中考数学一轮复习：多边形（解析版）

专题18多边形

【知识要点】

多边形的相关知识：

在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内

角。多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

/

一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为(n-3)条，其所有的对角线条数为吧—

凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多

边形就是凸多边形。

正多边形：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。(两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三

角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立)

多边形的内角和

n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n2)180°

n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°,与多边形的形状和边数无关。

【考查题型】

考查题型一多边形截角后的边数问题

【解题思路】多边形减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点：则少了一条边：经过一个顶点和一

边：边数不变：经过两条邻边：边数增加一条.

典例L(云南昭通市模拟)把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多

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边形纸片的边数不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】A

【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（nT）边形.故当剪去一

个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能

是16边形.

故选A.

变式1T.（宁波市一模）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这

张纸片原来的形状不可能是（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【答案】A

【解析】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五

边形，不可能是六边形.

故选A.

考查题型二计算多边形的周长

【解题思路】考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式

典例2.（隆化县模拟）下列图形中，周长不是32m的图形是（）

【答案】B

【提示】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可.

【详解】

A.L=（6+10）X2=32其周长为32.

B.该平行四边形的一边长为10,另一边长大于6,故其周长大于32.

C.L=（6+10）X2=32其周长为32.

D.L=（6+10）X2=32其周长为32.

采用排除法即可选出B

故选B.

变式2-1.（海南中考模拟）如图：DABCD纸片，：A=120°：AB4：BC=5,剪掉两个角后，得到六边形

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AEFCGH，它的每个内角都是120°,且EFE：HG=2：则这个六边形的周长为（）

A.12B.15C.16D.18

【答案】B

【解析】如图，分别作直线AB：BC：HG的延长线和反向延长线使它们交于点B：Q：P.

P

•••六边形ABCDEF的六个角都是120°：

二六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.

AZ^PH：NEF：NHG：NQG都是等边三角形.

.,.EF=BE=BF=1：DG=HG=HD=2.

；.FC=5T=4：AH=5-2=3：CG=CD-DG=42=2.

.•.六边形的周长为1+3+3+2+2+4=15.

故选B.

考查题型三计算网格中的多边形面积

【解题思路】利用分割法即可解决问题

典例3.（辽宁葫芦岛市模拟）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为

（）

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B.10

【答案】A

【提示】利用分割法即可解决问题.

【详解】解：S四迪取ABCD=3X4--X2X1X2^XlX3)^a2-5=7,故选：A.

变式3-1.（山东烟台市模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中，4ABC的三个顶点均在格点上，若向

正方形网格中投针，落在4ABC内部的概率是（）

【答案】D

【提示】用正方形的面积减去四个易求得三角形的面积，即可确定4ABC面积，用aABC面积除以正方

形的面积即可.

【详解】解：正方形的面积=4X4=16,

三角形ABC的面积=16143142^21=5,

5

所以落在4ABC内部的概率是汴，

故选D.

变式3-2.（江西九年级零模）如图，在边长为1的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶

点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为s,s,S,S，下列说法正确

1234

的是（）

A.S=SB.SSC.SSSD.SSS

4/16

【答案】B

【提示】根据题意判断格点多边形的面积，依次将s,、S、S、S计算出来，再找到等量关系.

1234

【详解】观察图形可得S]2.5,S.3,S33,S46,

SS,SS6S,

23234

故选：B.

考查题型四计算多边形对角线条数

【解题思路】熟记n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解答此题的关键.

典例4.（山东济南市中考真题）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180。，则该多边形的对角线的

条数是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【解析】解：根据题意，得：：n：2：-180=360°X2+I8解得：n=7：

7（73）

则这个多边形的边数是7,七边形的对角线条数为一--=14：故选C：

变式4T.（山东济南市中考模拟）若凸n边形的每个外角都是36。，则从一个顶点出发引的对角线条数是

（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】360°+36。=10,103=7.故从一个顶点出发引的对角线条数是7.

故选：B.

变式4-2.（莆田市二模）从n边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则n（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【提示】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=8,求出n的值即可.

【详解】解：由题意得：n-3=8,解得n=ll,故选：D.

变式4-3.（湖南长沙市模拟）已知一个正n边形的每个内角为120。，则这个多边形的对角线有（）

A.5条B.6条C.8条D.9条

【答案】D

【提示】多边形的每一个内角都等于120。，则每个外角是60°,而任何多边形的外角是360。，则求得

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多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线=11-3,即可求得对角线的条数.

【详解】解：•••多边形的每一个内角都等于120。，

,每个外角是60度，

则多边形的边数为360。+60。=6,

则该多边形有6个顶点，

则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6-3=3条.

这个多边形的对角线有：（6X3）=9条，

故选：D.

