中考数学新定义问题题型训练（解析版）

专题5新定义问题中考题型训练

在真题过关

.

1.(2022•娄底)若1(>X=N,则称x是以10为底N的对数.记作：x=lgN.

例如：102=100,则2=/gl00；10。=1,则0=/gl.

对数运算满足：当朋>0,N>0时，lgM+lgN=lg(MN).

例如：/g3+/g5=/gl5,则(/g5)2+/g5X/g2+/g2的值为()

A.5B.2C.1D.0

【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解.

【解答】解:原式=/g5(/g5+/g2)+lg2

=lg5Xlg(5X2)+lg2

=/g5/gl0+/g2

=/g5+/g2

=/gl0

=1.

故选：C.

2.(2022•重庆)在多项式工-7-2-加-"中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺

序重新运算，称此为"加算操作”.例如(x-y)-(z-m-w)-y-z+m+n,x-y-(z-m)-n=

x-y-z+m-n,….

下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x-y加括号时，和原式相等；因为不改变x,y的运算

符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x-y-z-机-〃中，可通

过加括号改变z,m,〃的符号，因为z,m,〃中只有加减两种运算，求出即可.

【解答】解：①(x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n,与原式相等，

故①正确；

②.在多项式x-y-Z-加-"中，可通过加括号改变z,m,〃的符号，无法改变x,y的符号，

故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0;

故②正确；

③在多项式x-y-z-机-〃中，可通过加括号改变z,m,〃的符号，加括号后只有加减两种运算,

；.2X2X2=8种，

所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果.

故选：D.

3.（2022•常德）我们发现：V6+3=3,个6+V^+3=3,个3,

JG+JG+VB+…+V6+>/b+§=3,一般地，对于正整数a,b,

n个根号

。时，称（a,b）为一组完美方根数对.如上面（3,6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①

（4,12）是完美方根数对；②（9,91）是完美方根数对；③若（a,380）是完美方根数对，则a=

20；④若（x,y）是完美方根数对，则点尸（x,y）在抛物线y=x2-x上，其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】将（4,12）,（9,91）代入验证即可判断①②；将（a,380）代入公式，建立方程可得出结

论；若（x,y）是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论.

【解答】解：将（4,12）代入52+4=4,V12+V12+4=4,712+412+712+4=%…，

（4,12）是完美方根数对；故①正确；

将（9,91）代入491+9=10-9,V91+V91+9=7101.

•••（9,91）不是完美方根数对，故②错误；

③:（a,380）是完美方根数对，

.•.将（a,380）代入公式，4380+a=a，4380+我80+a=。，

解得。=20或a=-19（舍去），故③正确；

④若（x,y）是完美方根数对，则yy+x=x,yl~y^jy+x=Xj

整理得y=N-x,

，点尸（x,y）在抛物线上，故④正确；

故选：C.

4.(2022•南通)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于〃(n>0)的点叫做这个函数图象的“"阶

方点”.例如，点(工，1)是函数y=x图象的“工阶方点”；点(2,1)是函数>=2图象的“2阶方

332x

点”•

(1)在①(-2,-1)；②(7,7);③(1,1)三点中，是反比例函数尸上图象的“1阶方点”

2x

的有⑵⑶(填序号)；

(2)若y关于x的一次函数>=6-30+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求。的值；

(3)若y关于x的二次函数y=-(x-〃)2-2〃+1图象的“"阶方点”一定存在，请直接写出〃的取值

范围.

【分析】(1)根据定义进行判断即可；

(2)在以。为中心，边长为4的正方形N3C。中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶

方点”有且只有一个，结合图象求。的值即可；

(3)在以O为中心，边长为2n的正方形/BCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时,二次函数丁=-

G-")2-2«+1图象的“"阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可.

