《数字信号处理》课件-第9章

9.1引言9.2正交移相器设计及实现9.3以单频正弦信号为激励测量系统的频率响应9.4数字上、下变频器

数字信号处理技术具备精度高、灵活性大、抗干扰性强，便于大规模集成等优点，目前已广泛地应用在语音、雷达、声纳、地震、图像、通信、控制、生物医学、遥感遥测、

地质勘探、航空航天、自动化仪表等领域。本章以前八章的知识为基础，主要介绍数字信号处理在通信与信息处理中的几个典型应用，例如正交变换，测量系统的频率响应，数字

上、下变频等。其余领域的应用如语音、图像等信号处理在其他专用教材中有详细介绍。9.1引言根据信号与系统及本书第2章所学知识，我们知道无论是连续时间的实信号，还是离散时间的实信号，其傅里叶变换都是共轭对称的即

9.2正交移相器设计及实现也即实信号的幅度分量是偶对称的，相位分量是奇对称的。所以对于实信号而言，正负频率的频谱分量包含的信息是一样的。在第2章中我们讲到对一个最高频率为fmax的实信号，当采样频率Fs≥2fmax时，不产生频谱混叠，可以由采样信号恢复出模拟信号。如果我们将信息冗余的负频率分量去掉仅保留正频率分量，则信号带宽减小一半，可以用更低的采样频率来表示同一个信号。用正交移相器(也称Hilbert变换)即可构造出仅含单边频率分量的信号。下面主要介绍离散Hilbert变换，连续时间信号的Hilbert变换请参考相关教材。9.2.1离散时间信号的正交移相器

设某一信号z(n)的序列傅里叶变换为Z(ejω)，如果我们要求Z(ejω)的负频率分量为零(也可以要求其正频率分量为零)，即令

(9.2.1)此时与负频率分量为零的Z(ejω)相对应的序列z(n)必须是复序列。令

(9.2.2)上式中，x(n)和均为实序列，z(n)称为x(n)的解析信号。

设x(n)和的傅里叶变换分别为X(ejω)和，则z(n)的傅里叶变换为

(9.2.3)

上式中X(ejω)和均为共轭对称函数，

的傅里叶变换为共轭反对称函数。根据第2章式(2.2.16)共轭对称分解定理，有

(9.2.4)

和

如果当-π<ω<0时，Z(ejω)=0，则有

(9.2.5)

及

(9.2.6)由式(9.2.3)、式(9.2.5)和式(9.2.6)可得

(9.2.7)

上式也可表示为

(9.2.8)

式中

(9.2.9)设x(n)和的广义傅里叶变换X(ω)和如图9.2.1(a)所示，z(n)的广义傅里叶变换Z(ω)如图9.2.1(b)所示。

由图可以看出，复序列的实部和虚部的广义傅里叶变换均为双边谱，而复序列本身为单边谱，其幅度为实部或虚部傅里叶变换单边谱的两倍。图9.2.1x(n)、和z(n)的傅里叶变换(a)实、虚部的傅里叶变换;(b)复序列的傅里叶变换观察式(9.2.9)与式(6.3.9)相同，其幅频响应和相频响应如图9.2.2所示。由图可见正交移相器要求幅度全通，所有频率(0和π除外)相移为π/2。图9.2.2正交移相器的频率响应(a)幅频响应;(b)相频响应通过对式(9.2.9)作序列傅里叶反变换，可得理想正交移相器的单位脉冲响应hd(n)为

(9.2.10)9.2.2离散时间信号正交移相器的实现

观察式(9.2.10)，hd(n)是关于n=0奇对称的无限长非因果序列，且随着|n|的增大，|hd(n)|的取值减小，可以用窗函数法设计出符合一定指标要求的h(n)，即为实际正交移相器的单位脉冲响应。h(n)的长度N一般都为奇数，若设N=2M+1，则h(n)关于n=M奇对称，根据6.2节的结论可知实际正交移相器具有第二类线性相位。图9.2.3和图9.2.4分别画出了N=31和N=91时选择矩形窗设计出的实际正交移相器的幅频响应和相频响应。图9.2.330阶正交移相器的频率响应(a)幅频响应;(b)相频响应图9.2.490阶正交移相器的频率响应(a)幅频响应;(b)相频响应图9.2.5用移相器产生正交信号结合6.3节窗函数法设计FIR滤波器的结论，从图9.2.3(a)和图9.2.4(a)中可以看到加窗截短对滤波器幅频响应带来的吉布斯效应，并且随着滤波器阶数的增加，过渡带变窄，带内波动的频率增加，但波动的幅度却没有改变。若要改变波动幅度，则需要选择其他类型的窗对hd(n)进行截短。

