鲁教版七年级数学上册专项素养综合练(一)三角形全等的四种常见类型练方法课件

专项素养综合练(一)三角形全等的四种常见类型类型一四边形中构造全等三角形1.如图,在四边形ABCD中,CB⊥AB于点B,CD⊥AD于点D,

点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.(1)若AE=8,CD=6,求四边形AECF的面积.(2)猜想∠DAB,∠ECF,∠DFC三者之间的数量关系,并证明

你的猜想.解析

(1)如图,连接AC,

在△ACE和△ACF中,

∴△ACE≌△ACF(SSS),∴S△ACE=S△ACF,∠FAC=∠EAC.易证△ACD≌△ACB,∴CB=CD=6,∴S△ACF=S△ACE=

AE·CB=

×8×6=24,∴S四边形AECF=S△ACF+S△ACE=24+24=48.(2)∠DAB+∠ECF=2∠DFC.证明:∵△ACE≌△ACF,∴∠FCA=∠ECA,∠FAC=∠EAC,∠AFC=∠AEC.∵∠DFC与∠AFC互补,∠BEC与∠AEC互补,∴∠DFC=∠BEC.∵∠AFC+∠DFC=∠FAC+∠FCA+∠AFC,∠BEC+∠AEC=

∠EAC+∠ECA+∠AEC,∴∠DFC=∠FCA+∠FAC,∠BEC=∠ECA+∠EAC,∴∠DFC+∠BEC=∠FCA+∠FAC+∠ECA+∠EAC=∠DAB+∠ECF,∴∠DAB+∠ECF=2∠DFC.类型二一线三等角模型2.(1)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥MN,AD⊥MN,垂足分别

为E、D.图中哪条线段与AD相等?并说明理由.(2)在(1)的情况下,线段DE、AD、BE具有怎样的数量关系?

请写出来,并说明理由.解析

(1)EC=AD.理由如下:∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∴∠DAC=∠ECB,∵∠ADC=∠CEB,AC=CB,∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC.(2)DE+BE=AD.理由如下:由(1)得△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=EB,∴CE=CD+DE=BE+DE=AD,即DE+BE=AD.3.【探究】如图①,点B、C在∠MAN的边AM、AN上,点E、F

在∠MAN内部的射线AD上.若AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证:

△ABE≌△CAF.【应用】如图②,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC,点D

在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC,

若△ABC的面积为9,则△ABE与△CDF的面积之和为

.解析【探究】证明:∵∠1+∠AEB=∠EAB+∠EBA+∠AEB,∴∠1=∠BAE+∠ABE,∵∠BAC=∠CAF+∠BAE,∠BAC=∠1,∴∠ABE=∠CAF,∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠CFA,在△ABE和△CAF中,

∴△ABE≌△CAF(AAS).【应用】易证△ABE≌△CAF,∴S△ABE=S△CAF,∴S△ABE+S△CDF=S△CAF+S△CDF=S△ACD,∵CD=2BD,△ABC的面积为9,∴S△ACD=

S△ABC=6,∴△ABE与△CDF的面积之和为6.4.(2023江苏南京秦淮外国语学校月考)在△ABC中,AB=AC,

D,A,E三点都在直线m上,且DE=9cm,∠BDA=∠AEC=∠

BAC.(1)如图①,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为

,CE

与AD的数量关系为

.(2)如图②,判断并说明线段BD,CE与DE的数量关系.(3)如图③,若只保持D,A,E三点在直线m上,∠BDA=∠AEC,

DE=9cm,增加条件:BD=EF=7cm,点A在线段DE上以2cm/s

的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为ts.是否存在某一时

刻,使△ABD与△EAC全等?若存在,求出相应的t和x的值;若

不存在,请说明理由.

图①

图②

图③

解析

(1)∵∠BDA=∠BAC,∴180°-∠BDA=180°-∠BAC,∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE,∴∠ABD=∠CAE,又∵∠BDA=∠AEC,BA=AC,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD.故答案为BD=AE;CE=AD.(2)DE=BD+CE.理由:易证△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,∴DE=AE+AD=BD+CE.(3)存在.当△DAB≌△ECA时,AD=CE=2tcm,BD=AE=7cm,∵DE=9cm,∴2t+7=9,∴t=1,此时CE=2cm,∴x=2.当△DAB≌△EAC时,AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,∴t=

=

,x=7÷

=

.综上,当△ABD与△EAC全等时,t=1,x=2或t=

,x=

.类型三倍长中线模型5.如图,BD是△ABC的中线,AB=10,BC=6,求中线BD的取值范

围.

解析如图,延长BD至E,使DE=BD,连接CE,∵BD是△ABC的中线,∴AD=DC,在△ABD和△CED中,

∴△ABD≌△CED(SAS),∴EC=AB=10,在△BCE中,CE-BC<BE<CE+BC,即10-6<BE<10+6,∴4<BE<16,∴4<2BD<16,∴2<BD<8.类型四手拉手模型6.如图,AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠EAD.(1)求证:△AEC≌△ADB.(2)若∠CAB=∠EAD=90°,试判断BD与CE的数量及位置关系

并证明.

解析

(1)证明:∵∠CAB=∠EAD,∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE,∴∠CAE=∠BAD,在△AEC和△ADB中,

∴△AEC≌△ADB(SAS).(2)CE=BD且CE⊥BD.证明:如图,将直线CE与AB的交点记为O,由(1)可知△AEC≌△ADB,∴CE=BD,∠ACE=∠ABD,∵∠BOF=∠AOC,∠CAB=90°,∴∠BFO=90°,∴CE⊥BD.

7.问题发现:如图①,已知C为线段AB上一点,分别以线段AC,

BC为直角边作等腰直角三角形,∠ACD=90°,CA=CD,CB=CE,

连接AE,BD,线段AE,BD之间的数量关系为

,位置关

系为

.拓展探究:如图②,把Rt△ACD绕点C逆时针旋转,线段AE,BD

交于点F,则AE与BD之间的关系是否仍然成立?请说明理由.解析问题发现:如图,延长BD,交AE于点F,

易知∠ACE=∠DCB=90°,∵CA=CD,CB=CE,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CDB,∵∠CDB+∠CBD=90°,∴∠CAE+∠CBD=90°,∴∠AFD=90°,∴AF⊥FB,∴AE⊥BD.故答案为AE=BD;AE⊥BD.拓展探究:成立.理由如下:如图,设CE与BD相交于