【解答】解：(1)①(-2,-1)到两坐标轴的距离分别是2,1,

22

V2>1,A<1,

2

(-2,-1)不是反比例函数了=工图象的“1阶方点”；

②(-1,-1)到两坐标轴的距离分别是1,1,

1W1,

(-1,-1)是反比例函数^=上图象的“1阶方点”；

X

③(1,I)到两坐标轴的距离分别是1,1

Vl^l,1W1,

...(1,1)是反比例函数y=L图象的“1阶方点”；

X

故答案为：②③；

(2)\•当x=3时，y=ax-3a+l=a(x-3)+1=1,

J函数经过点(3,1),

如图1,在以。为中心，边长为4的正方形45CZ)中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2

阶方点”有且只有一个，

•.•一次函数y=6-3a+l图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点。时，。=-1,此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点C时，。=3,此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

综上所述：。的值为3或-1；

(3)在以。为中心,边长为2"的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y=-

(x-〃)2-2«+1图象的“"阶方点”一定存在，

如图2,当«>0时，A(n,〃)，C(-77,-n),B-〃)，D(,-n,n),

当抛物线经过点2时，"=1；

当抛物线经过点。时，n=-1(舍)或〃=JL；

4

时，二次函数^=-(X-〃)2-2«+1图象有an阶方点”；

4

综上所述：当工W〃W1时，二次函数》=-(x-n)2-2«+1图象的阶方点”一定存在.

4

5.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点尸的横坐标和纵坐标相等，则称点尸为和谐点.例如：点

(1,1),(1,1),(-圾,-圾),……都是和谐点.

22

（1）判断函数y=2x+l的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标;

（2）若二次函数y=ax2+6x+c（"0）的图象上有且只有一个和谐点（/A）.

①求a,c的值；

②若IWxWnv时，函数＞=G2+6X+C+_1（aWO）的最小值为-1,最大值为3,求实数加的取值范围.

4

【分析】（1）设函数y=2x+l的和谐点为（x,x）,可得2x+l=x,求解即可；

（2）将点（$,互）代入y=aS+6x+c,再由办?+6x+c=x有且只有一个根，A=25-4ac=0,两个方程

22

联立即可求a、C的值；

②由①可知y=--+6x-6=-Cr-3）2+3,当x=l时，y=-l,当x=3时，y=3,当x=5时，y=-

1,则3W机W5时满足题意.

【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，

设函数y=2x+l的和谐点为（x,x）,

•・2x+1~~x,

解得X=-1,

.•.和谐点为（-1,-1）;

（2）①丁点（/.|.）是二次函数尸办2+6X+C（aWO）的和谐点，

.•.9=至什15+。，

24

.•一-"-至，

42

•・,二次函数y=a/+6x+c（aWO）的图象上有且只有一个和谐点，

'.ax1+6x+c=x有且只有一个根，

A=25-4ac==0,

.'.a--1,c=-

4

②由①可知y=-/+6x-6=-（x-3）2+3,

抛物线的对称轴为直线x=3,

当x=l时,y=-1,

当x=3时，y=3,

当x—5时，y--1,

••.函数的最大值为3,最小值为-1；

当3W/nW5时，函数的最大值为3,最小值为-1.

6.(2022•遵义)新定义：我们把抛物线y=ox2+bx+c(其中MWO)与抛物线y=fef2+ax+c称为“关联抛物

线”.例如：抛物线y=2x2+3x+l的“关联抛物线”为：y=3x2+2x+l.已知抛物线Q：y=4ax2+ax+4a-

3QW0)的“关联抛物线”为

(1)写出C2的解析式(用含a的式子表示)及顶点坐标；

(2)若a>0,过x轴上一点尸，作x轴的垂线分别交抛物线Ci，C2于点M,N.

①当MV=6a时，求点尸的坐标；

②当时，。2的最大值与最小值的差为2a,求。的值.

【分析】(1)根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出

C2的顶点坐标；

(2)①设点尸的横坐标为根，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达AW的长，列

出方程，可求出点尸的坐标；

②分情况讨论，当a-4W-2Wa-2时，当-2Wa-4Wa-2时，当a-4Wa-2W-2时，分别得出C2

的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值.

【解答】解：(1)根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y=a/+4ax+4“-3,

"-'y=ax2+4ax+4a-3=a(x+2)2-3,

•"2的顶点坐标为(-2,-3)；

(2)①设点尸的横坐标为加，

•••过点P作x轴的垂线分别交抛物线Ci，C2于点河，N,

.'.M(m,4am2+am+4a-3),NCm,am2+4am+4a-3),

.'.MN=\4am2+am+4a-3-(,am~+4am+4a-3)|=|3am2-3am\,

,:MN=6a,

13am2-3a〃4=6a,

解得m=-1或m=2,

：.P(-1,0)或(2,0).

