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专项素养综合练(三)利用轴对称解决最短路径问题常见的三种类型类型一“两点一线”型1.(2023山东烟台招远期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE

是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点.下列线段的长等

于BP+EP的最小值的是

(

)

A.CE

B.AD

C.AC

D.BCA解析如图,连接PC,∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥

BC,∴PB=PC,∴PB+PE=PC+PE,∵PE+PC≥CE,∴P、C、E

三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长,故选A.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AD是

∠BAC的平分线.若点P,Q分别是AD和AC上的动点,求PC+

PQ的最小值.

解析如图,过点C作AB的垂线,交AB于点M,交AD于点P,过

点P作PQ⊥AC于点Q.因为AD是∠BAC的平分线,所以PQ=PM,即PC+PQ=PC+PM=CM.故PC+PQ的最小值为CM的长.由三角形的面积公式可知

BC·AC=

AB·CM,所以CM=

=

=

.故PC+PQ的最小值为

.类型二“一点两线”型3.如图,已知点A是锐角∠MON内一点,试分别在OM,ON上确

定点B,点C,使△ABC的周长最小.写出作图的主要步骤并标

明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图痕迹)

解析如图,作点A关于OM的对称点A',作点A关于ON的对称

点A″,连接A'A″,交OM,ON于点B,点C,则点B,点C即为所求,

连接AB,AC,此时△ABC的周长最小.

4.某中学七(2)班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(图中的AO,

BO),AO桌面上摆满了沃柑,OB桌面上摆满了糖果,站在C处

的学生小明先拿沃柑再拿糖果,然后回到C处,请你在图中帮

助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.

解析

如图,分别作点C关于OA、OB的对称点M、N,连接MN,交OA于D,交OB于E,则C→D→E→C,即C→O→C为设计的行走路线.

类型三“两点两线”型5.如图,在长方形ABCD的边BC上有线段PQ,当PQ在边BC上

的什么位置时,四边形APQD的周长最小?请画出图形并说明

理由.

解析如图,把点A沿AD方向平移PQ的长度至点A',延长DC,

使D'C=DC,连接A'D',交BC于点Q',在线段BQ'上截取P'Q'=

PQ,则当线段PQ在边BC上的P'Q'的位置时,四边形APQD的

周长最小.

理由:连接AP',DQ',易知AP'=A'Q',由作图知此时AP'+DQ

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