图9.2.3(b)和图9.2.4(b)则表明正交移相器除了给信号带来90°的相移以外，由于移位M的影响还附加了一个线性相位。因此，利用正交移相器产生正交信号时要依照图9.2.5所示的模型，从图中可以看出只有当正交移相器的长度N为奇数时，输入信号x(n)经过的延时M才是整数，从而得到正交的两路信号x(n-M)和。

此外，由于正交移相器的幅频响应(一个周期内)在ω=0处取值等于零，也就是说正交移相器具有隔直的作用，所以正交移相器的输入信号中不能含有直流分量。下面给出一

个单频正弦信号sin(0.0625πn)经过图9.2.5所示系统的Matlab实例。

【例9.2.1】设输入信号x(n)=sin(0.0625πn)，30阶正交移相器的单位脉冲响应为

求正交移相器的输出y(n)，并验证y(n)与x(n)是正交的。

解

Matlab程序如下:

N1=200; %信号长度

N=31;

%正交移相器阶数

M=(N-1)/2;

%延时单元长度

h(1：N)=0;

h(1：2：31)=2./(((0：2：30)-15)*pi);

x=sin(0.0625*pi*(0：N1-1)); %输入信号

y=conv(h，x); %求正交移相器输出

x1(1：N1+M)=0;x1(M+1：N1+M)=x;

%将输入信号延时

a=0：N1-101;

figure;plot(a，x1(1：N1-100)，′b′，a，y(1：N1-100)，′g′);gridon;

xlabel(′n′);ylabel(′时域波形′)；运行程序，结果如图9.2.6所示，由图可以看出，虚线表示的输入信号与实线表示的输出信号相位相差90°，同时也可看出输出信号的幅度稍大于输入信号。参照图9.2.3(a)发现，当数字角频率为0.0625π时，该正交移相器的幅频响应曲线恰好在波动大于0dB的位置，所以输出信号的幅度增大。为了保证任意频率的信号经过正交移相器后幅度不发生较大变化，应该选择带内波动幅度小的窗函数设计正交移相器。图9.2.6正交移相器实现的正交变换

Matlab信号处理工具箱函数提供了正交移相器的库函数，调用格式如下:

x=HILBERT(xr)

xr为输入实信号，输出为复信号，即x=xr+jxi，xi为xr的Hilbert变换。如果输入xr为复信号，该函数仅用其实部即xr=real(xr)。如果xr是矩阵，则xi是xr按列做的Hilbert变换。随着数字信号处理应用领域的拓展，我们在处理信号时越来越多地遇到需要对信道进行幅相均衡的需求。例如在阵列信号处理中为了保证信道的幅度相位一致性需要对信道进

行幅相测量后进行校正，由于该信道具有非快变的特点，若采用闭环的自适应均衡算法反而不容易收敛，此时利用直接测量信道的频率响应并结合均衡的思想，可以获得很好的校

正效果。9.3以单频正弦信号为激励测量系统的频率响应9.3.1实LTI系统频率响应的测量

通过2.4节的学习我们知道，设线性时不变(LTI)系统的单位脉冲响应为h(n)，其频率响应H(ejω)是系统对单位复指数输入ejωn的增益，即若LTI系统的输入为，则其输出y(n)也是同频率的复指数序列，且

(9.3.1)若LTI为实系统，则当输入时，输出y(n)为

(9.3.2)

其中H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)。

利用以上结论可以测量出系统的频率响应H(ejω)，测量系统如图9.3.1所示。图9.3.1测量系统频率响应框图设h(n)为LTI实系统，为了测量H(ejω)在ω0处的取值，构造输入信号x(n)=Acos(ω0n+φ0),则x(n)过系统后的输出如式(9.3.2)所示。对y(n)作序列傅里叶变换可得

(9.3.3)若x(n)的幅度A、数字角频率ω0以及初始相位φ0准确已知，就可以从式(9.3.3)中求出。由于实系统h(n)满足，因而只需测量0≤ω≤π内的H(ejω)就可以得到系统的频率响应。然而，实际测量时对y(n)进行的是DFT运算，按照3.4节中DFT与SFT的关系式(3.4.4)，选择恰当的DFT点数N，使得

(k为整数)，同时将y(n)的采样点数也选择为N，由3.7节式(3.7.11)可知y(n)的DFTY(k)只在k及N-k处有非零

值，并且

(9.3.5)因此，可通过下式求得：

(9.3.6)

当N为偶数时需要测量的频率有

(9.3.7a)当N为奇数时需要测量的频率有

(9.3.7b)