②的解析式为：V=a(x+2)2-3,

当x=-2时，y--3,

当x=a-4时，y=a(a-4+2)2-3—a(a-2)2-3,

当x—a-2时，y—a(a-2+2)2-3=a，-3,

根据题意可知，需要分三种情况讨论,

I、当。-4W-2Wa-2时，0<aW2,

且当0<〃Wl时，函数的最大值为q(q-2)2-3；函数的最小值为-3,

••a(。-2)2-3-(-3)=2q,解得a—2-或6Z—2+^/2(舍)；

当时，函数的最大值为〃3-3；函数的最小值为-3,

/.a3-3-(-3)=2q,解得a=或(舍)；

II、当-2Wa-4WQ-2时，。22,

函数的最大值为凉-3,函数的最小值为。(。-2)2-3；

2=

••c?-3-[a(a-2)-3]2af

解得a=3(舍)；

2

III>当a-4Wa-2W-2时，aWO,不符合题意，舍去；

综上，a的值为2-a或近.

7.(2022•重庆)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的各数位上的数字之和m

整除，则称N是优的“和倍数

例如：V2474-(2+4+7)=247+13=19,...247是13的“和倍数”.

又如：V2144-(2+1+4)=2144-7=30...4,二214不是“和倍数”.

(1)判断357,441是否是“和倍数”？说明理由；

(2)三位数/是12的“和倍数”，a,b,c分别是数/其中一个数位上的数字，且”>6>c.在a,b,

c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为尸(/),最小的两位数记为GG4),若上但)毡

16

为整数，求出满足条件的所有数4

【分析】(1)根据“和倍数”的定义依次判断即可；

(2)根据“和倍数”的定义表示歹(A)和G(A),代入F(A).(A)中,根据F(A)+C(A)为整数

1616

可解答.

【解答】解:(1)V3574-(3+5+7)=357+15=23...12,

；.357不是“和倍数”；

V441-?(4+4+1)=4414-9=49,

.••441是9的“和倍数”；

(2)由题意得：a+b+c=12,a>b>c,

由题意得：F(A)=ab，G(A)=cb，

•F(A)4(A)=ab+cb=lOa+b+lOc+b=10(a+c)+2b

-761616

'：a+c=n-b,F(A)W(A)为整数,

16

•F(A)用(A)=10(12-b)+2b=120-8b=112+8-8b=什1(1_b)＞

"^616-16~16~2

■：l＜b＜9,

：.b=3,5,7,

a+c=9,7,5,

'a=8(a=7

(J)当6=3,a+c=9时，«b=3(舍)，,b=3，

,c=l〔c=2

则4=732或372；

'a=6

②当6=5,a+c=7时，＜b=5，

,c=l

则4=516或156；

③当6=7,a+c=5时,此种情况没有符合的值;

综上，满足条件的所有数/为：732或372或516或156.

8.(2022•长沙)若关于x的函数乃当工时，函数y的最大值为最小值为N,令函数〃=

22

号L我们不妨把函数〃称之为函数y的“共同体函数”.

(1)①若函数y=4044x,当，=1时，求函数y的“共同体函数”/?的值；

②若函数了=履+6k,6为常数)，求函数了的“共同体函数”〃的解析式；

(2)若函数y=2(x>l),求函数y的“共同体函数”〃的最大值；

X

(3)若函数y=-x2+4x+比是否存在实数后，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数的最

小值.若存在，求出发的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)①由题意求出M=6066,N=2022,再由定义可求的值；

