中考数学复习：全等三角形之辅助线倍长中线法

中考数学专题复习全等三角形（辅助线倍长中线法）

学校:.姓名:.班级:考号:

评卷人得分

一、单选题

1.如图，己知是△ABC中2C边上的中线，AB=5,AC=3,则AD的取值范围是

B.1<AD<4C.2<AD<5D.4<AD<8

2.在.ABC中，AC=5,中线AD=7,则A3边的取值范围（)

C.9<AB<]9D.10<AB<19

3.如图，在四边形ABCD中，ABIICD,ABYBD,AB=5,BD=4,CD=3,点

E是AC的中点，则BE的长为（）.

4.如图，在.ASC中，。为BC的中点，若AC=3,AD=4.则AB的长不可熊是

1

A.5B.7C.8D.9

评卷人得分

5.如图，在，ABC中，AT＞是5。边上的中线，AC=3,4)=5,则A5的取值范围是

6.如图，平行四边形ABCD,点F是BC上的一点，连接AF,NFAD=60。，AE平

分/FAD,交CD于点E,且点E是CD的中点，连接EF,已知AD=5,CF=3,则

EF=_.

AD

R

BFC

|评卷人|得分

----------------三、解答题

7.已知：多项式/+4x+5可以写成(%-1)2+a(x-1)+6的形式.

C

1

BDA

(1)求a,b的值；

(2)"BC的两边BC,AC的长分别是。b,求第三边A8上的中线CD的取值范围.

_______________________________________________________J

8.如图，。为四边形ABC。内一点，E为A8的中点，OA=。。，OB=OC,

ZAOB+ZCOD=180°.

（1）若NBOE=/BAO,AB=，求08的长；

（2）用等式表示线段OE和CO之间的关系，并证明.

9.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：

如图1,在，ABC中，A5=6,AC=10,。是3c的中点，求8C边上的中线的取

值范围.

【阅读理解】

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

（1）如图1,延长AD到E点，使。石=4。，连接BE.根据可以判定

Z^ADC^,得出AC=.

这样就能把线段A3、AC、2AD集中在△/■中.利用三角形三边的关系，即可得出

中线的取值范围是.

【方法感悟】

当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构

y

造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅

助线的方法称为“中线加倍”法.

【问题解决】

（2）如图2,在：ABC中，4=90,。是边的中点，ZEDF=9Q,DE交AB于

点、E,OF交AC于点尸，连接求证：BE-+CF-=EF~.

图2

【问题拓展】

(3)如图3,ASC中，ZB=90,AB=3,AD是一ABC的中线，CELBC,

CE=5,且/ADE=90.直接写出AE的长=

1

10.某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入.

【探究与发现】

如图1,延长AABC的边到O,使DC=2C,过。作。石〃AB交AC延长线于点

E,求证：&ABC咨AEDC.

【理解与应用】

如图2,已知在AA8C中，点E在边8C上且NCAE=N3,点E是C。的中点，若

平分

(1)求证：AC=BD；

(2)若8D=3,A£)=5,AE=x,求尤的取值范围.

11.如图，ABC中，BD=DC=AC,E是。C的中点，求证：AB^IAE.

12.如图1,在AABC中，若AB=10,BC=8,求AC边上的中线8。的取值范围.

(1)小聪同学是这样思考的：延长8。至E,使DE=BD,连接CE,可证得

ACED^AABD.

①请证明4CED会AABD；

②中线BD的取值范围是.

(2)问题拓展：如图2,在△ABC中，点。是AC的中点，分别以A3,BC为直角边

向AABC外作等腰直角三角形和等腰直角三角形BCN,其中，AB=BM,BC=

BN,/ABM=/NBC=N90。,连接MN.请写出3。与MN的数量关系，并说明理

由.

V7

图2

13.已知,ABC中,

(1)如图1,点E为BC的中点，连AE并延长到点足使FE=EA,则叱与AC的数

量关系是.