变式4-4.（广东茂名市中考模拟）若一个多边形从同一个顶点出发可以作5条对角线，则这个多边形的边

数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【提示】可根据n边形从一个顶点引出的对角线有n-3条，即可求解.

【详解】

解：设这个多边形的边数为n,则n-3=5,解得n=8,

故这个多边形的边数为8,故选：C.

变式4-5.（河北模拟）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多

边形是（）

A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形

【答案】D

【提示】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值.

【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7,

解得：n=9,即这个多边形是九边形，故选:D：

考查题型五多边形内角和问题

【解题思路】考查多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式.

典例5.（山东济宁市中考真题）如图，在五边形ABCDE中，ZA+ZB+ZE=300°,DP,CP分别平分/EDC、

/BCD,则/P的度数是（）

6/16

E

A.60°B.65°C.55°D.50°

【答案】A

【解析】根据五边形的内角和等于540°,由：A+：B+：E=300°,可求：BCD+：CDE的度数，再根据角平

分线的定义可得：PDC与：PCD的角度和，进一步求得：P的度数.

解：：五边形的内角和等于540°,：A+：B+：E=300°,

：：BCD+：CDE=540°-300°=240,°

：：BCD、：CDE的平分线在五边形内相交于点0,

：：PDC+：PCD=-(:BCD+：CDE)=120°,

2

：：P=180°-120°=60.°

故选A.

变式5-1.(甘肃庆阳市中考真题)如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是().

A.180°B.360°C.540°D.720°

【答案】C

【提示】根据多边形内角和公式02)180即可求出结果.

【详解】解：黑色正五边形的内角和为：(52)180540，故选C.

变式5-2.(湖南湘西土家族苗族自治州中考真题)已知一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形是

()

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【答案】D

【提示】根据多边形的内角和=(n-2)-180°,列方程可求解.

【详解】设所求多边形边数为n,(n-2)•1800=1080°,

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解得n=8.故选D.

考查题型六正多边形内角和问题

【解题思路】掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键

典例6.（湖南怀化市中考真题）若一个多边形的内角和为1080。，则这个多边形的边数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【提示】设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180°（n-2）,即可得方程180（n-2）

=1080,

解此方程即可求得答案：n=8.故选C.

变式6-1.（湖北宜昌市中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到

起点，要求每走完一段直路后向右边偏行.成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）.

A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B.每段直路要短

C.每走完一段直路后沿向右偏108。方向行走D.每段直路要长

【答案】A

【提示】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题.

【详解】根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，

:正五边形的每个内角的度数为：'少I'。

5108

它的邻补角的度数为：180。-108°=72。

因此，每走完一段直路后沿向右偏72。方向行走，

故选：A.

变式6-2.（河北中考真题）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n.

【答案】12

【提示】先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°,进而得到其内角为120。，再求出正n边形的外角

为30°,再根据外角和定理即可求解.

【详解】解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°4-6=60°

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故正六边形的内角为180°-60°=120。

又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，

：正n边形的外角为30°,

：正n边形的边数为：360°4-30°=12

故答案为：12.

变式6-3.（福建中考真题）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC等于

_______度.

【答案】30

【提示】先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到/ACB的度数，根据直角

三角形的两个锐角互余即可求解.

【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，

可得BD=AC,BC=AF,

/.CD=CF,

同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，

62180120,

6

・・・N2=180°-120°=6。°

ZABC=30°,

故答案为：30.

考查题型七截角后的内角和问题

【解题思路】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少

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一个是解决本题的关键.

典例7.（五莲县一模）一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）

A.360°B.540°

C.180°或360°D.540°或360°或180°

【答案】D

【提示】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一

个，根据多边形的内角和定理即可求解.，

【详解】

n边形的内角和是（n-2）780。，

边数增加1,则新的多边形的内角和是（4+1-2）X180。=540°,

所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）X180。=360°,

所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）X180。=180°,

因而所成的新多边形的内角和是540。或360。或180。，

故选D.

变式7-1.（河北九年级其他模拟）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520。，则原

多边形的边数是（）

A.17B.16C.15D.16或15或17

【答案】D

【详解】多边形的内角和可以表示成n2180（n3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边

形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，

根据n21802520。，解得：n=16,

则多边形的边数是15,16,17.

故选D.

变式7-2.（贵州铜仁市九年级零模）一个多边形切去一个角后得到的另一个多边形的内角和为900,那

么原多边形的边数为（）

A.6或7或8B.6或7C.7或8D.7

【答案】A

【提示】首先求得内角和为900。的多边形的边数，即可确定原多边形的边数.

【详解】解：设内角和为900。的多边形的边数是n,则（n-2）-180°=90Q°

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解得：n=7,

如图，有如下几种切法,

则原多边形的边数为6或7或8.

