中考数学压轴题之二次函数（中考题型-突破提升）及详细答案

中考数学压轴题之二次函数（中考题型整理，突破提升）及详细答案

一、二次函数

1.如图，已知直线丫=—一6与抛物线丫=2*2+6*+©相交于A,B两点，且点A（1,-

4）为抛物线的顶点，点B在X轴上。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且AABQ为直角三角形，求点Q的坐标。

【答案】解：（1）y=x2—2x—3；（2）存在，P（Ml,巫U）；（3）Q点坐标

22

73

为（0,一）或（0,-）或（0,-1）或（0,-3）.

22

【解析】

【分析】

（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的

顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.

（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在APOB和△POC中，已知的条件是公共边

0P,若0B与0C不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若0B等于0C,那么

还要满足的条件为：ZPOC=ZPOB,各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限

的角平分线上，联立直线丫=、与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点

P在第二象限的限定条件.

（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线

段成比例进行求解即可.

【详解】

解：（1）把八（1,-4）代入y=kx-6,得k=2,

y=2x-6,

令y=o,解得：x=3,

B的坐标是（3,0）.

A为顶点，

•••设抛物线的解析为y=a（x-1）2-4,

把B(3,0)代入得：4a-4=0,

解得a=l,

y=(x-1)2-4=x2-2x-3.

(2)存在.

OB=OC=3,OP=OP,

当NPOB=ZPOC时，△POBm△POC,

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-X.

设P(m,-m),贝卜m=m2-2m-3,解得(m=>0,舍)，

22

22

(3)①如图，当NQ/B=90。时，ADAQi-△DOB,

・任一丝即逐一也

.n0-l

ODDB63V52

77

OQi=-,即Q(0,--)；

22

②如图，当N。284=90。时，△80Q2s△DOB,

,OB_OQ2叩3_0。2

ODOB63

33

/.00.2=一,即Q2(0,一)；

22

③如图，当N4238=90。时，作AE_Ly轴于E,

经*3

,好4-OQ31

/.OQ32-4OQ3+3=0,OQ3=1或3,

即Q3(0,-1),Q4(0,-3).

73

综上，Q点坐标为(0,--)或(0,—)或(0,-1)或(0,-3).

22

2.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于

点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P,使APBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N

从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达

点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，AlVINB面积最大，试求出最

大面积.

【答案】(1)二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；(2)点P的坐标为：(0,3+3正)或

(0,3-3&)或(0,-3)或(0,0)；(3)当点M出发1秒到达D点时，△MNB面

积最大，最大面积是L此时点N在对称轴上X轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴

下方2个单位处.

【解析】

【分析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表

达式；

(2)先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种

情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；

(3)设AM=t^ljDN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解

2

析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N

在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上X轴下方2个单位处.

【详解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,

l+Z?+c=0

[c=3

解得：b=-4,c=3,

,二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,则x2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

B(3,0),

BC=3yj2>

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时，PC=372>,OP=OC+PC=3+30或OP=PC-0C=3血-3

夜)；

•Pi(0,3+3&)，P2(0,3-3

②当PB=PC时，OP=OB=3,

•P3(0,-3)；

③当BP=BC时，

OC=OB=3

•此时P与O重合，

P4(0,0)；

综上所述，点P的坐标为：(0,3+3及)或(0,3-372)或(-3,0)或(0,0)；

SAMNB=—x(2-t)x2t=-t2+2t=-(t-1)2+l,

2

当点M出发1秒到达D点时，AMNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上x

轴上方2个单位处或点N在对称轴上X轴下方2个单位处.

3.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+n与x轴、y轴分别交于

B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(awO)过C、B两点，交x轴于另一点A,连接AC,且

tanZCA0=3.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H,交抛物线于Q,设P点横坐

标为t,线段PQ的长为d,求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值

范围；

⑶在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e,已知d,e是以y为未知数的一元二

次方程：y2—(m+3)y+L(5m2—2m+13)="0"(m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连

4

接MQ、MH、PM,且.MP平分NQMH,求出t值及点M的坐标.

.田=—厂+3/(。</<3)

【答案】⑴y=-x2+2x+3；(2){,(3)t=l,(1+72，2)和(1—血，

d=t2-3t(t>3)

2).

【解析】

【分析】

(1)当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3(a-0)就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得

出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求

出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结

论；

(2)分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点

的坐标为(t,-t+3),Q点的坐标为(t,-t2+2t+3),就可以得出d与t之间的函数关系式

而得出结论；

(3)根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延

长MP至L,使LP=MP,连接LQ、LH,如图2,延长MP至L,使LP=MP,连接LQ、LH,

就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就

可以求出结论.