(2)如图2,若AB=AC,点E为边AC一点,过点C作8C的垂线交BE的延长线于

点。，连接AD,若NZMC=NABD,求证：AE=EC.

(3)如图3,点。在1aAsc内部，且满足AD=3C,Zfi4D=ZDCB,点〃在DC的延

长线上，连AM交80的延长线于点N,若点N为AAf的中点，求证：DM=AB.

图3

14.如图1,在..ASC中,CM是边的中线，=交延长线于点

N,2cM=CN.

(1)求证AC=5N；

y

(2)如图2,NP平分N/WC交CM于点尸，交BC于点0,若/4MC=120。,

CP

CP=kAC,求才的值.

15.如图，AD为，ABC中BC边上的中线(AB>AC).

(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC-

(2)若AB=8cm,AC=5cm,求AD的取值范围.

16.(1)如图1,已知.ABC中，A。是中线，求证：AB+AC>2AD；

(2)如图2,在eASC中，D,E是8c的三等分点，求证:AB+AC>AD+AE；

(3)如图3,在；A3C中，D,E在边上，S.BD=CE.求证:

AB+AC>AD+AE.

17.(1)如图1,ZABC中，为中线，求证：AB+AO1AD；

1

A

(2)如图2,中，。为5。的中点，DE上DF交AB、AC于E、F.求证：

BE+CF>EF.

18.定义：如果三角形三边的长队b、c满足a+；+c=6,那么我们就把这样的三角

形叫做“匀称三角形”.如：三边长分别为1,1,1或3,5,7,…的三角形都是“匀称

三角形

(1)已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6,则第三边长为.

(2)如图，ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。交于点。，过点。作

DF1AC,垂足为E交A2的延长线于E,求证：所是。。的切线；

(3)在(2)的条件下，若B笑F=］5，判断，AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由.

CF3

19.课堂上，老师出示了这样一个问题：

如图1,点。是：ASC边BC的中点，AB=5,AC=3,求AD的取值范围.

图1图2

（1）小明的想法是，过点3作阿〃AC交AD的延长线于点E,如图2,从而通过构

造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；

（2）请按照上述提示，解决下面问题：

在等腰用ABC中，N54c=90。，=AC,点。边AC延长线上一点，连接8。，

过点A作AE_LBD于点E,过点A作AF_LAE,且=连接E尸交BC于点

G,连接CF,求证8G=CG.

20.（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在AA8C

中，AB=8,AC=6,求3c边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，

得到了如下的解决方法（如图2）,

图1图2图3

①延长到使得。M=A。；

②连接通过三角形全等把A3、AC,24。转化在△A2M中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB-BM<AM<AB+BM,从而得到

AD的取值范围是；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和

证明边之间的关系.

（2）请你写出图2中AC与的数量关系和位置关系，并加以证明.

（3）深入思考:如图3,A。是AABC的中线，AB=AE,AC^AF,ZBAE=ZCAF=

90。，请直接利用（2）的结论，试判断线段与E尸的数量关系，并加以证明.

21.如图，在AABC中，ZACB=135°,8c=6,点。为AB的中点，连接。C,若

j

DCLBC,求AB的长.

c

22.如图，AABC中，AB=3,AC=4,AD为中线，求中线AD的取值范围.

23.(1)方法呈现：

如图①：在..ABC中，若A?=6,AC=4,点。为8C边的中点，求8C边上的中线

A。的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长到点E使。E=AD,再连接BE,可证

AAC庠LEBD,从而把A3、AC,24。集中在人口中，利用三角形三边的关系即

可判断中线AD的取值范围是,这种解决问题的方法我们称为倍长中

线法；

(2)探究应用:

如图②，在-ABC中，点。是2C的中点，DE1DF于点D,DE交AB于点、E,DF

交AC于点E连接£尸，判断郎+。尸与£尸的大小关系并证明；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形A8CD中，AB//CD,AF与。C的延长线交于点尸、点E是8C的

1

中点，若AE是NBAF的角平分线.试探究线段AB,AF,5之间的数量关系，并加

以证明.