【例9.3.1】设某LTI实数字系统具有带通特性，通带为［21kHz，29kHz］，采样频率为100kHz。为了仿真实际信号环境，在测量信号中加入白噪声，使得信噪比为25dB，为保证通带内的测量效果，将测量频率的范围拓宽至［11kHz，39kHz］。

解

Matlab程序如下:

snr=25

%在测量信号中引入噪声，定义信噪比

amp=2*10^(snr/20); %信号幅度

w=11000：100：39000;

%测量信号的一组频率，单位为Hz

Fs=100000;

%采样频率，单位为Hz

N=Fs/100;

%保证对测量信号进行DFT时频率对应整数k

k0=w(1)/Fs*N %起始频率所对应DFT中的k

%channel

［b1，a1］=ellip(2，1，50，［21900/(Fs/2)27900/(Fs/2)］);

［b2，a2］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);

bb1=conv(b1，b2);ba1=conv(a1，a2);

%两个不同通带的滤波器级联后构造成的信道

fori=1：length(w)

x=amp*cos(2*pi*w(i)/Fs*(0：1999)′)+randn(2000，1)；%产生测量信号

y=filter(bb1，ba1，x); %获得系统输出信号

fy=fft(y(150：N+149)); %去除暂态

hf2(i)=2*fy(k0+i)/(amp*N)*exp(-j*149*(k0+i-1)/N*2*pi);

%计算系统频率响应

end

%构造实的h(n)

hf(1：k0)=0;hf(k0+1：k0+length(w))=hf2;hf(k0+length(w)+1：N/2+1)=0;

hf(N/2+2：N)=conj(hf(N/2：-1：2));

%频率响应具有共轭对称性

hc=real(ifft(hf)); %所得系统为实系统

%比较测量所得系统与已知系统的频率响应误差

N1=2000; %频谱分辨率为50Hz

hff=fft(hc，N1);

w1=21000：Fs/N1：29000; %通带内的一组频率

hf11=freqz(bb1，ba1，w1/Fs*2*pi);hf22=hff(w1/Fs*N1+1);

hf33=freqz(bb1，ba1，w/Fs*2*pi);hf44=hff(w/Fs*N1+1);

运行程序结果如图9.3.2和图9.3.3所示。图9.3.2为待测量系统的频率响应，由两个4阶椭圆带通滤波器级联组成。图9.3.2待测量系统的频率响应图9.3.3通带内系统响应误差(a)幅频响应误差;(b)相频响应误差由于系统的采样频率为100kHz，频率分辨率为100Hz，因此选择DFT点数N=1000，对输出变量y作DFT时去除了前150点以保证输出稳定。为了衡量测量的效果，将所得系统

的频率响应hf作反变换得到系统的单位脉冲响应hc，比较测量所得系统与原系统的误差，取频率分辨率为50Hz。图9.3.3(a)和图9.3.3(b)所示通带内测量得到的系统与原系统的幅频响应在10-3数量级，相频响应误差在0.5°以内。9.3.2阵列信号处理中的多通道幅相一致性校正

在阵列信号处理中，一般是多路传感器的信号经过一个多通道接收系统(h1(n)、h2(n)、…、hM(n))之后再进行阵列信号处理，系统模型如图9.3.4所示。为了保留在信号处理端多路传感器信号的原始信息，多通道接收系统的幅度和相位必须一致。然而在实际应用中，由于器件的不一致性等多种原因，多通道接收系统的幅度和相位必然存在着较大的

差异，因此需要进行多通道幅相一致性校正。图9.3.4阵列信号处理系统模型下面以两个通道为例，详细讲解信道校正过程。在信道校正时，设需要测量两个信道的频率响应分别为H1(ejω)和H2(ejω)，测量信号x(n)一分为二输入信道1、信道2后的输出

分别为y1(n)和y2(n)，如图9.3.5所示。图9.3.5测量系统频率响应时的输入、输出关系由于进入信道1和信道2的测量信号完全一致，由式(9.3.6)可得

(9.3.9)

实际测量时，每个频点测量信号的初始相位φ0是随机的，所以无法获得信道频率响应的准确值H1(k)和H2(k)。此时，以其中一个信道(如信道1)为基准，按下列两式计算：

(9.3.11)则Hc1(k)的相频响应为零，Hc2(k)的相频响应就是信道2相对于信道1的相位差，即θ2(ω)-θ1(ω)|ω=2πk/N,测量信号的初始相位φ0抵消掉了，而幅频响应仍为各信道幅频响应

的准确值。利用Hc1(k)和Hc2(k)中的幅度和相位信息，通过校正算法可使两信道幅相一致。如图9.3.6所示，设实际信号xs1(n)和xs2(n)经过校正后的信道输出分别为ys1(n)和ys2(n)，按照校正后两信道幅相一致的要求，校正系统z1(n)和z2(n)的频率响应应该满足条件