【详解】

(1)当x=0,则y=-x+n=O+n=n,y=ax2+bx+3=3,

OC=3=n.

当y=o,

-x+3=0,x=3=OB,

/.B(3,0).

OC3

在AAOC中，ZAOC=90°,tanZCAO=——=——=3o,

OAOA

OA=1,

A(-1,0).

将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3,

得

9a+3b+3—0

^a—b+3-0'

a=-1

解得：一

•抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；

⑵如图1，

4Ogm\"x

II

(如图D

P点的横坐标为t且PQ垂直于x轴P点的坐标为(t,-t+3),

Q点的坐标为(t,—t2+2t+3).

PQ=|(—1+3)—(—t2+2t+3)|="|"t2—3t|

d=—t?+3/(0<?<3)

•••{,；

d=t—3/(/>3)

•••d,e是y2—(m+3)y+,(5m2—2m+13)=0(m为常数)的两个实数根,

4

:&>0,即△=(m+3)2—4x—(5m2—2m+13)N0

4

整理得：△=—4(m—1)2>0,—4(m—1)2<0,

△=0,m=l,

二PQ与PH是y2—4y+4=0的两个实数根，解得yi=y2=2

/.PQ=PH=2,/.-t+3=2,t="l,"

此时Q是抛物线的顶点，

延长MP至L,使LP=MP,连接LQ、LH,如图2,

Q

斤

（如图2）

1,LP=MP,PQ=PH,.,.四边形LQMH是平行四边形,

LHIIQM,Z1=Z3,Z1=Z2,/.Z2=Z3,

,LH=MH,.•.平行四边形LQMH是菱形,

,PMJLQH,.,.点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2,

二在y=—x?+2x+3令y=2,x2—2x—1=0,X1-I+J2，X2=l一夜

综上：t值为1,M点坐标为（1+0，2）和（1—0,2）.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,

4).以A为顶点的抛物线丫=2*2+6*+(:过点C.动点P从点A出发，以每秒;个单位的

速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒.过点P作PE^x轴交抛物线于点M,交AC

于点N.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？

(3)点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在

线段PE上存在点H,使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？

【答案】(1)A(1,4)；y=-x2+2x+3；(2)当t=2时，△AMC面积的最大值为

「20

1;(3)20-8石或石.

【解析】

(1)由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x

-1)2+4,把点C的坐标代入即可求得a的值；

(2)由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解

析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN,然后根据小ACM的面积是

AAMN和仆CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到

当t=2时，△AMC面积的最大值为1；

(3)①当点H在N点上方时，由PN=CQ,PNIICQ,得到四边形PNCQ为平行四边形，

所以当PQ=CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到Q-1小+(4-7,解得t值；

②当点H在N点下方时，NH=CQ=r,NQ=CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ^CQ?,得：

(2—,^42z)*/->解得t值.

解：(1)由矩形的性质可得点A(1,4),

•••抛物线的顶点为A,

设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,

代入点C(3,0),可得a=-1.

y=—(x—1)2+4=—x2+2x+3.

(2)-/P(1+—/,4),

2

11

将%=1+—%代入抛物线的解析式，y=-(x-1)2+4=4——9

24

119

M(Id----1f4-----1)，

24

设直线AC的解析式为1-h♦/)，

将A(1,4),C(3,0)代入i一Li,得：\~2.1•6,

将x=l+,。代入得r-4/,

2

1.1，

MN=(4--r)-(4-r)=--r-r,

S3g+(7j-A/V=-i/J+b

244

.,.当t=2时，△AMC面积的最大值为:1.

(3)①如图1,当点H在N点上方时，

N(Id—t,4I)，P(l^—t,4),

22

•PN=4-(4-()=/=CQ,

X'.'PNIICQ,

•四边形PNCQ为平行四边形，

.•.当PQ=CQ时，四边形FECQ为菱形,

PQ2=PD2+DQ2=(2

(2-+(4-ty-八，

整理，得/―40f+80=0.解得/!=20—86，/2=20+8A/5(舍去)；

图1

②如图2当点H在N点下方时，

NH=CQ一，NQ=CQ时，四边形NHCQ为菱形，

NQ占CQ2,得：(2-1八：+(4-2/)

20

整理，得13产—72^+800=0.(13/—20)。—40)=0.所以％=可，/-4(舍去).

4

图2

"点睛"此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析

式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.

5.如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交

于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M,使得四边形

CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,连接BC,PB,PC,设APBC的面积为S.

①求s关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.