图③

24.在等腰RtAABC中NA8C=90。，BA=BC,在等腰RtzXCOE中NCDE=90。，DE

=DC,连接AD,点P是线段A。的中点.

(1)如图1,连接8R当点。和点E分别在3c边和AC边上时，若AB=3,CE=2

叵,求8斤的长.

(2)如图2,连接BE、BD、EF,当/。8£=45。时，求证：EF=^ED.

25.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线.

(1)如图1,AD是AABC的中线，AB=7,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长

AD到点〃，使DVf=AD,连接易证=AMD3,所以BM=AC.接下

来，在中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线的取

值范围是

(2)如图2,AD是ASC的中线，点E在边AC上，8E交AD于点/，且=,

求证：AC=BF；

AZJ//8C,点E是A3的中点，连接CE,£»且

CE1DE,试猜想线段8C,CD,AD之间满足的数量关系，并予以证明.

26.已知：在矩形ABCD中，连接AC,过点。作上LAC,交AC于点E,交A8于

点、F.

历

(1)如图1,若tanZACD=.

2

①求证：AF=BF；

②连接BE,求证：CD=y[2BE.

(2)如图2,若AF'ABBF，求cos/FDC的值.

27.阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F,AE=EF.求证：AC=

BF.

经过讨论，同学们得到以下思路：

如图①，添加辅助线后依据SASr可证得△AOC咨△GD2,再利用可以进一步

证得/G=/E4E=/AFE=/8FG,从而证明结论.

1

A

v

G

图①

完成下面问题：

（1）这一思路的辅助线的作法是：.

（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应

的图形，并写出证明过程）.

28.如图，在△ABC中，AD是高，E、尸分别是A3、AC的中点，AB=8,AC=6.

（1）求四边形的周长；

（2）若NBAC=90。，求四边形AED尸的面积.

V7

29.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,A6C中，若AB=8,

AC=6,求边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下

的解决方法：延长AD到点E,^DE=AE>,请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到汨的理由是.

(2)求得AD的取值范围是.

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分

散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,在ABC中，点。是3c的中点，点M在43边上，点N在AC边上，

若DM1DN,求证：BM+CN>MN.

30.在AASC与ACDE中，ZACB=NCDE=90。,AC=BC=2屈,CD=ED=2,连

接点尸为AE的中点，连接。尸，ACDE绕着点C旋转.

图1图2备用图

(1)如图1,当点。落在AC的延长线上时，DF与BE的数量关系是：:

(2)如图2,当ACDE旋转到点。落在2C的延长线上时，D尸与班是否仍有具有

(1)中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；

1

(3)旋转过程中，若当/日笫=105。时，直接写出D尸的值.

1

参考答案：

1.B

【解析】

【分析】

如图所示，延长AD到E,使。E=AD,连接CE,先证三，ECD,得AB=CE,再

由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围.

【详解】

如图所示，延长AO到E,使。E=AD,连接CE,

是仆ABC中BC边上的中线，

/.BD=CD,

在△钳£）与ECD中,

BD=CD

<ZADB=ZEDC,

AD=DE

/.ABD=.ECD,

:.AB=CE=5f

在，ACE中，由三角形三边关系得：

CE-AC<AE<CE+AC,

AC=3,AE=AD+DE=AD+AD=2AD,

5—3V<5+3,

:.1<AD<4.

【点睛】

本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解

题的关键.

2.C

【解析】

【分析】

延长A。至E,使。然后利用“边角边”证明△A8O和△EC。全等，根据全等三角形

对应边相等可得AB=CE,再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之

差小于第三边求出CE的取值范围，即为48的取值范围.

【详解】

解：如图，延长AD至E,DE=AD,

是△ABC的中线，

：.BD=CD,

在小ABD和4ECD中，

'BD=CD

<NADB=NEDC,

AD=DE

:.AABD名AECD(SAS),

：.AB=CE,

"：AD=1,

；.AE=7+7=14,

V14+5=19,14-5=9,

：.9<CE<19,

即9<AB<19.

