北师版九年级数学上册期末复习考题猜想 专题02 一元二次方程（考题猜想易错必刷31题11种题型专项训练）

专题02一元二次方程（易错必刷31题11种题型专项训练）一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式一元二次方程的解解一元二次方程-直接开平方法根的判别式根与系数的关系由实际问题抽象出一元二次方程一元二次方程的应用解一元二次方程-配方法配方法的应用解一元二次方程-因式分解法一．一元二次方程的定义（共2小题）1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对2．下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2＝1 B． C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0二．一元二次方程的一般形式（共1小题）3．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10三．一元二次方程的解（共1小题）4．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30

四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）5．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝．若x※2＝5，则x的值为．五．解一元二次方程-配方法（共2小题）6．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝57．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（）A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或六．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）8．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是．9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为．10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．七．根的判别式（共5小题）11．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或3612．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠113．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根14．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．八．根与系数的关系（共3小题）16．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则的值为（）A． B．﹣3 C． D．﹣17．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（）A． B．1 C． D．18．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝．九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）19．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝18220．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10一十．一元二次方程的应用（共7小题）21．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请队参赛．22．北京时间2022年8月19日，2021﹣22赛季中国初中篮球联赛全国总决赛落幕，明德华兴中学获得男子组全国总冠军．小组预赛赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），总共有15场比赛，请问每个小组有支球队打比赛．23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得，解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2，∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为；（2）分式不等式的解集为；（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．25．盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如表．设该超市采购x盆A种盆栽．品名批发市场批发价：元/盆盆栽超市零售价：元/盆A种盆栽1219B种盆栽1015（1）直接写出该超市采购费用y（单位：元）与x（单位：盆）的函数关系式；（2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；（3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了2m元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值．26．随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2019年底拥有家庭轿车64辆，2021年底家庭轿车的拥有量达到100辆．（1）若该小区2019年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2022年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车压力，该小区决定投资15万元，全部用于建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位0.5万元/个，露天车位0.1万元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？27．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元．为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台．（1）专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？（2）为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台A空调，60台B空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店A空调每台利润180元，B空调每台利润160元；乙连锁店A空调每台利润150元，B空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的A空调每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台A空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B空调利润，设调往甲连锁店的A型空调m台，总利润为y元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？一十一．配方法的应用（共4小题）28．先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．（1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长．29．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．问题：（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．知识迁移：（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．30．阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式x2+2x﹣4的最小值．x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5．再例如：求代数式﹣3x2+6x﹣4的最大值．﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1．可知当x＝1时，﹣3x2+6x﹣4有最大值．最大值是﹣1．【直接应用】（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+；（2）代数式x2+8x+11的最小值为；【类比应用】（3）试判断代数式a2+2b2+11与2ab+2a+4b的大小，并说明理由；【知识迁移】（4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积．31．阅读以下材料：如果两个正数a、b，即a＞0、b＞0，由完全平方式的非负数性质可得：∵（当即a＝b时，取等号），∴∴（当且仅当a＝b时取等号）结论：对任意两个正数a，b，都有；上述不等式当且仅当a＝b时等号成立．当这两个正数a，b的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数a，b的和的最小值．例如：当x为正数时，两数x和均为正数，且（常数），则有当且仅当即x＝2时取等号∴当x＝2时，有最小值，最小值为4．利用以上结论完成下列问题：（1）已知m为正数，即m＞0，则当m＝时，取到最小值，最小值为；（2）当y、x均为正数，即y＞0，x＞0时，求函数的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

