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文档简介

陕西省安康市汉滨高中2025届高考数学必刷试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是()A. B.C. D.2.如图,在矩形中的曲线分别是,的一部分,,,在矩形内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为,取自非阴影部分的概率为,则()A. B. C. D.大小关系不能确定3.已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是()A. B. C. D.4.在中,“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°6.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴7.过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线,若与轴的交点坐标为,则该双曲线的标准方程可能为()A. B. C. D.8.盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后放回,此时盒中黑球的个数,则()A., B.,C., D.,9.设等差数列的前项和为,若,则()A.10 B.9 C.8 D.710.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A. B.C. D.11.已知为两条不重合直线,为两个不重合平面,下列条件中,的充分条件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.12.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,若向量与向量平行,则实数___________.14.在中,,,,则__________.15.甲、乙两人同时参加公务员考试,甲笔试、面试通过的概率分别为和;乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试面试都通过才被录取,且甲、乙录取与否相互独立,则该次考试只有一人被录取的概率是__________.16.已知函数是偶函数,直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A,B,C,D.若AB=BC,则实数t的值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求证:当时,;(2)若对任意存在和使成立,求实数的最小值.18.(12分)已知函数,其中为自然对数的底数.(1)若函数在区间上是单调函数,试求的取值范围;(2)若函数在区间上恰有3个零点,且,求的取值范围.19.(12分)设函数.(1)解不等式;(2)记的最大值为,若实数、、满足,求证:.20.(12分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.21.(12分)已知函数.(1)当时,判断在上的单调性并加以证明;(2)若,,求的取值范围.22.(10分)已知矩形中,,E,F分别为,的中点.沿将矩形折起,使,如图所示.设P、Q分别为线段,的中点,连接.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析:由题意知,当时,由,当且仅当时,即等号是成立,所以函数的最小值为,当时,为单调递增函数,所以,又因为,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故选C.考点:函数的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查,试题思维量大,属于中档试题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键.2、B【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积,再根据几何概型概率公式可求得.【详解】根据题意,阴影部分的面积的一半为:,于是此点取自阴影部分的概率为.又,故.故选B.【点睛】本题考查了几何概型,定积分的计算以及几何意义,属于中档题.3、A【解析】

建立平面直角坐标系,求出直线,设出点,通过,找出与的关系.通过数量积的坐标表示,将表示成与的关系式,消元,转化成或的二次函数,利用二次函数的相关知识,求出其值域,即为的取值范围.【详解】以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设,则直线,设点,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函数的图像知,,所以的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用,以及转化与化归思想的运用.4、D【解析】

通过列举法可求解,如两角分别为时【详解】当时,,但,故充分条件推不出;当时,,但,故必要条件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题5、C【解析】

如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.6、A【解析】

根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.7、A【解析】

直线的方程为,令,得,得到a,b的关系,结合选项求解即可【详解】直线的方程为,令,得.因为,所以,只有选项满足条件.故选:A【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程,考查运算求解能力.8、C【解析】

根据古典概型概率计算公式,计算出概率并求得数学期望,由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球,所以.表示取出一个黑球,,所以.表示取出两个球,其中一黑一白,,表示取出两个球为黑球,,表示取出两个球为白球,,所以.所以,.故选:C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算,属于中档题.9、B【解析】

根据题意,解得,,得到答案.【详解】,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.10、A【解析】

由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为,如图:的外接圆的圆心为斜边的中点,,且平面,,的中点为外接球的球心,半径,外接球表面积.故选:A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.11、D【解析】

根据面面垂直的判定定理,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A,当,,时,则平面与平面可能相交,,,故不能作为的充分条件,故A错误;对于B,当,,时,则,故不能作为的充分条件,故B错误;对于C,当,,时,则平面与平面相交,,,故不能作为的充分条件,故C错误;对于D,当,,,则一定能得到,故D正确.故选:D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题,属于基础题.12、A【解析】

根据题意,画出几何位置图形,由图形的位置关系分别求得的值,即可比较各选项.【详解】如下图所示,平面,从而平面,易知与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∴结合四个选项可知,只有正确.故选:A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题可得,因为向量与向量平行,所以,解得.14、1【解析】

由已知利用余弦定理可得,即可解得的值.【详解】解:,,,由余弦定理,可得,整理可得:,解得或(舍去).故答案为:1.【点睛】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.15、【解析】