②分两种情况讨论：②当人＞0时，M=kt+ljc+b,N=kt-ljc+b,〃=Lt；当左＜0时，M=kt-ljc+b,

2222

有N—kt+^-k+b,h--L；

22

(2)由题意则〃=——,所以人有最大值工；

2J4t2-12

t212

(3)分四种情况讨论：①当2＜「工时，M=-(Z-A-2)2+4+总N=-(Z+A-2)2+4+k,h=t-

222

2；②当什上《2时，N=-(z-JL-2)2+4+k,M=-(7+■1-2)2+4+上h=2-t,；③当f-Lw2W

2222

t,即N=-(什工-2)2+4+左，M—4+k,h——(f-—)2；④当f<2Wf+LN--(t---

222222

2)2+4+k,M—4+k,h——(?-—)画出〃的函数图象，结合图象可得」>=4+左，解得左=-3L

2288

【解答】解：(1)①..)=1,

.••_Lwx<3,

22

*.*函数y=4044x,

・•・函数的最大值M=6066,函数的最小值N=2022,

，〃=2022；

②当人＞0时，函数在L有最大值M=H+Lt+6,有最小值N=%-1+6,

2222

2

当上＜0时，函数y=fcc+6在LLWxW/+上有最大值」#+b,有最小值N=〃+L+6,

2222

.".h=-Afc；

2

综上所述：〃=|L|；

(2)即

22

函数y=2(xNl)最大值M=二丁，最小值N=一"

xt—t+-

x2x2

；.h=---------,

4t2-1

当时，〃有最大值工；

22

(3)存在实数上使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“〃的最小值，理由如下:

,•y=-X2+4X+A=-(x-2)2+4+左，

...函数的对称轴为直线尤=2,y的最大值为4+左，

①当2〈「工时，即注回,

22

止匕时M=-(?--1-2)2+4+k,N=-(Z+A-2)2+4+左,

22

：・h=t-2,

此时h的最小值为工；

2

②当什工W2时，即辰3,

22

止匕时N=-(f-A-2)2+4+左，M=-(Z+A-2)2+4+公

22

:・h=2-t,

此时h的最小值为工；

2

③当LJLW2W3即2WfW$,

22

此时N=-(f+A-2)2+4+左，M=4+k,

2

/./7=—(?--)2,

22

：.h的最小值为工；

8

④当f<2W/+-l,即

22

此时N=-(r-A-2)2+A+k,M=4+k,

2

.,.h——(/--)2,

22

：.h的最小值为工；

8

〃的函数图象如图所示：力的最小值为工，

8

由题意可得上=4+左，

8

解得k=-11；

8

综上所述：发的值为-1L

9.(2022•湘西州)定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称

为“月牙线”，如图①，抛物线Q：y=x2+2x-3与抛物线。2：y=ox2+2ax+c组成一个开口向上的“月

牙线”，抛物线G和抛物线。2与x轴有着相同的交点/(-3,0)、B(点3在点/右侧)，与y轴的交

点分别为G、〃(0,-1).

(1)求抛物线。2的解析式和点G的坐标.

(2)点M是x轴下方抛物线Q上的点，过点M作MNLx轴于点N,交抛物线C2于点〃，求线段"N

与线段。河的长度的比值.

(3)如图②，点E是点"关于抛物线对称轴的对称点，连接EG,在x轴上是否存在点尸，使得△EFG

是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

图①图②

【分析】(1)将/(-3,0)、H(0,-1)代入V="2+2G+C中，即可求函数的解析式；

(2)设於+2「3),则。(t,AZ2+ZZ-1),N(r,0),分别求出MN,DM,再求比值即可;

33

(3)先求出E(-2,-1),设厂G,0),分两种情况讨论：①当EG=E尸时，2近=寸(x+2)2+l，

可得尸(4-2,0)或(-4-2,0)；②当£G=bG时，2&=再，，尸点不存在•

【解答】解：(1)将/(-3,0)、H(0,-1)代入丁=。/+2办+c中，

.f9a-6a+c=0

1c=-l

'二

解得，,

,c=-l

.'.y=—x2+-?_r-1,

33

在产/+2%-3中，令％=(),贝仃=一3,

：.G(0,-3)；

(2)设MG,於+2/-3),则。(f,1/2+4-i),N(t,0),

33

：.NM=--2什3,0M=12+4-i_(於+2/-3)=-当2_生+2,

3333

2

...MN=-（t+2t-3）__3_.