专题02一元二次方程（易错必刷31题11种题型专项训练）一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式一元二次方程的解解一元二次方程-直接开平方法根的判别式根与系数的关系由实际问题抽象出一元二次方程一元二次方程的应用解一元二次方程-配方法配方法的应用解一元二次方程-因式分解法一．一元二次方程的定义（共2小题）1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对【答案】C【解答】解：由一元二次方程的定义可知，解得m＝﹣3．故选：C．2．下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2＝1 B． C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0【答案】C【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、当abc是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．二．一元二次方程的一般形式（共1小题）3．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【答案】D【解答】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，故选：D．三．一元二次方程的解（共1小题）4．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30【答案】D【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0，∴α2＝2α+4∴α3+8β+6＝α•α2+8β+6＝α•（2α+4）+8β+6＝2α2+4α+8β+6＝2（2α+4）+4α+8β+6＝8α+8β+14＝8（α+β）+14＝30，故选：D．四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）5．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝．若x※2＝5，则x的值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：分两种情况：当x＜2时，∵x※2＝5，∴x2﹣2×2＝5，∴x2＝9，∴x1＝3（舍去），x2＝﹣3；当x≥2时，∵x※2＝5，∴22﹣2x＝5，解得：x＝﹣（舍去）；综上所述：x的值为﹣3，故答案为：﹣3．五．解一元二次方程-配方法（共2小题）6．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5【答案】A【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，故选：A．7．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（）A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或【答案】B【解答】解：分两种情况：当x＞﹣x时，即x＞0时，∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，∴x＝x2﹣3x﹣5，整理得：x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，x1＝5，x2＝﹣1（舍去）；当x＜﹣x时，即x＜0时，∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，∴﹣x＝x2﹣3x﹣5，整理得：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，x﹣1＝或x﹣1＝﹣，x1＝1+（舍去），x2＝1﹣；综上所述：x＝5或x＝1﹣，故选：B．六．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）8．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是13．【答案】见试题解答内容【解答】解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，故答案为：13．9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为x1＝2，x2＝﹣1．【答案】x1＝2，x2＝﹣1．【解答】解：∵min{x，x﹣1}＝x2﹣3，∴x﹣1＝x2﹣3，整理得：x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，解得：k≤2，又因为k是二次项系数，所以k≠0，所以k的取值范围是k≤2且k≠0．（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以把x＝2代入方程，可得k＝，所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，解得：x1＝2，x2＝，所以BC的值是．七．根的判别式（共5小题）11．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【答案】A【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1【答案】D【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，解得k≥且k≠1．故选：D．13．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝1+8k2．∵对于任意实数k都有k2≥0，∴8k2≥0．∴1+8k2≥1．∴1+8k2＞0，即Δ＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．故选：A．14．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞且a≠0．【答案】见试题解答内容【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，解得a＞则a＞且a≠0故答案为a＞且a≠015．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得：，解得：，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3m2＝﹣3，∴m＝±1，∴m的值为±1．八．根与系数的关系（共3小题）16．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则的值为（）A． B．﹣3 C． D．﹣【答案】D【解答】解：（x+2）*3＝（x+2）2+2×3（x+2）﹣32＝x2+10x+7＝0，∴m+n＝﹣10，mn＝7，∴＝＝，故选：D．17．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（）A． B．1 C． D．【答案】B【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，所以+＝＝＝1．故选：B．18．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝﹣或2．【答案】见试题解答内容【解答】解：当x≠y时，∵x、y满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，∴x、y是z2﹣2z﹣6＝0的两根，∴x+y＝2，xy＝﹣6，∴＝＝＝﹣．当x，y的值相等时，原式＝2．故答案为：﹣或2．九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）19．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【答案】B【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．20．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10【答案】B【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；依题意，可列方程为：＝10；故选：B．一十．一元二次方程的应用（共7小题）21．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请8队参赛．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4＝28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：＝28．解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），所以比赛组织者应邀请8队参赛．故答案为：8．22．北京时间2022年8月19日，2021﹣22赛季中国初中篮球联赛全国总决赛落幕，明德华兴中学获得男子组全国总冠军．小组预赛赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），总共有15场比赛，请问每个小组有6支球队打比赛．