分别求得甲、乙被录取的概率,根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】甲被录取的概率;乙被录取的概率;只有一人被录取的概率.故答案为:.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题,属于基础题.16、【解析】

由是偶函数可得时恒有,根据该恒等式即可求得,,的值,从而得到,令,可解得,,三点的横坐标,根据可列关于的方程,解出即可.【详解】解:因为是偶函数,所以时恒有,即,所以,所以,解得,,;所以;由,即,解得;故,.由,即,解得.故,.因为,所以,即,解得,故答案为:.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质,考查学生的计算能力,属中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】

(1)不等式等价于,设,利用导数可证恒成立,从而原不等式成立.(2)由题设条件可得在上有两个不同零点,且,利用导数讨论的单调性后可得其最小值,结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.【详解】(1)设,则,当时,由,所以在上是减函数,所以,故.因为,所以,所以当时,.(2)由(1)当时,;任意,存在和使成立,所以在上有两个不同零点,且,(1)当时,在上为减函数,不合题意;(2)当时,,由题意知在上不单调,所以,即,当时,,时,,所以在上递减,在上递增,所以,解得,因为,所以成立,下面证明存在,使得,取,先证明,即证,令,则在时恒成立,所以成立,因为,所以时命题成立.因为,所以.故实数的最小值为.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用,前者注意将欲证不等式合理变形,转化为容易证明的新不等式,后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质,再利用导数研究该性质,本题属于难题.18、(1);(2).【解析】

(1)求出,再求恒成立,以及恒成立时,的取值范围;(2)由已知,在区间内恰有一个零点,转化为在区间内恰有两个零点,由(1)的结论对分类讨论,根据单调性,结合零点存在性定理,即可求出结论.【详解】(1)由题意得,则,当函数在区间上单调递增时,在区间上恒成立.∴(其中),解得.当函数在区间上单调递减时,在区间上恒成立,∴(其中),解得.综上所述,实数的取值范围是.(2).由,知在区间内恰有一个零点,设该零点为,则在区间内不单调.∴在区间内存在零点,同理在区间内存在零点.∴在区间内恰有两个零点.由(1)易知,当时,在区间上单调递增,故在区间内至多有一个零点,不合题意.当时,在区间上单调递减,故在区间内至多有一个零点,不合题意,∴.令,得,∴函数在区间上单凋递减,在区间上单调递增.记的两个零点为,∴,必有.由,得.∴又∵,∴.综上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到函数的单调性、零点问题,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.19、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)采用零点分段法:、、,由此求解出不等式的解集;(2)先根据绝对值不等式的几何意义求解出的值,然后利用基本不等式及其变形完成证明.【详解】(1)当时,不等式为,解得当时,不等式为,解得当时,不等式为,解得∴原不等式的解集为(2)当且仅当即时取等号,∴,∴∵,∴,∴(当且仅当时取“”)同理可得,∴∴(当且仅当时取“”)【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式,难度一般.(1)常见的绝对值不等式解法:零点分段法、图象法、几何意义法;(2)利用基本不等式完成证明时,注意说明取等号的条件.20、(1)单调递增区间为,单调递减区间为(2)的取值范围是;对应的的值为.【解析】

(1)当时,求的导数可得函数的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,利用导函数,可得的范围,再表达,构造新函数可求的取值范围,从而可求取到最小值时所对应的的值.【详解】(1)函数由条件得函数的定义域:,当时,,所以:,时,,当时,,当,时,,则函数的单调增区间为:,单调递减区间为:,;(2)由条件得:,,由条件得有两根:,,满足,△,可得:或;由,可得:.,函数的对称轴为,,所以:,;,可得:,,,则:,所以:;所以:,令,,,则,因为:时,,所以:在,上是单调递减,在,上单调递增,因为:,(1),,(1),所以,;即的取值范围是:,;,所以有,则,;所以当取到最小值时所对应的的值为;【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题,考查利用导数求函数的最值,体现了转化的思想方法,属于难题.21、(1)在为增函数;证明见解析(2)【解析】

(1)令,求出,可推得,故在为增函数;(2)令,则,由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数的取值范围.【详解】(1)当时,.记,则,当时,,.所以,所以在

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