(9.3.12)

(9.3.13)

其中H(ejω)为预设系统h(n)的频率响应。图9.3.6带校正的信道输入输出关系由于测量时得到式(9.3.10)和式(9.3.11)所示结果，因此校正系统的频率响应取值为

(9.3.14)

(9.3.15)其中H(k)为h(n)的SFT在频率处的取值。因此，校正后的信道输出为

(9.3.16)

(9.3.17)

可以看出，校正后两个信道的幅相是一致的。按照以上方法，将式(9.3.7)列出的频率都测量一遍，并利用共轭对称关系构造未测量部分的值，由频率域采样法可得校正系统的单位脉冲响应为

z1(n)=IDFT［Z1(k)］

(9.3.18)

z2(n)=IDFT［Z2(k)］

(9.3.19)结合上述分析过程，信道校正的具体步骤如下:

(1)确定信号的采样点数及DFT点数N;

(2)根据N的奇偶按照式(9.3.7a)或式(9.3.7b)计算所需的频率ωi;

(3)构造该频率下的单频正弦信号x(n);

(4)将x(n)输入至图9.3.5所示系统，采集信道的输出分别作N点DFT;

(5)按照式(9.3.14)和式(9.3.15)计算Z1(m)、Z2(m);

(6)重复步骤(2)~(5)直至所有频率都计算完成;

(7)根据实系统频率响应的共轭对称性求出完整的Z1(k)、Z2(k)，并由式(9.3.18)和式(9.3.19)计算校正系统的单位脉冲响应。

需要说明的是，在上述测量过程中第一步确定N是非常关键的，它需要结合实际应用场合根据频率分辨率要求选择适合的点数。另外，N点输出y1(n)和y2(n)必须是系统稳定

以后的输出，否则测量结果不正确。下例是一个信道校正的Matlab实例。

【例9.3.2】设两个具有带通特性(通带位于［21kHz，29kHz］)的信道是线性时不变、稳定的实系统，它们的幅频响应和相频响应分别如图9.3.7(a)和图9.3.7(b)所示。为了仿真实际信号环境在测量信号中加入白噪声，使得信噪比为25dB，系统采样频率为100kHz。图9.3.7信道1和信道2的响应(a)幅频响应;(b)相频响应

解

Matlab程序如下：

clear；snr=25; %在测量信号中引入噪声，定义信噪比amp=2*10^(snr/20); %信号幅度

w=21000：200：29000;

%测量信号的一组频率，单位为Hz

Fs=100000;

%采样频率，单位为Hz

N=Fs/200;

%保证对测量信号进行DFT时频率对应整数k

k0=w(1)/Fs*N; %起始频率所对应DFT中的k

%idealchannel［bi1，ai1］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);［bi2，ai2］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);

bbi=conv(bi1，bi2);

bai=conv(ai1，ai2);

h=freqz(bbi，bai，w/Fs*2*pi);

%channel1［b1，a1］=ellip(2，1，50，［21900/(Fs/2)27900/(Fs/2)］);

［b2，a2］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);bb1=conv(b1，b2);

ba1=conv(a1，a2); %构造的信道1

h1=freqz(bb1，ba1，w/Fs*2*pi);

%channel2

［b1，a1］=ellip(2，1，50，［22500/(Fs/2)28500/(Fs/2)］

［b2，a2］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);bb2=conv(b1，b2);ba2=conv(a1，a2); %构造的信道2

h2=freqz(bb2，ba2，w/Fs*2*pi);

fori=1：length(w)

x=amp*cos(2*pi*w(i)/Fs*(0：1299)′+2*randn)+randn(1300，1);

%产生测量信号(附加随机初始相位)y1=filter(bb1，ba1，x); %获得系统输出信号

fy1=fft(y1(150：N+149)); %去除暂态

y2=filter(bb2，ba2，x); %获得系统输出信号

fy2=fft(y2(150：N+149)); %去除暂态

f1=2*fy1(k0+i)/(amp*N);

f2=2*fy2(k0+i)/(amp*N);

fc1(i)=h(i)/abs(f1);

fc2(i)=h(i)/(abs(f1)*f2/f1);

end%构造实的h(n)

hfc1(1：k0)=0;

hfc1(k0+1：k0+length(w))=fc1;

hfc1(k0+length(w)+1：N/2+1)=0;

hfc1(N/2+2：N)=conj(hfc1(N/2：-1：2));

%频率响应具有共轭对称性

hc1=real(ifft(hfc1)); %所得系统为实系统

hfc2(1：k0)=0;

hfc2(k0+1：k0+length(w))=fc2;

hfc2(k0+length(w)+1：N/2+1)=0;hfc2(N/2+2：N)=conj(hfc2(N/2：-1：2));