DM-y（t2+2t-3）2

（3）存在点尸，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下:

由（1）可得y=/+2x-3的对称轴为直线》=-1,

:E点与〃点关于对称轴x=-1对称，

：.E(-2,-1),

设F(x,0),

①当EG=£F时，

,:G(0,-3),

:.EG=2近,

2企=V(X+2)2+1'

解得尤=夜-2或x=-V7-2,

：.F(V7-2,0)或(-V7-2,0)；

②当EG=AG时，2企=49+X2.

此时x无实数根；

综上所述：F点坐标为（4-2,0）或（-夜-2,0）.

10.（2022•德州）教材呈现

以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容.

如图，四边形/BCD中，AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫

做“筝形”.

概念理解

（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：;

（2）如图1,在△/BC中，AD±BC,垂足为。，△瓦15与△D4B关于所在的直线对称，△"。与△

D/C关于NC所在的直线对称，延长E8,FC相交于点G.请写出图中的“筝形”：；（写

出一个即可）

应用拓展

（3）如图2,在（2）的条件下，连接斯，分别交48,NC于点“，H,连接2H.

①求证：NBAC=/FEG；

②求证：NAHB=90；

AAA

图1图2备用图

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定可得结论；

（2）根据“筝形”的定义判断即可；

（3）①利用同角的余角相等证明即可；

②利用相似三角形的判定和性质证明即可.

【解答】（1）W：'：DA=DC,BA=BC,

.•.8。垂直平分线段NC.

故答案为：垂直平分线段NC.

（2）解：由翻折变换的性质可知NADC=N4FC=90°,

'：AC=AC,

...RtZUCDgRtZUCF（HL）,

；.CD=CF,

...四边形/DC尸是“筝形”，

故答案为：四边形4DCF（答案不唯一）；

（3）①证明：如图1中，

A

G

图1

由翻折变换的性质可知/C4D=NC/尸，ZBAD=ZBAE,ZADB=ZAEB=90,AD=AF=AE,

：.ZEAF=2ZBAC,ZAEF=ZAFE,

：.ZEAF+2ZAEF=1SO°,

A2ZBAC+2ZAEF=180°，

：.ZBAC+ZAEF=90°,

VZFEG-^ZAEF=90°,

・•・ZBAC=ZFEG；

②证明：如图2中，

图2

■:/AMH=/EMB,NMAH=/MEB,

：.AEMBsAAMH,

・,・胆=坦，NAHM=NABE,

MAMH

・・・胆=迪，

MBMH，

•.*/AME=/HMB,

：.AAMEs^HMB,

：.ZEAM=/MHB,

VZAEB=90°,

AZMAE+ZMBE=90°,

AZMHB+ZAHM=90°,

；・/AHB=90°.

在模拟检测

a

1.（2023•叙州区校级模拟）新定义：［a,6,c］为二次函数y=ax2+6x+c（a#0,a,b,c为实数）的“图象

数”，如：y=/-2x+3的“图象数”为［1,-2,3］,若“图象数”是阿，2〃?+4,2〃?+4］的二次函数的图

象与x轴只有一个交点，则加的值为（）

A.-2B-IC.-2或2D.2

【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为了=/^2+Q%+4)x+2m+4,然后根据判别式的意义得到△=

(2%+4)2-4m(2m+4)=0,从而解的方程即可.

【解答】解：二次函数的解析式为>=枢，+(2加+4)x+2m+4,

根据题意得△=(2m+4)2-4m(2m+4)=0,

解得m\=-2,加2=2,

故选：C.

2.(2022•武侯区校级模拟)对于给定△/8C内(包含边界)的点尸，若点尸到△N2C其中两边的距离相等,

我们称点尸为△NBC的“等距点”，这段距离的最大值称为△/BC的“特征距离”.如图，在平面直角坐

标系中，已知点/(6,0),动点、M(m,3),连接(W,AM.则△04〃的“特征距离”的最大值

【分析】理解材料中的意思，结合三角形知识求解，也就是求三角形的角平分线与其他边的交点到该边

的距离.

M的轨迹是直线y=3,

当”(3,3)时0M=3近,

通过观察图，可以得知，0c为的“特征距离”的最大值.