【答案】（1）y=-X2+2X+3.（2）当t=2时，点M的坐标为（1,6）；当口2时，不存

在，理由见解析；（3）y=-x+3；P点到直线BC的距离的最大值为述，此时点P的坐

8

标为（一，一）.

24

【解析】

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC,交抛物线对称轴I于点E,由点A、B的坐标可得出对称轴I为直线x=l,分

t=2和"2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形

CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；

当"2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE-PE可得出此时不存在符合题

意的点M；

（3）①过点P作PFIIy轴，交BC于点F,由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线

BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的

面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积

法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论.

【详解】（1）将A（-1,0）、B（3,0）代入y=-x2+bx+c,

-l+/?+c=0b=2

得一9+3匕+c=0'解得」

c=3

抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC,交抛物线对称轴I于点E,

•••抛物线y=-x2+bx+c与X轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，

•抛物线的对称轴为直线x=l,

当t=2时，点C、P关于直线I对称，此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,

•••抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,

...点C的坐标为（0,3），点P的坐标为（2,3）,

.•.点M的坐标为（1,6）；

当"2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE,

,・,点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,

.•.点p的横坐标t=lx2-0=2,

又：tN2,

不存在；

（3）①在图2中，过点P作PFIIy轴，交BC于点F.

设直线BC的解析式为y=mx+n（mwO）,

将B（3,0）、C（0,3）代入y=mx+n,

直线BC的解析式为y=-x+3,

•・,点P的坐标为(t,-t2+2t+3),

...点F的坐标为(t,-t+3),

PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,

1393327

...s=—PF・OB=——12+—1=——(t——)2+一；

222228

c3

②-y<0,

327

・•.当t=±时，S取最大值，最大值为一.

28

.点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),

线段BC=yloB2+OC2=3V2，

27x

P点到直线BC的距离的最大值为『=述,

3夜—8

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、

三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键

是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和"2两种情况

考虑；(3)①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性

质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值.

6.对于二次函数y=ax?+(b+1)x+(b-1),若存在实数xo,使得当x=xo,函数y=xo,贝！I

称Xo为该函数的"不变值”.

(1)当a=l,b=-2时，求该函数的"不变值"；

(2)对任意实数b,函数y恒有两个相异的"不变值"，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若该图象上A、B两点的横坐标是该函数的"不变值"，且A、B两

点关于直线y=kx-2a+3对称，求b的最小值.

9

【答案】(1)—1,3；(2)0<a<l；(3)——

8

【解析】

【分析】

(1)先确定二次函数解析式为y=x2-x-3,根据X。是函数y的一个不动点的定义，把(x。，

Xo)代入得x02-xo-3=x。，然后解此一元二次方程即可；

(2)根据X。是函数y的一个不动点的定义得到ax°2+(b+1)x0+(b-1)=x。，整理得

22

axo+bx0+(b-1)=0,则根据判别式的意义得到△=b?-4a(b-1)>0,BPb-4ab+4a>0,把b?-

4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b,b?-4ab+4a>0成立，则(4a)2-4.4a<0,然

后解此不等式即可.

(3)(利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知

直线垂直.找到a,b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.

【详解】

解：(1)当a=l,b=-2时,二次函数解析式为y=x2-x-3,把(x0,x0)代入得xo2-xo-3=x。，

解得x0=-l或x0=3,所以函数y的不动点为-1和3；

2

(2)因为y=x0,所以ax02+(b+1)x0+(b-1)=x0,HPaxo+bx0+(b-1)=0,

因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=bJ4a(b-

1)>0,HPb2-4ab+4a>0,而对任意实数b,b?-4ab+4a>0成立,所以(4a)2-4.4a<0,解得

0<a<l.

、b

（3）设A（Xl,Xl）,B（X2,X2）,则Xl+X2=-----

a

A,B的中点的坐标为(号，号)bb

即M

2a9la

A、B两点关于直线y=kx-2a+3对称，

又,・AB在直线y=x上,

k=-l,A,B的中点M在直线y=kx-2a+3上.

bb

-----=--2a+3付：b=2a2-3a

aa

39

所以当且仅当a二一时，b有最小值一-

48

【点睛】

本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有

两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.

_4

7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-§x+8与x轴，》轴分别交于点A、B,抛物

线y=-4ax+c经过点A和点B,与x轴的另一个交点为C,动点D从点A出发，以

每秒1个单位长度的速度向。点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速

度向A点运动，设运动的时间为t秒，0<t<5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与AAOB相似；

（3）当AADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F,使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.

9Q

【答案】（1）抛物线的解析式为y=—3必+耳工+8；

,,30550

（2）t的值为一或一；

1113

（3）t的值为—或—或—；

3178

（4）符合条件的点F存在，共有两个耳（4,8）,与（2+2J7,-8）.