%频率响应具有共轭对称性

hc2=real(ifft(hfc2)); %所得系统为实系统

%信号过系统的校正效果

snr=15;

%实际信号的信噪比

amp=2*10^(snr/20); %信号幅度

w1=21047：47：28800; %实际信号的频率

%w1=w;

fori=1：length(w1)xs=amp*cos(2*pi*w1(i)/Fs*(0：1299)′+5*randn)+randn(1300，1);

xs1=filter(bb1，ba1，xs);

xs2=filter(bb2，ba2，xs);

ys1=filter(hc1，1，xs1(150：1100));

ys2=filter(hc2，1，xs2(150：1100));

ss1=hilbert(ys1(200：600));

ss2=hilbert(ys2(200：600));ea(i)=mean(20*log10(abs(ss2(150：250)))-20*log10(abs(ss1(150：250))));

ej(i)=mean(unwrap(angle(ss2(150：250)))-unwrap(angle(ss1(150：250))))/pi*180;

ifabs(abs(ej(i))-360)<10

ej(i)=ej(i)-sign(ej(i))*360;

end

end运行程序，结果如图9.3.8和图9.3.9所示。图9.3.8为两个原信道的幅度误差和相位误差。

图9.3.9为通过校正后的两个信道的幅度误差和相位误差。由图可见校正后，幅度误差在±0.15dB之内，相位在±1°之内。图9.3.8两个原信道的幅相差(a)幅度误差;(b)相位误差图9.3.9校正后两个信道的幅相差(a)幅度误差;(b)相位误差数字上、下变频指的是使用数字信号处理的方法将数字信号搬移到更高或更低的频率上，同时将数字信号的采样速率提高或降低。数字变频与模拟变频的最大区别在于，数字变频需要在频率搬移的同时改变采样速率，否则将不满足采样定理。9.4数字上、下变频器但是，数字变频和模拟变频在频率搬移时的处理却是相同的，都需要混频器和频率可调的振荡器，因此，在系

统组成上，数字变频器由乘法器、数字控制振荡器(NumericallyControlledOsillator，NCO)、内插单元或抽取单元组成，如图9.4.1和图9.4.2分别为数字上变频器和数字下变频器的基本组成原理框图。典型的数字上变频器(DigitalUpConverter，DUC)有AnalogDevices公司的AD9857和Intersil公司的ISL5215等，典型的数字下变频器(DigitalDownConverter，DDC)有AnalogDevices公司的AD6620和Intersil公司的ISL5216等。图9.4.1数字上变频器的组成图9.4.2数字下变频器的组成在图9.4.1和图9.4.2中，NCO的频率ω0必须是可随信号载频改变而改变的，并且图9.4.1和图9.4.2仅从原理上描述了信号在数字上、下变频器中的处理过程，实际的数字上、

下变频器在滤波器使用和实现结构上都有变化。例9.4.1和例9.4.2分别对数字上、下变频的原理进行仿真。9.4.1数字上、下变频原理的Matlab仿真

【例9.4.1】数字上变频器的原理框图如图9.4.1所示，设输入信号，其中f1=5kHz、Fs=50kHz，

且I=4、，f0=30kHz。

用Matlab画出框图中各功能模块输出信号的幅频特性。

解

Matlab程序如下:

closeall;clear;

Fs=50; %采样频率(kHz)

f1=5;

%信号频率(kHz)

f0=30;

%NCO的频率(kHz)

n=1024;

%样点数

x=exp(j*2*pi*f1/Fs*(0：n-1));

I=4;

%内插因子

y1=zeros(1，I*length(x));

y1(1：I：length(y1))=x; %内插后的序列

b=I*fir1(62，12/(Fs*I)); %设计通带截止频率为

π/I，增益为I的低通

y3=conv(b，y1);y2=y3(64：length(y3)-64);fy2=fft(y2);

y=y2.*exp(j*2*pi*f0/(I*Fs)*(0：length(y2)-1));fy=fft(y);程序中绘图部分略。运行程序，结果如图9.4.3所示。本例选择了有限脉冲响应滤波器，滤波后需要将暂态除去。图9.4.3例9.4.1数字上变频过程图例(a)原始信号及其频谱；(b)内插零后信号频谱;(c)低通滤波后信号的频谱；(d)数字上变频输出信号的频谱由图9.4.3(b)可以看出，原信号两个样点经过内插3(I-1)个零之后，采样频率提高了4(I)倍，内插后的信号通过增益为I，通带截止频率为π/I的低通滤波器之后，再将频率搬移到35kHz。