由角平分线的性质得：NMOC=45°,

VZO£>C=90°,

；.CD=3点,

2_

所以：CO=WZ为△CM”的“特征距离”的最大值，

2

故答案为：舅2.

2

3.(2022•西湖区一模)已知为，及均为关于x的函数，当X=Q时，函数值分别为小，42，若对于实数

当0VQV1时，都有-1〈小-4V1，则称为，为为亲函数，则以下函数为和为是亲函数的是()

22

A.yi=x+l,y2=-AB.yX=x+l,及=2x-1

x

2

C.y\=x-1,y2=」D.乃=N-1,y2=2x-1

x

【分析】结合题意，根据二次函数、反比例函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得了答案.

【解答】解：(1)4选项，

y2=」，

x

•・歹1-及=~+1

当OVxVl时，工>1,且

X

，歹1-及=/+1」>>1，

X

即此选项不合题意；

(2)8选项，

•・'1=工2+1,歹2=2%-L

*.y\-及=/+1-(2x-1)

=(x-1)2+1,

当OVxVl时，(x-1)2+1>1,

即此选项不合题意；

(3)。选项，

y\=x2-1，y2=」•，

；・乃-y2—x2-1-(—)

X

=/+工-1,

X

当工=«1^，x2+—-1=—>1,

2x4

即此选项不合题意；

(4)。选项，

,**yi=x^-1,及=2工1,

_

••y\1y2=N-1-(2x-1)

—~x^-2x,

当0cxe1时，

即此选项符合题意；

故选：D.

4.（2022•平桂区一模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自

然数时，我们发现一种特殊的自然数一一“好数”.定义：对于三位自然数%各位数字都不为0,且百

位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数〃为“好数”.例如：426是“好数”，

因为4,2,6都不为0,且4+2=6,6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10,10不能被3整

除.则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（）

A.8B.7C.6D.5

【分析】设这个三位数为云，根据题意可以得出。与b的关系，以及它们的取值范围，然后把所有可

能的情况都列举出来，从而确定“好数”.

【解答】解：设这个“好数”为以，由题意得，

a=b+5,且0<aW9,0<6W9,解得0<6W4,

取整数1,2,3,4,

则a对应取整数6,7,8,9.

的对应值为：7,9,11,13.

能分别被这四个数整除的数有：1,7,1,3,9,1,11,1,13,共计9个数.

又只能取个位数，

只能取1,7,1,3,9,1,1这7个数.

符合条件的“好数”共有7个.

故选：B.

5.（2022•威县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形0/5C的顶点坐标分别为/（8,0）,C（0,

6）.把横，纵坐标均为偶数的点称为偶点.

（1）矩形。N2C（不包含边界）内的偶点的个数为6.

（2）若双曲线Ly=K上（x>0）将矩形O43C（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，则左的整

X

数值有3个.

y

~0\A~~

【分析】⑴根据题意可知偶点有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),(6,2),(6,4)；

(2)当y=K经过点(4,2)时，k=8,当y=K经过点(6,2)时，左=12,则8〈人〈12时，偶点平均

XX

分布在y=K的两侧，求出满足条件的整数人即可.

X

【解答】解：(1),・,四边形。是矩形，A(8,0),C(0,6),

：.B(8,6),

J偶点有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),(6,2),(6,4),

・•.矩形。45。(不包含边界)内的偶点共有6个，

故答案为：6；

(2)当y=K经过点(4,2)时，左=8,

x

当y=K经过点(6,2)时，左=12,

x

・・・8〈左〈12时，偶点平均分布在y=K的两侧，

x

・•"的整数值为9,10,11,

故答案为：3.

6.(2022•宁波模拟)在平面直角坐标系宜方中，对于点尸(Q,b),若点P的坐标为(ka+b,a+—)(其

k

中左为常数且左W0),则称点P为点尸的“左关联点”.已知点N在反比例函数>=返■的图象上运动，

X

且点/是点8的“向关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为―(3,近)或(-3,-

_4—44—

返一

4一_

【分析】由点4是点8的“北关联点”，可设点8坐标，表示出点4坐标，由点/在函数y=恒的图

x

象上，就得到点3在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M、N,过。作这条直线

的垂线，这点到垂足之间的线段。8,此时。8最小，由/M0O=6O°可得出点8的坐标.