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意

两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键.

3.C

【解析】

【分析】

延长5E交CQ延长线于P,可证△AEBZ4CEP,求出。尸，根据勾股定理求出3尸的长,

从而求出的长.

【详解】

解：延长5E交CD延长线于尸，

\'AB//CDf

:・/EAB=/ECP,

在防和△(?£「中，

NEAB=ZECP

<AE=CE

ZAEB=/CEP

：.AAEB^ACEP(ASA)

；・BE=PE,CP=AB=5

又・.,C0=3,

：.PD=2,

BD=4

BP=y/DP^+BD2=2后

：.BE=』BP=下.

【点睛】

考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依

据勾股定理求出BP.

4.A

【解析】

【分析】

延长A。到E,]tAD=DE,证明AAOC四△EO2,然后利用三边关系即可得出结论.

【详解】

解：延长到E,使">=。石=4,连接BE,

•.•。是BC的中点，

：.BD=CD

又/BDE=NCDA

：.△ADgAEDB,

：.BE=AC=3

由三角形三边关系得，AE-BE<AB<AE+BE

即：5<AB<11

故选：A

【点睛】

此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此

题的关键.

5.1<AB<13

【解析】

【分析】

延长至点E,使。证明ASDMECD,由全等性质求出相关的线段长度，在

VC4E中，由AE+AC>EC,AE-AC<EC,代入数值即可得至IJ答案.

【详解】

解：延长至点E,使如下图：

B,'DC

•.•。是BC的中点

：.BD=CD

在△ABD和_ECO中：

BD=CD

•NADB=NEDC

AD=ED

:.ABD三二ECD

：.AB=EC

'：AD=5

：.AE=IO

在VC4E中，由AE+ACAECAE-ACVEC得：7<EC<13

即：7<AB<13

故答案为：7<AB<13

【点睛】

本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解

题关键.

6.4

【解析】

【分析】

延长AE,BC交于点G,判定△ADEgZkGCE,即可得出CG=AD=5,AE=GE,再根据

三线合一即可得到FEJ_AG,进而得出Rt^AEF中，EF=1AF=4.

【详解】

解：如图，延长AE,BC交于点G,

AD

•・•点E是CD的中点，

・・・DE=CE,

•・,平行四边形ABCD中，AD//BC,

・•・ND=NECG,

又・.,NAED=NGEC,

AAADE^AGCE,

・・・CG=AD=5,AE=GE,

又TAE平分NFAD,AD〃BC,

/.NFAE=NDAE=NG=-ZDAF=30°,

2

；.AF=GF=3+5=8,

又YE是AG的中点，

AFEXAG,

在RtAAEF中，NFAE=30。，

/.EF=-AF=4,

2

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综

合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对

应角相等进行推算.

7.⑴〃=6,b=10

(2)2<CD<8

【解析】

【分析】

(1)把+。(％-1)+人展开，然后根据多项式/+4x+5可以写成(x-1)2+a(x-1)

<>

a—2=4

+。的形式，可得1-,即可求解;

(2)延长CD至点区使CD=DH,连接可得△从而得到

BC=AH=a=6f再根据三角形的三边关系，即可求解.

⑴

解：(X—I)?+〃(％—1)+。

=x1—2x+\+ax—a+b

—f+(a—2)x+1—a+b,

根据题意得：x2+4x+5=(x-1)2+。(x-1)+b

a—2=4a=6

。+解得:

1-6=5,b=10；

⑵

解：如图，延长a»至点式使CD=DH,连接AH,

：.BD=AD,

在4。£>8和4HD4中，

,:CD=DH,ZCDB=ZADH,BD=DA,

：.ACDB^AHDA(SAS),

:.BC=AH=a=6,

在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AHf

.,.10-6<2CD<10+6,

2<C£><8.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的

三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题

的关键.