【例9.4.2】采用图9.4.4所示系统实现数字下变频并滤除指定频率处的信号。设输入信号

，其中载波f1=200kHz、调制频率fm=10kHz的调幅信号需要保留并搬至零中频，f2=500kHz的单频信号需要滤除，且Fs=4MHz，D=20，。

用Matlab画出框图中各功能模块输出信号的幅频特性。图9.4.4数字下变频及滤波

解

Matlab程序如下:

closeall;

clear;

Fs=4000; %采样频率(kHz)

fm=10;f1=200;f2=500; %信号的调制频率及载波

频率(kHz)

f0=f1; %NCO的频率

n=4096 %样点数

D=20; %抽取因子

x=((1+0.5*sin(2*pi*fm/Fs*(0：n-1))).*sin(2*pi*f1/Fs*(0：n-1))+0.4*sin(2*pi*f2/Fs*(0：n-1)));

fx=abs(fft(x));

nf=exp(-j*2*pi*f0/Fs*(0：n-1))；

x1=x.*nf; %数字下变频

fx1=abs(fft(x1));

cicb=5/D*ones(1，D);x2=conv(cicb，x1); %通过CIC数字低通滤波器

fx2=fft(x2(D：length(x2)-D)，n);

x3=x2(D：D：length(x2)-D); %去暂态并抽取

fx3=fft(x3);

b=fir1(31，20/50);x5=conv(b，x3);

x4=x5(32：length(x5)-32);

fx4=fft(x4);

程序中绘图部分略。运行程序，结果如图9.4.5所示。图9.4.5例9.4.2数字下变频过程图例(a)原始信号及其频谱；(b)搬频到零中频后的信号频谱；(c)过CIC滤波后的频谱(d)抽取后的频谱；(e)数字下变频输出信号的频谱例9.4.2中序列x(n)的采样速率由4MHz降低到200kHz，载波搬移到零中频，这样频率为500kHz的单频信号就落在带外，需要滤除。由于使用的CIC滤波器带外衰减不大，未能有效滤除该信号(如图9.4.5(d)所示)，增加一30阶的线性相位滤波器最终将该信号滤除(如图9.4.5(e)所示)。

在以上两例中，数字上变频在整数倍内插后使用滤波器滤出所需频带内的信号分量然后再将载频上移，而数字下变频则在载波频率移低之后、整数倍抽取前使用滤波器滤除引起频谱混叠的信号分量，实现这些频率选择功能的数字滤波器称为采样率转换滤波器。采样率转换滤波器可以利用第6章和第7章学习的滤波器设计知识设计出来。由于内插零之后或降采样频率之前，采样频率比较高，用一般低通滤波器不仅需要加法还需要大量的乘法，必然带来处理速度的压力，因此实际应用中常常使用级联积分梳状(CascadedIntegratorComb，CIC)滤波器和半带(HalfBand，HB)滤波器，以便取消乘法运算(如CIC滤波器)或减少乘法运算(如半带滤波器)。例如，AD6620中采用了CIC滤波器和一般的FIR滤波器，ISL5216采用了CIC滤波器、HB滤波器和一般的FIR滤波器。下面我们将讨论CIC滤波器和HB滤波器的实现方法和性能指标，然后再介绍几种常用数字上、下变频器的工作原理和参数设置。9.4.2CIC滤波器

CIC滤波器就是系数全为1的FIR数字滤波器，长度为D时，其单位脉冲响应为

h(n)=1，0≤n≤D-1

(9.4.1)

因此，根据FIR滤波器的横向滤波器结构，CIC滤波器对信号滤波时仅仅需要延时器和加法器(见图9.4.6)，尤其适合采用FPGA和专用集成电路来实现。图9.4.6CIC滤波器的直接实现方法对CIC滤波器的单位脉冲响应h(n)进行Z变换可以得到该系统的系统函数H(z)：

(9.4.2)

若将式(9.4.2)的分子看成某一子系统的系统函数H2(z)，其余部分作为另一子系统的系统函数H1(z)，则CIC滤波器是由H1(z)与H2(z)级联获得的，即

H(z)=H1(z)H2(z)其中，称为积分器；H2(z)=1-z-D称为梳状滤波器。因此，得出CIC滤波器的级联实现方法如图9.4.7所示。根据CIC滤波器的级联实现方法，如果将CIC滤波器用作整数倍抽取中的抗混叠滤波器，则图3.8.6可重画为图9.4.8。图9.4.7CIC滤波器的级联实现方法图9.4.8使用CIC滤波器的整数倍抽取实现框图设图9.4.8中系统的输入为x(n)，输出为y(n)，x(n)经积分器以后的输出为x1(n),且SFT［x(n)］=X(ejω)、SFT［x1(n)］=X1(ejω)、SFT［y(n)］=Y(ejω)、SFT［v(n)］=V(ejω),则当CIC滤波器的长度等于抽取因子D时，有

