中考数学专项复习：正比例函数和反比例函数 知识归纳与题型突破（16类题型清单）原卷版

第十八章正比例函数和反比例函数知识归纳与题型突破

（16类题型清单）

01思维导图

02知识速记

知识点1.变量与函数

（1）变量和常量的定义：

在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量.

（2）方法：

①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否

在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；

②常量和变量是相对于变化过程而言的.可以互相转化；

③不要认为字母就是变量，例如n是常量.

（3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量尤与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与

其对应，那么就说y是尤的函数，尤是自变量.

说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；

③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应.

知识点2.函数的定义域与函数值

1.函数自变量的取值范围(定义域)

自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.

①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数.例如y=2x+13中的x.

②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2x-1.

③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.

④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.

2.函数值

函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值.

注意：①当己知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应

的自变量的值就是解方程；

②当自变量确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个.

知识点3.正比例函数

(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零)，那么就说这两个变量成正比

例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是工=左，或表示为y=(x不等于0),左是不等于零

X

的常数.

(2)解析式形如y=fcc(左是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数，其中常数上叫做比例系数.正比例

函数、=区的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.

知识点4.正比例函数的图像

1.一般地，正比例函数＞=丘(左是常数，左力0)的图象是经过(0,0),(1,外这两点的一条直线，我们

把正比例函数y=履的图象叫做直线y=fcc；

2.图像画法：列表、描点、连线.

知识点5.正比例函数的性质

(1)当左＞0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐

增大.

(2)当人＜0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐

减小.

知识点6.反比例函数

1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例.用

数

学式子表示两个变量x、y成反比例，就是孙=左，或表示为y=4,其中左是不等于0的常数.

2、解析式形如y=A（左是常数，左*0）的函数叫做反比例函数，其中人称也叫做比例系数.

k

3、反比例函数y='的定义域是不等于零的一切实数.

知识点7.反比例函数的图像和性质

1、反比例函数y=A（左是常数，k/0）的图像叫做双曲线，它有两支.

X

2、当左＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增

大时，y的值随着逐渐减小.

3、当左＜0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增

大时，y的值随着逐渐增大.

4、图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交.

知识点8.用待定系数法求反比例函数解析式

将点坐标代入反比例函数的解析式即可求到反比例函数的解析式；

03题型归纳

题型一常量与变量

1.小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化.则下列

判断正确的是（）

240.56金■/元

|31放量/升

|7.77单价/（元/升）

A.金额是自变量B.单价是自变量

C.7.76和31是常量D.数量是自变量

2.在三角形面积公式S=gah,a=2中，

下列说法正确的是（）

2

A.S,a是变量，—,h是常量

2

B.S,h是变量，；是常量

C.S,h是变量，丁，a是常量

2

D.S,h,a是变量，彳是常量

2

4

3.球的体积V与半径R之间的关系式为V=§;rR3,下列说法正确的是（)

44

A.变量为V,R,常量为§万，3B.变量为V,R,常量为兀

4

C.变量为V,R,兀，常量为ID,变量为V,R3,常量为兀

巩固训练

1.对圆的周长公式的说法正确的是（）

A.r是变量，2是常量B.C,r是变量，2是常量

C.r是变量，2,C是常量D.C是变量，2,r是常量

2.长方形一条边的长度为M0<x<10）厘米，其周长为20厘米，面积为'平方厘米，则丫与了之间的关系

可以表示为.

3.如图1,已知八边形ABCDEFG//相邻的两边互相垂直，且=DC=DE,动点尸从八边形顶

点A出发，沿着八边形的边以每秒acm的速度逆时针运动，当尸运动到点E时调头，以原来的速度原路返

回，到A点处停止运动.右八阳的面积为Hen?）,运动时间为秒），S与f的图象如图2所示，请回答

以下问题:

A.v(cm)

科，

（1）AB=cm,DE=cm,a=cm/s；

（2）当点P第一次在边CO上运动时，求S与才的关系式；

（3）点尸在返回过程中，当时间t为何值时，△的为等腰三角形？请直接写出f的值.