【答案】6．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，＝15，解得x＝6或﹣5（舍去）．∴共有6个球队参加比赛．故答案为：6．23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608化简得：4x2+12x﹣7＝0∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）能，理由如下：∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得，解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2，∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4；（2）分式不等式的解集为x＞3或x＜1；（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）∴x2﹣16＞0可化为（x+4）（x﹣4）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组①，得x＞4，解不等式组②，得x＜﹣4，∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．（2）∵∴或解得：x＞3或x＜1（3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3）∴2x2﹣3x＜0可化为x（2x﹣3）＜0由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得或解不等式组①，得0＜x＜，解不等式组②，无解，∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜．25．盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如表．设该超市采购x盆A种盆栽．品名批发市场批发价：元/盆盆栽超市零售价：元/盆A种盆栽1219B种盆栽1015（1）直接写出该超市采购费用y（单位：元）与x（单位：盆）的函数关系式y＝2x+3000（150≤x≤160）；（2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；（3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了2m元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得，该超市采购（300﹣x）盆B种盆栽，∴该超市采购费用y＝12x+10（300﹣x）＝2x+3000．∵A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且不超过160盆，∴．∴150≤x≤160．故答案为：y＝2x+3000（150≤x≤160）．（2）由题意，该超市这300盆盆栽的利润W＝（19﹣12）x+（15﹣10）（300﹣x）＝2x+1500．∵2＞0，∴利润W随x的增大而增大．又150≤x≤160，∴当x＝160时，利润W最大为：2×160+1500＝1820（元）．（3）由题意，利润W＝（19﹣12﹣2m）x+（15﹣10+m）（300﹣x）＝（2﹣3m）x+300m+1500．①当2﹣3m＞0时，即m＜时，W随x的增大而增大，又∵150≤x≤160，∴当x＝150时，W最小＝1460，即：（2﹣3m）×150+300m+1500＝1460，解得：m＝＞，舍去，②当2﹣3m＜0时，即m＞时，W随x的增大而减小，又∵150≤x≤160，∴当x＝160时，W最小＝1460，即：（2﹣3m）×160+300m+1500＝1460，解得：m＝2，符合题意．综上所述，m的值为2．26．随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2019年底拥有家庭轿车64辆，2021年底家庭轿车的拥有量达到100辆．（1）若该小区2019年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2022年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车压力，该小区决定投资15万元，全部用于建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位0.5万元/个，露天车位0.1万元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？【答案】（1）125辆．（2）21个．【解答】解：（1）设该小区2019年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据题意得：64（x+1）2＝100，，∴，∴x+1＝或x+1＝﹣，∴x1＝0.25，x2＝﹣2.25（舍），100×（1+0.25）＝125（辆），答：该小区到2022年底家庭轿车将达到125辆．（2）设该小区可建室内车位a个，根据题意得：，15﹣0.5a≥0.2a，∴，∵a为正整数，∴a≤21，答：该小区最多可建室内车位21个．27．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元．为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台．（1）专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？（2）为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台A空调，60台B空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店A空调每台利润180元，B空调每台利润160元；乙连锁店A空调每台利润150元，B空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的A空调每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台A空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B空调利润，设调往甲连锁店的A型空调m台，总利润为y元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每台空调降价x元．（400﹣x）×（50+×5）＝30000，即（400﹣x）（50+0.5x）＝30000，∴x2﹣300x+20000＝0．∴x＝100或200．又秉承扩大销量的原则，∴x＝200．答：每台降价200元．（2）由题意，设调配甲连锁店A空调x台，则调配给甲连锁店B空调（70﹣x）台，调配给乙连锁店A空调（40﹣x）台，B空调（x﹣10）台，∴y＝（180﹣a）x+160（70﹣x）+150（40﹣x）+140（x﹣10），即y＝（10﹣a）x+15800．又由题意得，，，∴10≤x≤40，0＜a＜20．∴当0＜a＜10时，10﹣a＞0，函数y随x的增大而增大，故当x＝40时，总利润达到最大，即调配给甲连锁店A空调40台，B空调30台，乙连锁店A空调0台，B空调30台；当a＝10时，x的取值在10≤x≤40内时所有方案利润相同；当10＜a＜20时，10﹣a＜0，函数y随x的增大而减小，当x＝10时，总利润达到最大，即调配给甲连锁店A空调10台，B空调60台，乙连锁店A空调30台，B空调0台．一十一．配方法的应用（共4小题）28．先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．（1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长．【答案】（1）﹣1；（2）17．【解答】解：（1）由题意，∵x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，∴x2+2xy+y2+4y2﹣4y+1＝0，即（x+y）2+（2y﹣1）2＝0．∴x+y＝0，且2y﹣1＝0．∴x＝﹣，y＝．∴x﹣y＝﹣﹣＝﹣1．（2）由题意，∵a2+b2+58＝14a+6b，∴a2﹣14a+49+b2﹣6b+9＝0．∴（a﹣7）2+（b﹣3）2＝0．∴a﹣7＝0，b﹣3＝0．∴a＝7，b＝3．又a，b，c是等腰△ABC的三条边长，∴a＝c＝7，b＝3．（若a＝7，b＝c＝3，依据两边之和大于第三边，不合题意，舍去．）∴△ABC的周长为：7+7+3＝17．29．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．问题：（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．知识迁移：（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．【答案】（1）见（1）的证明过程．（2）．【解答】证明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3．∵（x﹣2）2≥0．∴y≥0+3＝3．∴y＞0．∴y是正数．（2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤）∴S＝PC•CQ．＝（6﹣2t）•t＝﹣t2+3t＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+．∵（t﹣）2≥0．∴当t＝时，S有最大值．30．阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值