故选：A.

考查题型八正多边形的外角问题

【解题思路】解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度.

典例8.（江苏无锡市中考真题）正十边形的每一个外角的度数为（）

A.36B.30°C.144D.150

【答案】A

【提示】利用多边形的外角性质计算即可求出值.

【详解】

解：360°+10=36°,故选:A.

变式8-1.（江苏扬州市中考真题）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45后又沿

直线前进10米到达点C,再向左转45后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到

出发点A时所走的路程为（）

A.100米B.80米C.60米D.40米

【答案】B

【提示】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360。除以45。求出边数，然后再乘以10米即可.

【详解】解：•••小明每次都是沿直线前进10米后再向左转45,

他走过的图形是正多边形，边数n=360°+45°=8

二小明第一次回到出发点A时所走的路程=8X10=8咪.

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故选：B.

变式8-2.（湖南娄底市中考真题）正多边形的一个外角为60。，则这个多边形的边数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【提示】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数.

【详解】解：正多边形的一个外角等于60。，且外角和为360。，则这个正多边形的边数是：3600+60。，=6

故选：B.

考查题型九多边形外角和的实际应用

【解题思路】

典例9.（湖北黄冈市中考真题）如果一个多边形的每一个外角都是36。，那么这个多边形的边数是

（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【提示】根据多边形的外角的性质，边数等于360。除以每一个外角的度数.

【详解】•••一个多边形的每个外角都是36°,；.n=360°+36。=10.故选D.

变式9T.（山东德州市中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45。，再沿直线前进

8米，又向左转45°•…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）

A.80米B.96米C.64米D.48米

【答案】C

【提示】根据多边形的外角和即可求出答案.

【详解】解：根据题意可知，他需要转360+45=欹才会回到原点，所以一共走了8X8=6眯.故选：C

考查题型十多边形内角和与外角和的综合应用

【解题思路】熟悉多边形的内角和公式：n边形的内角和是（n-2）X180r多边形的外角和是360度.

典例10.（西藏中考真题）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

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【提示】利用多边形的内角和公式及外角和定理列方程即可解决问题.

【详解】设这个多边形的边数是n,则有（n-2）X180°=360°,X4

所有n=10.故选C.

变式10T.（陆丰市模拟）一个正多边形的内角和为540。，则这个正多边形的每一个外角等于（：

A.108°B.90°C.72°D.60°

【答案】C

【提示】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540,即可求得n=5,再由多边形的外角和

等于360。，即可求得答案.

【详解】解：设此多边形为n边形，

根据题意得：180（n-2）=540,解得：n=5,

360

,这个正多边形的每一个外角等于：7-=72°.故选C.

变式10-2.（中江县模拟）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：

1,这个多边形的边数是（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】A

【解析】

试题提示：设这个多边形的外角为x。，则内角为3x。，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程

x+3x=180,解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数.

解：设这个多边形的外角为x。，则内角为3x。，

由题意得:x+3x=180,

解得x=45,

这个多边形的边数：360°+45°,=8

故选A.

变式10-3.（西宁市模拟）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180。，这个多边形的边数是

（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】解：设这个多边形的边数是n：根据题意得：：n-2：-1800=2X360°+180°：故造&

考查题型十一平面镶嵌

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【解题思路】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周

角：

典例11.下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

【答案】C

【提示】由镶嵌的条件知：在一个顶点处各个内角和为360°：

【详解】：正三角形的内角=180°+3=60°：360°+6即9位正三角形可以铺满地面一个点：.•.正三角形

可以铺满地面：

•••正方形的内角=360°+4=90°：360°+9即生伞正方形可以铺满地面一个点：.•.正方形可以铺满地面：

•.•正五边形的内角=180°：360°+5=108°：360°+108.。正蛋逑形不能铺满地面：

•••正六边形的内角=180°：360°4-6=120°：360°+即个距六边形可以铺满地面一个点：，正六边形可

以铺满地面：

故选C：

变式H-1小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可用是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

【答案】C

【提示】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构

成周角，若能构成360,则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.

【详解】

解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图

案，

所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形.

故选：C

变式11-2.能够铺满地面的正多边形组合是（）

A.正六边形和正方形B.正五边形和正八边形

C.正方形和正八边形D.正三角形和正十边形

【答案】C

【解析】

A、正六边形的每个内角是120°,正方形的每个内角是90°,120m+90n=360°,显然n取任何正整数时，m

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不能得正整数，故不能铺满；

B、正五边形每个内角是180°-360°+5=10旺八边形每个内角为135度，135m+108n=360°,显然n取任

何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；

C、正方形的每个内角为90。，正八边形的每个内角为135。，两个正八边形和一个正方形刚好能铺