8.(1)2；(2)OE=-CD,理由见解析

2

【解析】

【分析】

(1)由已知条件/8。E=/氏4。，且公共角=OBE^^ABO,进而

列出比例式，代入数值即可求得。2；

(2)延长0E到点凡使得EF=OE,连接AF,FB,证明AA。/也△OOC,进而可得

OF=CD,^OE=-CD

2

【详解】

(1)解：VZBOE=ZBAO,NOBE=ZABO,

:.△OBEsAABO,

.BEOB

,:AB=2拒,E为AB的中点，

BE=y/2

.V2OB

..犷FT

OB=2(舍负).

(2)线段OE和CO的数量关系是：OE=gcD,理由如下，

证明：如图，延长0E到点凡使得EF=OE,连接AB,FB.

'：AE=BE

.,•四边形AFB。是平行四边形,

AF//OB,AF=OB,

AZMO+ZAOB=180°,

•・・ZAOB^-ZCOD=180°,

:./FAO=/COD,

•：OB=OC,

：.AF=OC,

在△AO尸和△DOC中，

OA=OD

</FAO=/COD,

AF=OC

：.AAOF^AODC,

：.OF=CD

：.OE=-CD.

2

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判

定，第(2)小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.

9.(1)SAS；AEDB；BE；2<AD<8；(2)见解析；(3)7.

【解析】

【分析】

(1)根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；

(2)延长EO使。G=EO,连接尸G,GC,根据垂直平分线的性质得到EF=G/，然后利用

SAS证明.或汨丝.CDG,得到3E=CG,ZB=ZDCG,进而得到

NACG=180°-NA=90。,最后根据勾股定理证明即可；

(3)延长交EC的延长线于点尸，根据A&4证明AABD丝AFCD,然后根据垂直平分线

的性质得到AE=CF，最后根据全等三角形的性质求解即可.

【详解】

解：(1)在ADC和△££■中，

AD=ED

•ZADC=NEDB

CD=BD

・・・AADC沿Z\EDB(SAS),

・•・AC=BE=10.

•・・AB=6,

・•・BE-AB<AE<BE+AB,BP10-6<AE<10+6,

J4<AE<16,

・•・4<2AD<16,

解得：2<AZK8；

故答案为：SAS；AEDB；BE；2<AD<8；

(2)如图所示，延长皮)使0G=ED,连接/G,GC,

*.*ZEDF=90,

EF=GF,

在▲瓦史和CDG中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDG

DE=GD

・・・八BDEmACDG(SAS),

；・BE=CG,ZB=ZDCG,

:・AB〃CG,

：.ZACG=180°-ZA=90°,

・•・在心△尸GC中，CG2+FC2=FG2,

BE2+CF2=EF2；

(3)如图所示，延长AD交EC的延长线于点厂,

E

•：AB^BC,EFLBC,

:.ZABD=NFCD,

在△ASD和一FCE)中，

AABD=ZFCD

<BD=CD

NADB=NFDC

:.MBD^AFCD(ASX),

：.CF=AB=3,AD=DF,

ADE=9Q,

/.AE=EF,

EF=CE+AB=5+3=8,

：.AE=8.

【点睛】

此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解

题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形.

10.［探究与发现］见解析；［理解与应用］(1)见解析；(2)Kx<4

【解析】

【分析】

［探究与发现］由ASA证明AABC之△EOC即可；

［理解与应用］(1)延长AE到尸，使EF=EA,连接。死证△OEFgZkCEA(SAS),得

AC=FD,再证AABD丝△AfD(AAS),得BD=FD,即可得出结论；

(2)由全等三角形的性质得A8=AF=2无，再由三角形的三边关系得

AD+BD,即5-3<2尤<5+3,即可求解.