题型二函数解析式

4.为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的

单价是尤元/个，其y与x的函数关系式为（）

A.y=200xB.y=c.y=x+200D.y=x-200

尤

5.如图，要围成一个长方形场地，场地的一边AD利用足够长的墙，另外三边用篱笆围成，篱笆的总长恰

好为24米.设BC边的长为尤米，A3边的长为y米，则y与尤之间的函数关系式是（）

AD

B】------------------'C

A.y=-2x+24B.y=--x+12

2

D.y=」尤-12

C.y=2x-24

2

6.在烧开水时，水温达到100。。水就会沸腾.下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间”min)

和水温7(℃)的数据:

时间t/min02468101214

温度T/°C3044587286100100100

在水烧开之前(BPr<10),水温T与时间f之间的关系式为()

A.T=7f+30B.T=16r+30C.7=14/76D.T=30r-16

巩固训练

1.银行存款，一年定期年利率为r,取款时还要上交20%的利息税，某人存一年定期无元，到期后所得本

金与利息之和为y元，则y与x之间的函数关系为()

A.y=(l+r)xB.y=(l+r)x80

C.y=(l+rx80%)无D.y=(l+r)x20

2.按如图方式摆放餐桌和椅子.用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数.则两个变量之间的函数关

系式是_______

3.某茶叶销售商计划将120罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售

价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价30。元，恰好全部装完.已知每罐茶叶的成本价为30元，

设甲种礼品盒的数量为x盒，乙种礼品盒的数量为，盒.

(1)求>关于x的函数关系式；

(2)若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒的数量至少要多少盒？

题型三求自变量的取值范围

7.函数>=在三中自变量x的取值范围是（）

X+1

A.且1B.x<2

C.xw—lD.-l<x<2

8.函数y=5/§7二^中，自变量x的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x>—2

9.函数y=中，自变量x的取值范围是（）

A.x>—1B.—C.—l《xv2D.xv2

巩固训练

1.函数y=Y三中，自变量X的取值范围是（

)

x-2

A.x>-3B.x>2C.xN—3D.且xw2

1

2.函数》二万二三十?/中，自变量x的取值范围是______.

yJX-2

3.求下列函数中自变量的取值范围：

/z-)\Jx+1

⑴y=Jx+3(2)y=——-

x-5

题型四求函数值

10.当x=—l时，函数y=J-2x+l的值是()

A.1B.-1c.及D.不

11.当x=l时，函数y=2/-4的值是（)

A.-2B.-4c.2D.4

12.已知变量s与f之间的关系式是s=6t-:产，

则当f=2时,s的值是()

A.1B.2c.3D.-4

巩固训练

3

1.变量y与x之间的关系式为y=：%+2,当自变量x=2时，因变量y的值是（）

A.-2B.-1C.1D.5

—x+1,（x<1）

2.已知函数丫二｝.？（x>l），若彳=一3，则》的值为.

（1）观察图形并补全下表:

链条节数236

链条长度/cm

（2）如果x节链条的总长度是Am,那么y与x之间的关系式为一

（3）如果该自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是

多少？

题型五函数图象

13.下列各图象中，v是x的函数的是（）

14.汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速公路，继续以100千米/时的速度匀速

行驶，则下列图象中能近似地刻画汽车行驶路程y（千米）与时间无（时）之间关系的是（）

巩固训练

1.下列图象中，表示y是x的函数的是（）

2.如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像.其中横坐标x表示时间,

纵坐标y表示二氧化碳的含量，贝Uy（填“是"或"不是'）x的函数.

3.如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往。地，图中的折线A3C和线段EF分别表示甲与乙所行驶的

路程s和时间/的关系.根据图象回答下列问题：

（2）甲出发小时后，乙才开始出发;

（3）甲在BC段路程中的平均速度是千米/小时；乙的平均速度是千米/小时;

（4）根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲.

题型六正比例函数的定义

16.已知函数y=（3）/7是正比例函数，则加的值为（）

A.-3B.3C.±3D.9

17.己知关于x的函数丁=（加一2）婷+1一4是正比例函数，贝机-〃产3的值为（）

A.0B.1C.-1D.3

18.已知函数y=（1-3加）龙+；-〃，是正比例函数，那么机的取值是（）

A.—B.C.±-D.任意实数

巩固训练

1.如果函数y=（a+2）4+”是正比例函数，那么（）

A.a=—2或〃=0B.a=—2C.a=0D.a=l

2.已知y+2与X成正比例，当％=1时，y=2,则V与X的函数关系式为—

3.已知y是关于X的正比例函数，当了=-2时，>=3.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）若点（。,-3）是该函数图象上的一点，求。的值.

题型七正比例函数的图象与性质

X

19.已知正比例函数y=w，下列结论正确的是（）

A.图象是一条射线B.图象必经过点（-1,2）

C.y随x的增大而减小D.图象经过第一、三象限

20.已知点4（2,%）,3。,%）均在正比例函数y=（"2-3"的图象上，且％〉必，则根的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.m<0D.m>0

21.正比例函数y=（左+l）x,若y的值随x值增大而减小，则上的取值范围是（）

A.k>—lB.k<—lC.左v0D.左=0

巩固训练

1.已知正比例函数y=下列结论正确的是（）

A.图象是一条射线B.图象必经过点（L2）

C.图象经过第一、三象限D.丫随》的增大而减小

2.在平面直角坐标系中，线段A5的两个端点坐标分别为4（2,4）,3（-1,1）.若正比例函数y=»u（"#0）的

图象与线段A8有公共点，则机的取值范围是.