V(ejω)=X1(ejω)-X1(ejω)e-jωD

因此

(9.4.3)

由于，因此式(9.4.3)可写成

(9.4.4)由式(9.4.4)可知，对积分器的输出x1(n)先进行D倍抽取，再通过一个一阶的梳状滤波器同样可以获得输出y(n)，如图9.4.9所示。按照图9.4.9所示的实现过程，D倍抽取由积分级、抽取级和梳状级级联而成，整个流程仅需要两个延时器、两个加法器和一个D倍抽取单元，资源耗费少、运算效率高，很多数字下变频芯片都采用了这种结构来实现抽取。图9.4.9使用CIC滤波器的整数倍抽取快速实现框图然而，单级CIC滤波器的带外衰减较小，一般难以满足实际滤波要求。对式(9.4.1)所示的h(n)进行序列傅里叶变换可得单级CIC滤波器的频率响应H(ejω):

(9.4.5)由于H(ejω)以2π为周期，在一个周期-π≤ω≤π内，当ω=0时，|H(ejω)|取得最大值D，将内的曲线称为主瓣;当

取值为零，将主瓣以外相邻零点界定的曲线称为副瓣。由于主瓣电平最大，且随着副瓣离主瓣距离的增加，副瓣电平逐渐减小，因此h(n)可作为低通滤波器，并且其广义相频响应θ(ω)是线性相位的，如图9.4.10所示。图9.4.10D=8时CIC滤波器的频率响应(a)幅频响应;(b)相频响应根据第5章滤波器概论中的知识，滤波器的阻带最小衰减αs通过式(5.3.3)计算，若以为通带截止频率，

阻带起始频率，则Amax=D，As可计算如下：

当D>>1时，。所以

(9.4.6)

可见，单级CIC滤波器的阻带最小衰减αs与阶数无关，近似为常数13.46dB，为了进一步降低副瓣电平，提高阻带衰减，实际中经常采用多级CIC滤波器级联的方法，如图9.4.11所示。图9.4.11级联CIC滤波器的整数倍抽取实现框图设图9.4.11中共有N级CIC滤波器级联，则系统的幅频响应为

(9.4.7)

所以，N级级联CIC滤波器的阻带最小衰减αs可达到

(9.4.8)是单级CIC滤波器的N倍，例如5级级联CIC滤波器的阻带衰减有67dB左右，基本满足实际要求。

通过以上的分析有一点需要明确，即D倍抽取系统中CIC滤波器的长度是D，因此N级级联CIC滤波器中每一级的长度也都等于抽取因子D，只有这样才能使用图9.4.11所示的运算结构。并且，N级级联CIC滤波器具有处理增益DN，随着级数N的增多和抽取因子D的增大，处理增益DN也越大。所以，在用软件或硬件实现时，常常会将式(9.4.1)中h(n)的系数除以D，使得每一级都保留足够的运算精度以防止溢出。图9.4.12画出了D=8的CIC滤波器5级级联后的幅频响应。图9.4.12

5级级联CIC滤波器的幅频响应当CIC滤波器作为D倍抽取滤波器时，以图9.4.12所示滤波器(N=5、D=8)为例，频谱混叠情况如图9.4.13所示，图中的横坐标为降采样频率之前的数字角频率。当

(D倍抽取后的主值区间)时,与虚线所示H(ejω)混叠的主要有H(ej(ω-2π/D))(幅度大的实线)以及H(ej(ω-4π/D))(幅度小的实线)，其他频移分量由于电平小可以忽略。由图9.4.13可以看出,并非所有信号都适合以该滤波器作为D倍抽取滤波器，例如当信号的数字角频率0≤ω≤0.1π时，由于0.05π≤ω≤0.1π内滤波器对需要的频率成分衰减过大，对混叠的频率成分抑制不够，抽取后信号损失会很大。因此，使用CIC滤波器时，对不同带宽的信

号常引入带宽比例因子b，根据频谱混叠情况，并结合信号带宽内的最大衰减和对混叠的最小抑制指标，来选择抽取倍数D及级联数N。图9.4.13

5级级联CIC滤波器的频谱混叠设信号的绝对带宽为B，降采样频率之前的采样频率为Fs，则带宽比例因子为

(9.4.9)

在图9.4.13中，为了保证抽取后不损失信号信息，要求对信号的最大衰减小于3dB，对混叠的最小抑制大于70dB，则信号的数字角频率0≤ω≤0.05π，此时信号带宽B=0.025Fs、D=8，按式(9.4.9)计算可得带宽比例因子b=0.2。一般地，当以N及D表示某抽取用CIC滤波器(系数对D进行归一化)时，设信号的数字角频率(未降采样频率)为0≤ω≤ω1，则混叠频率为，因此