【解答】解：设2(x,y),

•••点/是点8的“迎关联点”，

••A（计y,x+-^-）

V3

•..点N在函数（x>0）的图象上，

X

•*.（V3x+y））=^3,

即：百叶y=正或向r+y=-如,

当点2在直线y=-正x+北上时，

设直线y=-费什正与x轴、y轴相交于点〃、N,则“（1,0）、N（0,丁§）,

当O8J_MN时，线段08最短，此时OB=I*遮=亚_,

22

由N7WO=60°,可得点2（至，1）；

44_

设直线>=-我・旧时，同理可得点8（-3,-近）；

44

故答案为：（3,近）或（-3,-1）.

4444

7.（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和

面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当己知矩形的长和宽分别为3和1时，其

“加倍矩形”的对角线长为_^V13_.

【分析】设“加倍矩形”的长为x,则宽为[2X（3+1）-x],根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x

的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论.

【解答】解：设“加倍”矩形的长为x,则宽为[2X（3+1）-%],

依题意，得：x[2X（3+1）-x]=2X3Xl,

整理，得：x2-8x+6=0,

解得：XI=4+A/10>%2=4-V10，

当x=4+JT5时，2X（3+1）-X=4-VTO<4+V1O,符合题意；

当x=4-何时，2X（3+1）-x=4+V10>4-VIo，符不符合题意，舍去.

...“加倍矩形”的对角线长为｛（4+715）2+（4f/记）2=2/石.

故答案为：2丁石.

8.（2023•苏州模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角

形”.若△4BC是“倍角三角形"，N/=90°,BC=4,则△/8C的面积为4或2\依.

【分析】根据题意可分四种情况：当N4=2N8=90°时；当NZ=2NC=90°时；当NB=2NC时；当

NC=2N5时，然后分别进行计算即可解答.

【解答】解：•••△N3C是“倍角三角形”,

分四种情况：

当N/=2N3=90°时，

.,./8=45°,

AABC是等腰直角三角形,

\'BC=4,

.'.AB=AC=方方2匹

・•・的面积=145・/。=工><2&义2&=4；

22

当NZ=2NC=90°时，同理可得：ZX/BC的面积为4；

当NB=2NC时,

VZA=90°,

：・/B+NC=90°,

*.•/B=2/C,

/.ZC=30°,NB=60°,

9：BC=4,

:・AB=1~BC=2,4。=愿45=2愿，

2

・•・AABC的面积=L5・4。=工X2X2«=2«；

22

当NC=2N5时，

VZA=90°,

・・・N5+NC=90°,

VZC=2Z5,

・・・N5=30°,ZC=60°,

♦；BC=4,

.\AC=—BC=2,AB=y[^AC=2yl"^,

：.的面积=X15・4C=工X2%X2=2«；

22

综上所述：△45。的面积为4或2日，

故答案为：4或2%.

9.（2022•金牛区模拟）射线45绕点力逆时针旋转a°,射线A4绕点8顺时针旋转/,0°<a<90°,

0°<6<90°,旋转后的两条射线交点为C,如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方向旋转记为

则称（a,-6）为点C关于线段的“双角坐标”，如图1,已知△/8C,点C关于线段的

“双角坐标”为（50,-60）,点C关于线段5/的“双角坐标”为（-60,50）.如图2,直线»=

交x轴、y轴于点/、B,若点。关于线段N8的"双角坐标"为（-m,n）,y轴上一点E关

于线段N8的“双角坐标”为（-n,m）,AE与BD交点、为F,若△/£>£与△4D尸相似，则点尸在该平

【分析】由交x轴、y轴于点/、B,可得点2的坐标为（0,如）,OB=M；点/的坐标

为（-1,0）,OA=1,ZABO=30°,ZOAB=60°,分别求得直线5尸的解析式为：y=-x+V3，直

线/尸的解析式为：y=（V3-2）x+V3-2,联立方程组即可得出点尸的坐标.

【解答】解：•.）=«什遥交x轴、y轴于点/、B,

.,.当x=0