3.已知y与x成正比例，且当尤=一1时，y=5.

（1）求y与X之间的函数关系式；

（2）设点（％3）在这个函数的图象上，求相的值.

题型八根据反比例函数的定义求参数

22.在反比例函数>=上；中，自变量x的取值范围为（）

x+2

A.x>-2B.x<-2C.xw—2D.全体实数

23.关于反比例函数y=?■的说法正确的是（）

2x

A.k=5

B.y随工的增大而减小

C.其图象关于V轴对称

D.若点（“,6）在其图象上，则湖=g

24.已知函数y=（m+l）尤'""2是反比例函数，则加的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.任意实数

巩固训练

1.若函数y=是反比例函数，且x>0时，'随x的增大而减小，则〃的值是（）

A.±1B.1C.-1D.不能确定

2.已知函数y=（加+2）/3是关于x的反比例函数，则加的值是.

3.已知函数y=（疗+2〃，无"‘一"I.

⑴若y是x的正比例函数，则m的值为；

（2）若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为.

题型九求反比例函数值

25.已知反比例函数y=：（4中0）的图象经过点（-1,6）,那么该反比例函数图象也一定经过点（）

A.(3,2)B.(1,6)C.(-2,3)D.(-1,-6)

12

26.当尤=-3时，反比例函数y：=--的函数值为（）

X

A.--B.4C.-4D.J

44

27.已知y与工成反比例，且当x=—2时，y=2,那么当x=4时，y的值为（)

A.-2B.8C.—D.—1

2

巩固训练

1.点A（Ta）在反比例函数y=2-0工22上，下列说法错误的是（）

x

A.a=2022B.函数的图象位于第二、四象限

C.函数值y随自变量x的增大而增大D.反比例函数y=-*2022有两条对称轴

x

2.在平面直角坐标系中，若反比例函数y=：（4片0）的图像经过点（2024/）和（-2024,%）,则M+%的值

是.

3.已知反比例函数>=幺的图象经过点41,4）.

X

沙

5-

4-

3-

2-

1-

।।।।।_______11111A

-5-4-3-2-10,12345x

-2-

-3-

-4-

一5-

⑴求该反比例函数的关系式；

⑵画出反比例函数y='的图像；

X

⑶当i<x<4时，y的取值范围.

题型十反比例函数的增减性

28.在反比例函数>=勺口图象的每一支曲线上y都随x的增大而减小，则左的取值范围是（）

A.k>3B.k>0C.k<3D.k<0

29.点（2a-l,yJ、（。,%）在反比例函数〉=£他>。）的图象上，若。<%<%，则。的取值范围是（）

A.a<lB.«>1C.a<—lD.a>—\

30.己知点A（—LyJ,8（1,%）都在双曲线y=一上，且％<%，则根的取值范围是（）

A.m<0B.m>0C.m>—3D.m<—3

巩固训练

1.己知A（-Lx）、8（2,%）两点在双曲线>=二”上，且％<%，则，"的取值范围是（）

A.m<0B.m>0C.m>一一D.m<一一

33

2.已知点4（4%）,网9,%）为反比例函数>=匕网图象上的两点，当再<0〈尤2时，%>%,则根的取

X

值范围为.

3.己知反比例函数'==（优为常数，且”*3）.

（1）若在其图像的每一个分支上，y随x增大而增大，求加的取值范围；

⑵若点4（机+1,2）、3（4,"）均在该反比例函数的图像上；

①求777、〃的值；

②当X2T时，直接写出p的取值范围.

题型十一已知双曲线分布的象限求参数范围

31.如图是反比例函数>='的图象，下列说法正确的是（）

X

B.在每个象限内，y随x的增大而增大

C.若4（一1,〃），3（2㈤在图象上，则［〈左

D.若P（x,y）在图象上，则P（-x,y）也在图象上

“一1

32.若反比例函数y（左是常数）的图象在第二、第四象限，则上的取值范围是（）

X

A.左>0B.k<0C.k>lD.k<l

2m—1

33.若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则根的取值范围是（）

X

11

A.m<—B.m>—C.m<—D.m>4

2222

巩固训练

1.在平面直角坐标系中，点A（-2,l）,5（3,2）,C（-6,"z）分别在三个不同的象限.若反比例函数＞心0）

的图象经过其中两点，则根的值为（）

A.—B.—C.—1D.1

33

2.若反比例函数y=±k的图象分布在第二、四象限，则上的取值范围是.

