圆内z=z0*处，使之成为Hmin(z)的零点，同时，H(z)和Hmin(z)具有相同的幅频响应。这就为我们提供了一个如何由非最小相位系统构成最小相位系统的方法。

(2)给定一个稳定因果系统，定义其逆滤波器

当且仅当H(z)是最小相位系统时，HINV(z)才是稳定的、因果的，亦即物理可实现。

(3)在幅频响应相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。由式(5.4.11)可知，任何一个非最小相位系统H(z)的相位函数，是一个与H(z)的幅频响应相同的最小相位系统Hmin(z)的相位函数加上一个全通系统Hap(z)的相位函数。所以，只要证明了全通系统的相位函数是非正的，也就证明了本性质

(4)若定义h(n)的积累能量E(M)为

则当M很小时，最小相位系统的最小能量延迟可用下式描述，即

(5.4.13)由Parseval定理，因为频域幅频响应相同，所以时域的总能量也应相同，即

因此式(5.4.13)表明hmin(n)的能量集中在n较小的时段内，即能量延迟最小。

5.1一个滤波器的系统函数为

H(z)=1+z-1+z-2+…+z-8

计算该滤波器的幅频响应和相频响应。若采样频率Fs=1kHz，确定不能通过该滤波器的模拟正弦波信号的频率。

5.2用Matlab设计一个数字陷波滤波器，它抑制一个非常强的60Hz的正弦干扰信号，被干扰的信号是一个200Hz的有用正弦信号，采样频率Fs=1kHz。习题与上机题

5.3最小相位系统的一个重要性质是最小能量延迟特性。式(5.4.13)描述了该特性。该性质的证明思想如下：

令hmin(n)是系统函数为Hmin(z)的最小相位系统的单位脉冲响应序列，且zk为Hmin(z)的一个零点，因此可以将Hmin(z)表示为

Hmin(z)=Q(z)(1-zkz-1)，|zk|<1

式中Q(z)也是最小相位的。现在研究另一个因果稳定系统H(z)，其幅频响应满足

|H(ejω)|=|Hmin(ejω)|且H(z)有一个零点。并令h(n)=IZT［H(z)］。

(1)试用Q(z)表示H(z)。

(2)试用q(n)=IZT［Q(z)］表示h(n)和hmin(n)。

(3)比较两个序列的能量分布，证明

5.4全通系统的系统函数为，|a|<1。

试证明0≤ω≤π时，|Hap(ejω)|=1。

5.5若一个线性时不变系统的系统函数有如题5.5图所示的零、极