该滤波器对信号的最大衰减δ1及对混叠的最小抑制δ2分别发生在ω1和处。若,则δ1和δ2计算如下：

(9.4.10)

(9.4.11)当b1，D<<1时，，

δ2≈-N·20lgb。可见，在使用CIC滤波器时，信号的带宽比例因子b越小，就能获得更小的信号衰减和更大的混叠抑制。根据式(9.4.9)可知，当信号绝对带宽B一定时，采用较小的抽取倍数D或者提高采样频率Fs都可以减小b。此外，增大CIC滤波器的级联数N虽然可以增大对混叠的抑制δ2，但同时也增大了对信号的衰减δ1，所以N一般不大于5。另外，CIC滤波器也可以作为整数倍内插之后的滤波器，与整数倍抽取的实现过程相对应。整数倍内插CIC滤波器的结构是N个梳状级、内插级和N个积分级的级联，如图9.4.14所示。图9.4.14级联CIC滤波器的整数倍内插实现框图9.4.3HB滤波器

除CIC滤波器外，半带(HB)滤波器也是一种运算效率高、实时性强且具有线性相位的FIR滤波器，特别适合2M倍(M为整数)的抽取或内插。

设理想半带滤波器的频率响应Hd(ejω)如图9.4.15所示，图中ωp为通带截止频率，ωs为阻带起始频率，Hd(ejω)为实偶函数，即

Hd(ejω)=Hd(e-jω)

(9.4.12)另外，Hd(ejω)还满足

Hd(ejω)=1-Hd(ej(π-ω))(9.4.13)

ωp=π-ωs

(9.4.14)

δp=δs

(9.4.15)

其中，δp为通带波纹，δs为阻带波纹，由此可得如图9.4.16所示。图9.4.15理想半带滤波器的频率响应图9.4.16理想半带滤波器频率响应的性质对式(9.4.12)和式(9.4.13)进行序列傅里叶反变换，则理想半带滤波器的单位脉冲响应hd(n)满足条件

hd(n)+(-1)nhd(-n)=δ(n)

(9.4.16)

hd(n)=hd(-n)

(9.4.17)按照式(9.4.16)，根据n的奇偶分情况讨论，可得

结合式(9.4.17)，则半带滤波器的单位脉冲响应为

(9.4.18)所以，理想半带滤波器的单位脉冲响应hd(n)是关于n=0偶对称的无限长非因果序列，且只在n=0和n为奇数时有非零值。用6.3节介绍的窗函数法，根据滤波器指标设计实际的h(n)，若所得实际滤波器的长度为N，那么该滤波器的系数是关于偶对称的，为第一类线性相位FIR滤波器。

例如ISL5216中提供了一个N=7的半带滤波器HB1的系数：h(0)=-0.031303406，

h(1)=0.0，h(2)=0.281280518，h(3)=0.499954224，h(4)=0.281280518，h(5)=0.0，h(6)=-0.031303406。显然，h(n)关于n=3偶对称，且当n=1和5时

h(n)=0，该滤波器的频率响应如图9.4.17所示。

若将半带滤波器h(n)作为2倍抽取的抗混叠滤波器，则抽取系统的实现框图如图9.4.18所示。

图9.4.17

N=7时半带滤波器的频率响应(a)幅频响应;(b)相频响应图9.4.18使用半带滤波器的整数倍抽取实现框图设系统的输入为x(n)，输出为y(n)，x(n)经过半带滤波器后的输出为x1(n)，且

(9.4.20)(9.4.19)以ISL5216中的HB1为例，虽然其频率响应H(ejω)不满足图9.4.19中2倍抽取理想滤波器的频率响应要求，但当它作为2倍抽取滤波器时，频谱混叠情况如图9.4.20所示，图中横坐标为降采样频率之前的数字角频率。虽然图中区间实线部分H(ej(ω-π))与虚线部分H(ejω)发生了混叠，但是如果信号x(n)的频率分量均位于［0，ωp］内，若ωp≤0.1π则由图9.4.20可知造成混叠的频率成分会被衰减50dB以上，因此将x(n)2倍抽取后还可以正确表示原信号。若x(n)的带宽更宽，则用HB1作为2倍抽取滤波器的效果就不好，必须选择其他阶数更高的半带滤波器。图9.4.192倍抽取理想滤波器的频率响应图9.4.20半带滤波器的频谱混叠9.4.4典型数字上、下变频芯片功能介绍及参数设置

以上讨论的都是D倍抽取或I倍内插一次完成的情