X

6—m

3.已知反比例函数y=——,当优为何值时：

x

（1）函数的图象在第二、四象限？

（2）在每个象限内，y随x的增大而减小？

题型十二反比例函数的k值意义

k

34.如图，反比例函数在第一象限，△043的面积是L5,则反比例函数＞=—中，%是（）

k

35.如图，平行四边形的顶点8在x轴上，点A在＞住＜0）上，且轴，对角线的延长线交y

轴于点E,若SBCE=3,贝心=（）

36.如图，点A在反比例函数y=—的图象上，AB/x轴于点8,点C在x轴上，且CO:QB=3:2.NABC

x

的面积为10,则左的值为（）

巩固训练

1.如图，CD，x轴，垂足为。，。。,8分别交双曲线〉=人于点4B,若。4=AC,.0C3的面积为6,

2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=£(k>0,x>0)的图象上有A,8两点，它们的横坐标分别为

k3

3.如图，两个反比例函数y=9和>=三在第一象限内的图象依次是C1和C”设点尸在C1上，PCLx轴

xx

于点C,交C?于点A,尸DJ_y轴于点。，交CZ于点8,若四边形E4C®的面积为5,求上的值.

题型十三求反比例函数解析式

37.如果一个三角形的面积为10,底边长为无，底边上的高为y,则y与尤的函数表达式为（）

10r5〃20x

AA.>=—B.y=-C.y=——D.y=—

xxx20

38.如图，反比例函数y=A（左wo）的图象的一个分支上有一点A,AB平行于X轴，交丫轴于点8,ABO

X

的面积是1,则反比例函数的表达式是（

C.y=—或y=——D.y=—

2xxxx4x

39.如图，某个反比例函数的图象（仅有这一支）经过点（-U）,则它的解析式为（）

A.y=-B.y=~—C.y=L(x<0)D.y=——(x<0)

xxxx

巩固训练

1.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积

和气体对汽缸壁所产生的压强，如表所示:

体积x/mL10080604020

压强y/桃。6075100150300

则可以反映，与X之间的关系的式子是（）

AA.y=Q3n0n0n0xBn.y=6火0八0八0八%cC.y=-3-0-0--0D.y=-6-0-0--0

XX

2.如图，点C、E在坐标轴上，矩形OCDE分别交某反比例函数于点RG,OC=6,OE=4,△（?旧G的

面积为9,则该反比例函数解析式为.

x

⑴若点A（L-2）在这个函数的图象上，求左的值；

（2）若k=5,试判断点B,8］是否在这个函数的图象上，并说明理由.

题型十四实际问题与反比例函数

40.甲、乙两地相距100km,汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间f（单位：h）与行驶速度v

（单位：km/h）之间的函数图像是（）

41.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压°（单位：kPa）是气体体积V（单

位：m3）的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，

气球的体积应（）

7933

A.不大于—n?B.不小于—n?C.不大于3m3D.不小于3m'

3322

42.如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升2（TC,加热到100℃,停止加热，水温开始下降,

此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系.当水温降至200C时，饮水机再自动加热，若水温在2CTC时

接通电源，水温y与通电时间尤之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（）

A.水温从20。。加热到100℃,需要4min

B.水温下降过程中，y与尤的函数关系式是>

X

C.上午10点接通电源，可以保证当天10:3。能喝到不低于38℃的水

D.在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min

巩固训练

1.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示

的是该台灯的电流〃A.与电阻R（Q）的关系图象，该图象经过点「（880,0.25）.根据图象可知，下列说法

正确的是（）

B./与R的函数关系式是/=若（R>0）

C.当R>1000时，I>0.22

D.当880<R<1000时，I的取值范围是0.22</<0.25

2.如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：Q）是反比例函

数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过12A,那么用电器可变电

阻R应控制的范围是

图1图2

3.某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫

克/百毫升）与时间时）的关系可近似的用如图所示的图象表示.国家规定，人体血液中的酒精含量大

不能驾车上路.

（1）求部分双曲线BC的函数表达式;

（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00能否驾车出行?

请说明理由.

题型十五反比例函数与几何综合

43.已知矩形ABC。，A（4,0）,C（0,2）,函数y=*>0）的图象经过矩形对角线交点，交3c于“，则

的值为（）

A.3B.—C.4D.1

3

44.如图，在平面直角坐标系中，过y=：(%>0)的图象上点A,分别作x轴、y轴的平行线交y=-嚏的图

象于8、。两点，以AB、AD为邻边的矩形ABC。被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为5、S2,S、

Q

45.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A在函数y=、(％>0)的图象上，过点A作y轴的垂线

k

交函数)='(%<0)的图象于点以连结。4、OB.若的面积