【详解】

解：［探究与发现］

证明：-：DE//AB,

：.ZB=ZD,

y.'：BC=DC,ZACB=ZECD,

：.AABC^AEDC(ASA)；

［理解与应用］

(1)证明：如图2中，延长AE到F,使EF=EA,连接。尸,

A

、•

图2夕

:点E是C。的中点，

；.ED=EC,

在ADEF与ACEA中,

EF=EA

<ZDEF=ZCEA,

ED=EC

：.ADEF^ACEA(5AS),

:・AC=FD,

：.ZAFD=ZCAEf

*：ZCAE=ZB,

：./AFD=/B,

•「AO平分NA4E,

：.ZBAD=ZFAD,

在△A3。与尸。中，

NB=ZAFD

</BAD=ZFAD,

AD=AD

：.AABD^AAFD(AAS),

：.BD=FD,

：.AC=BD；

(2)解：由(1)得：AF=2AE=2x,AABD2AAFD,

：.AB=AF=2x,

"：BD=3,AD=5,

在△AB。中，由三角形的三边关系得：AD-BD<AB<AD+BD,

即5-3<2尤<5+3,

解得：1<%<4,

即x的取值范围是l<x<4.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义

以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题

的关键.

11.见解析

【解析】

【分析】

利用中线加倍证斯丝△CE4(SAS),可得DF=AC=BD,NFDE=NC,由

DC^AC,可得=⑦进而可证/4ZJF=44DB.,再证△心出"人4。尸(SAS)

即可.

【详解】

证明：延长AE到F使EF=AE,连结。尸，

是。C中点，

:.DE=CE,

.••在-DEF和CEA中,

DE=CE

<ZDEF=ZCEA,

EF=EA

:.4DEF空ACEA(SAS'),

：.DF=AC=BD,NFDE=NC,

"：DC=AC,

：.ZADC=ZCAD,

又ZADB=AC+ACAD,

ZADF=ZFDE+ZADC,

ZADF=ZADB,

在△ADD和_AD尸中，

AD=AD

<ZADB=ZADF,

DB=DF

:.△ADBUAADF(SAS),

AB^AF=2AE.

【点睛】

本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，

三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键.

12.(1)①见解析；®1<BD<9；(3)MN=2BD,理由见解析

【解析】

【分析】

(1)①只需要利用SAS证明△即可；

②根据△可得A8=CE,由三角形三边的关系可得CE-3C<BE<CE+3C即

AB-3C<3E<AB+3C贝U2<BE<18,再由5E=23D,可得1<3£><9；

(2),延长BD到E使得。E=B。，同(1)MSRTffiAADE^LCDB,得到

ZDAE=ZDCB,AE=CB,然后证明NBA斤NMBN,则可证△BAE也△MBN得到

MN=BE,MSBE=BD+ED=2BDf可得MN=2BD.

【详解】

解：(1)①,・•5。是三角形ABC的中线，

：.AD=CD,

XVZABD=ZCDE,BD=ED,

：./\CED^/\ABD(SAS)；

②,.•△CEZ)也△ABO,

：.AB^CE,

■:CE-BC<BE<CE+BC,

：.AB-BC<BE<AB+BCBP2<BE<18,

又BE=BD+DE=2BD,

：.1<BD<9；

故答案为：1<BD<9；

B

图I

(2)MN=2BD,理由如下：

如图所示，延长3。到£使得DE=BD,

同(1)原理可证△AOE之△CQB(SAS),

：.NDAE=/DCB,AE=CB,

■:BC=BN,

：.AE=BNf

9：NABM=NNBC=9U。,

：.ZMBN+ZABC=360°-ZABM-ZNBC=180°,

ZABC+ZBAC+ZACB=180°,

ZABC+ZBAC+ZZ)AE=180°,

：.ZBAE+ZABC=1SO°,

：.NBAE=NMBN,

又,：AB=BM,

：.ABAE注AMBN(SAS),

：.MN=BE,

•：BE=BD+ED=2BD,

：.MN=2BD.

M

【点睛】

本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题

的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等.