【解析】

（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用

AADE-△AOB和4AED-AAOB即可求出t的值；（3）过E作EH_Lx轴于点H,过D作

DMLAB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点

F的坐标.

2

36a—24a+c=0a=—

解：（1）A（6,0）,B（0,8）,依题意知｛。，解得｛3,

c=8

c=8

28。

..y——x2—x+8.

33

(2)/A(6,0),B(0,8),0A=6,0B=8,AB=10,二AD=t,AE=10-2t,

ADAEt10-2?30

①当△ADE-△AOB时,—=------，..t=—；

~AO~AB61011

〜AEAD10—27t50

②当△AEDs△AOB时，——------=—,..t——

-AOAB61013

综上所述，t的值为—或—.

1113

10

(3)①当AD=AE时,t=10-2t,

②当AE=DE时，过E作EHJ_x轴于点H,贝!|AD=2AH,由△AEH-AABO得,

3(10-2/)6(10-2/)60

AH=

5517

3t

③当AD=DE时，过D作DM_LAB于点M,则AE=2AM,由△AMD-△AOB得,AM=—,

5

25

.­.10-2z=—

5

综上所述，t的值为一或—或—.

3178

⑷①当AD为边时，则BF)X轴，丁尸=%=8,求得x=4,二F(4,8)；

2Q

②当AD为对角线时，则》=一%=一8,二一耳三+§工+8=-8,解得X=2±2疗，

x>0,x—2+2^7,(2+2^7,-8).

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个耳(4,8),与(2+2屿，-8).

"点睛"本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定

函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题.

8.如图1,在矩形ABCD中，OB=6,AD=3,在RtAPEF中，NPE尸=90。，EF=3,PF=

6,△PEF(点F和点A重合)的边EF和矩形的边AB在同一直线上.现将由△PE尸从A以

每秒1个单位的速度向射线方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时

间为t秒，解答下列问题：

(1)如图1,连接PD,填空：PE=,ZPFD=度，四边形PE4。的面积

是;

(2)如图2,当PF经过点。时，求△PEF运动时间t的值；

(3)在运动的过程中，设APEF与AABD重叠部分面积为S,请直接写出S与t的函数关

系式及相应的t的取值范围.

p

【答案】（1）30。，上28；（2）6；（3）见解析.

2

【解析】

分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE的长，再根

据梯形的面积公式求解.

（2）当PF经过点D时，PEIIDA,由EF=3,PF=6,可得NEPD=NADF=30°,用三角函数计

算可得AF=t=G；

（3）根据题意，分三种情况：①当国＜6时，②6虫＜3时，③3如6时，根据三

角形、梯形的面积的求法，求出S与t的函数关系式即可.

详解：（1）...在RtAPEF中，ZPEF=90°,EF=3,PF=6

ZP=30°

•••PEIIAD

/.ZPAD=30°,

根据勾股定理可得PE=3百，

9+9

所以S四边形PEAD=-X(373+3)x3=^；

22

(2)当PF经过点D时，PEIIDA,由EF=3,PF=6,得NEPF=NADF=30°,

在RtAADF中，由AD=3,得AF=6,所以

(3)分三种情况讨论：

①当0就＜石时，PF交AD于Q,AF=t,AQ=Gt,，S=gxtxGt=¥f；

②当有康〈3时，PF交BD于K,作KH_LAB于H,；AF=t,=BF=3j^-t,SAABD=%^,

2

ZFBK=ZFKB,/.FB=FK=3^-t,KH=KFxsin600="后,；.S=SABD-SAFBK

A

2

_6产49t9石

------b-\1,

4---------2---------4

③当时，PE与BD交0,PF交BD于K,AF=t,/.AE=t-3,BF=36-t,

9+3

BE=35t+3,OE=BExtan3Q0=-^^,…一路二更"生正.

31224

点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数

值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思

想，要熟练掌握，比较困难.

9.如图，菱形A8CD的边长为20cm,NABC=120。，对角线AC,B。相交于点。，动点P

从点A出发，以4cm/s的速度，沿的路线向点B运动；过点P作PQIIB。，与AC相

交于点Q,设运动时间为t秒，0<t<5.

（1）设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式；

（2）若点Q关于。的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线/交菱形ABCD的边AD

（或C。）于点M当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

（3）直线PN与AC相交于“点，连接PM,NM,是否存在某一时刻t,使得直线PN平分

四边形AP/WN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

30

【答案】⑴S=-2G/+i0oG（0<t<5）；（2）一;⑶见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图工，根据S根AABC-SAAPQ,代入可得S与t的关系式;

（2）设PM=x,则AM=2x,可得AP=6x=4t,计算X的值，根据直角三角形30度角的性

St

质可得AM=2PM=，^,根据AM=AO+OM,列方程可得t的值；

（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积

相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.