13.(1)BF=AC；(2)见解析；(3)见解析

【解析】

【分析】

(1)通过证明△3EF/△CE4,即可求解；

(2)过点A引AF〃C。交BE于点凡通过ABFWC4D得到AF=CD,再通过

AFEWCDE即可求解；

(3)过点M作AfT〃AB交3N的延长线于点T,MGAD,在MT上取一点K,使得

MK=CD,连接GK,利用全等三角形的性质证明=DM=MT,即可解决.

【详解】

证明：(1)BF=AC

由题意可得：BE=EC

在跖和CEA中

BE=EC

-NBEF=ACEA

EF=AE

：.△BEFHCEA(SAS)

：.BF=AC

(2)过点A引AF〃CD交班于点尸，如下图:

由题意可得：CDVBC,且NE4F=NACD

则AF_L6C

又・・•AB=AC

JAF平分44C,

:.ZBAF=ZEAF=ZACD

・••在.AB尸和..C4。中

ZABF=ZDAC

<AB=AC

ZBAF=ZACD

：.ABF^CAD(ASA)

：.AF=CD

在△山四和中

ZFAE=ZDCE

<ZAEF=ZCED

AF=CD

：.AAFE^/\CDE(AAS)

：.AE=EC

(3)证明：过点M作MT〃回交5N的延长线于点T,MGAD,在MT上取一点K,

使得MK=CD,连接GK,如下图：

•・・AB//MT

：.ZABN=ZT

•:ZANB=/MNT,AN=MN

：.AANB^AMNT(AAS)

:,BN=NT,AB=MT

MGAD

：.ZADN=ZMGN

・.,ZAND=/MNG,AN=NM

：.AANDdMNG(AAS)

：.AD=MG,DN=NG

：.BD=GT

・.,/BAN=ZAMT,ADAN=4GMN

：.ZBAD=ZGMT

'：ZBAD=ZBCD

：.ZBCD=ZGMK

,:AD=BC,AD=GM

：.BC=GM

又♦：MK=CD

：./\BCDmLGMK(SAS)

：.GK=BD,ZBDC=ZMKG

；.GK=GT,ZMDT=ZGKT

：.ZGKT=ZT

：.DM=MT

AB=MT

：.DM=AB

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

9k

14.(1)见解析；(2)---

k+1

【解析】

【分析】

(1)延长CM至点。，使=可证AAO0三ABDM,由全等三角形的性质从而得

出AC=3D,根据题目己知，可证ADCB三NVCB,由全等三角形的性质从而得出

BN=BD,等量代换即可得出答案；

(2)如图所示，作C0=CP,可证ACPOMAC。。，由全等三角形的性质相等角从而得出

Z1=Z2=Z3,进而得出N4=N5,故可证&VQB三AM9Q等量转化即可求出"的值.

CM

【详解】

(1)如图1所示，延长CM至点。，使00=00,

在ZXACM与.5。暇中，

CM=DM

<ZAMC=ZBMD,

AM=BM

.\AACM=ABDMf

AC=BD,

.2cM=CN,

:.CD=CN,

在DCS与△NCB中，

CD=CN

<4DCB=/NCB,

CB=CB

:2CB三处1CB,

BN=BD,

AC=BN；

D

A

(2)如图所示，ZAMC=120°,

:.ZCMN=60°f

NP平分ZMNC,ZBCN=/BCM,

/PNC+ZBCN=-ZAMC=60°,

2

.•."ON=120。，ZCOP=60°,

ZCMN+ZBOP=180°,作CQ=CP,

在△CPO与中，

CQ=CP

<ZQCO=ZPCO,

CO=co

AC尸ON\CQO,

.\Z1=Z2=Z3,

.•./4=N5,

在.M阳与二M9Q中，

'Z4=Z5

</BNO=ZQNO,

NO=NO

ANOB=ANOQ,

BN=NQ,

:.CN=CP+NB,

y

:.2CM=CP+AC,

设AC=a,

【点睛】

本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

313

15.(1)AB-AC<2AD<AB+AC,(2)-<AD<—

22

【解析】

【分析】

(1)延长AD至E,使AD=DE,连接BE,然后再证明"8咨,根据全等

三角形的性质可得4。=3万，再根据三角形的三边关系可得AB-BEcAEvAB+BE,利

用等量代换可得AB_AC<2A£><AB+AC；

(2)把A5=8cm,AC=5cm代入(1)的结论里，再解不等式即可.