【详解】

解：（1）如图1,,••四边形ABCD是菱形，

1

/.ZABD=ZDBC=—ZABC=60°,AC±BD,

2

ZOAB=30°,

AB=20,

OB=10,AO=1073.

由题意得：AP=4t,

，PQ=2t,AQ=273t,

:S=SAABC-SAAPQ,

=^ACOB-^PQAQ,

=—x10x20^3--X2ZX2A/3?,

22

=-2V3t2+100V3（0<t<5）；

（2）如图2,在RtAAPM中,AP=4t,

•••点Q关于。的对称点为M,

OM=OQ,

设PM=x,则AM=2x,

AP=73x=4t,

4t

8f

AM=2PM=-^,

■，-AM=AO+OM,

-^=1073+1073-273t,

30

t=T;

30

答：当t为一秒时，点P、M、N在一直线上;

7

（3）存在，

如图3,1,直线PN平分四边形APMN的面积，

「•SAAPN=SAPMN,

过M作MG_LPN」于G,

-PNAP=-PNMG,

22

MG=AP,

易得△APH2△MGH,

8

AH=HM=~^t,

,/AM=AO+OM,

同理可知：OM=OQ=10百-273t,

16厂厂厂

—j^t=WyJ3=10^/3-2^/3t,

30

t=一.

11

30

答：当t为近秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积.

【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简

等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.

10.在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，

axO）的“衍生直线"；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其"衍生

三角形已知抛物线>=一辿/-逑x+2g与其"衍生直线"交于A、B两点（点A

33

在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C.

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐

标为;

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的

对称点为N,若AAMN为该抛物线的"衍生三角形"，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F,使

得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴产一正x+空;（-2,2百）；（L0）;

33

（2）N点的坐标为（0,26-3），（0,2月+3）;

-"、F(0,咨或E"逑)，F(4迪)

(3)E(-1,

3333

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的"衍生直线"知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD_Ly轴于点

D,则可知AN=AC,结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨

论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐

标即可

【详解】

（1）y=_2叵/一逑/a百，a=—2叵，则抛物线的“衍生直线”的解析式为

333

2732百

y=--------x+-------;

33

262473

---------x+2G

y=-------xx=-2[x=l

联立两解析式求交点《33解得《厂或《八

2732石[y=2y/3[y=0

y二------x+-------

33

A(-2,2-73)，B(1,0)；

（2）如图1,过A作ADLy轴于点D,

在y=-2叵一士叵x+26中，令y=0可求得x=-3或x=l,

-33

C（-3,0）,且A（-2,273），

•••AC=7（-2+3）2+（2A/3）2=V13

由翻折的性质可知AN=AC=Jli，

・；△AMN为该抛物线的"衍生三角形”，

.N在y轴上，且AD=2,

在RtAAND中，由勾股定理可得

DN=VAN2-AD2=713^4=3，

OD=2A/3.

ON=2A/3-3或0N=2氐3，

..・N点的坐标为（0,2G-3），（0,2A/3+3）;

图1

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK_Lx轴

于点K,则有ACUEF且AC=EF,

/.ZACK=NEFH,

在小ACK和小EFH中

ZACK=ZEFH

<ZAKC=ZEHF

AC=EF

△AC心△EFH,

FH=CK=1,HE=AK=273，

・；抛物线的对称轴为x=-l,

二F点的横坐标为0或-2,

・点F在直线AB上，

二当F点的横坐标为。时，则F（0,友）,此时点E在直线AB下方,

3

二E至!Jy轴的距离为EH-0F=2月-々8=勺8，即E的纵坐标为-生8,

333

•E（一1,-逋）；

3

当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

C（-3,0）,且A（-2,2A/3），

二线段AC的中点坐标为（-2.5,5,

设E（-1,t）,F（X,y）,

则x-l=2x（-2.5）,y+t=2百，

•■x=-4,y=2-^3

25t=-^6x（-4）+空，解得t=-S叵，

■333

述）…叱）；

33

综上可知存在满足条件的点F,此时E(-1,-逑)、(。，手或E5

3

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本

题的关键，属于压轴题

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax-3a(a<0)与x轴相交于A,B两

点，与y轴相交于点c,顶点为D,直线DC与X轴相交于点E.

(1)当a=-l时，求抛物线顶点D的坐标，0E等