【详解】

(1)证明：如图延长45至E,使DE=AD,连接BE,

：AD为。A6C中BC边上的中线,

DC=BD,

在△AC。和△£»£)中:

DC=BD

ZADC=NBDE,

AD=DE

/.△AC£>四△£BQ（SAS）,

AC=BE（全等三角形的对应边相等），

在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB-BEcAEcAB+BE,

即AB-AC<2AD<AB+AC；

E

（2）解：AB=8cm,AC=5cm,

由（1）可得AB-AC<2AZ><AB+AC,

8-5<2A£><8+5,

313

：.-<AD<—.

22

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三

角形是解题关键.

16.（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用“倍长中线”法，延长AQ,然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；

（2）取。E中点连接A”并延长至。点，使得连接QE和。C,通过“倍长

中线”思想全等证明，进而得到A2=CQ,AD=EQ,然后结合三角形的三边关系建立不等式

证明即可得出结论；

（3）同（2）处理方式一样，取。E中点连接AM并延长至N点，使得连

接NE,CE,结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即

可得出结论.

【详解】

证：(1)如图所示，延长至尸点，使得4。=尸。，连接CP,

是AABC的中线，

二。为BC的中点，BD=CD,

在AAB。与△PC。中，

BD=CD

<NADB=ZPDC

AD=PD

：.AABD^APCD(SAS),

：.AB=CP,

在AAPC中，由三边关系可得AC+POAP,

AB+AO2AD；

(2)如图所示，取DE中点打，连接并延长至。点，使得AH=QH,连接QE和。C,

为。E中点，D、E为8c三等分点，

：.DH=EH,BD=DE=CE,

：.DH=CH,

在初和△℃//中，

BH=CH

<NBHA=ZCHQ

AH=QH

.♦.△ABH妾△QCH(SAS)，

同理可得：&ADH9丛QEH,

：.AB=CQ,AD=EQ,

此时，延长AE,交CQ于K点，

,：AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

：.AC+CQ>AK+QK,

又AK+QK=AE+EK+QK,EK+QK>QEf

：.AK+QK>AE^QE,

・・・AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

*：AB=CQ,AD=EQ,

：.AB+AC>AD+AE^

BD

Q

(3)如图所示，取DE中点M,连接AM并延长至N点，使得AM=NM,连接NE,CE,

・・・M为。E中点，

：.DM=EM,

•；BD=CE,

；.BM=CM,

在△ABM和△”?河中，

BM=CM

<ZBMA=ZCMN

AM=NM

：.AABMZANCM(SAS),

同理可证△ADM之ANEM,

：.AB=NCfAD=NE,

此时，延长AE,交CN于T点，

9：AC+CN=AC+CT+NT,AC+CT>AT,

:.AC+CN>AT+NT,

又•：AT+NT=AE+ET+NT,ET+NT>NE,

：.AT+NT>AE+NE,

:.AC+CN>AT+NT>AE+NE,

•:AB=NC,AD=NE,

<>

AB+AOAD+AE.

【点睛】

本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运

用三角形的三边关系是解题关键.

17.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)延长AD至点E,使瓦>=">.由为中线可知如=8,即易证

ABDNCD(SAS),得出AB=EC.利用三角形三边关系可知AC+EC>AE,即可证明

AC+AB>2AD.

(2)延长即至点G,使OG=ED,连接CG,EG.由AD为中线可知3D=CD.即易证

BDE三CDG(SAS),得出鹿=CG.由题意可得NEZ>=NGZ)尸=90。，即易证

EDF=^GDF(SAS),得