北师版九年级数学上册期末复习考点 清单08 圆（20个考点梳理+题型解读+提升训练）

清单08圆（20个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。确定圆的条件：1）圆心；2）半径。圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。【清单02】圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。【清单03】圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。【清单04】圆周角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=12推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【清单05】圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴【清单06】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分【清单07】点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。【清单08】过三点的圆过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。【清单09】直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；、【清单10】切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线【清单11】切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴；平分【清单12】三角形的内切圆和内心1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOAD【清单13】圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.【清单14】与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。【清单15】正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。【清单16】扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积【清单17】扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图=圆柱的体积：2、圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）【考点题型一】圆的定义及性质

【典例1】如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE=60°，则A．40° B．45° C．50° D．60°【变式1-1】如图，在⊙O中，AB=CD，∠AOB=35°，则∠COD的度数是（A．50° B．45° C．40° D．35°【变式1-2】下列说法中正确的是（

）A．直径是弦，半圆不是弧 B．相等的圆心角所对的弧也相等C．周长相等的两个圆是等圆 D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴【变式1-2】如图，在⊙O中，AC=BD，求证：

【考点题型二】运用垂径定理直接求线段的长度

【典例2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE=3，CD=8．(1)求CE的长度；(2)求OC的长度．

【变式2-1】在⊙O中，弦AB长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（A．4cm B．5cm C．6cm D．【变式2-2】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=12cm，则球的直径长是（

A．15cm B．16cm C．18cm【变式2-3】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD=8，OA=5，则AH的长为．【考点题型三】垂径定理的实际应用

【典例3】如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为AB的中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB=1.8(1)求拱门最高点D到地面的距离；(2)现需要给房间内搬进一张长和宽均为2m、高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m【变式3-1】HUAWEI Mate60 Pro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持AI隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦AB长80mm，半径OC⊥AB，垂足为D，弓形高CD长14(1)求AD的长；(2)求半径OA的长．【变式3-2】民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径AB为6dm，锅深OF为3dm，锅盖高OE为1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：dm），如果把锅纵断面的抛物线的记为C，把锅盖纵断面所在的圆记作⊙M(1)求抛物线C解析式和弧AB所在⊙M的半径；(2)锅中原有水的最大深度为1.5dm（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高0.5dm，求此时的水面宽度；(3)如果将底面直径4dm，高度为0.5dm的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？【变式3-3】某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE=10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17

【考点题型四】同心圆

【典例4】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．

【变式4-1】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【变式4-2】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．(1)求证：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．

【考点题型五】圆周角与圆心角的运用

【典例5】如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ABC=35°，则∠AOC的度数为（

）A．20° B．40° C．60° D．70°【变式5-1】如图，在⊙O中，AB为直径，点C，D是圆上的点，且∠ADC=50°，则∠CAB的度数为（

）A．50° B．80° C．40° D．30°【变式5-2】如图，OB是⊙O的半径，C，D是⊙O上的点，连接OC，BD，CD，若∠BOC=50°，则∠CDB等于（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【考点题型六】圆内接四边形的综合运用

【典例6】如图，过四边形ABCD的顶点A，C，D的圆，分别交AB，BC于点E，F．若∠B=50°，EF的度数为56°，则∠D=【变式6-1】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为．【变式6-2】如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB=96°，则∠ACB的度数为（）

A．192° B．120° C．132° D．150°【变式6-3】如图，A，B，C，D在⊙O上，∠OAB=25°，则∠ACB的度数是（

）A．115° B．112.5° C．122.5° D．135°

【考点题型七】点与圆的位置关系

【典例7】已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式7-1】若⊙O所在平面内有一点P，点P到⊙O上点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙OA．6 B．10 C．6或10 D．无法确定【变式7-2】若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（

）A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5【变式7-3】若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是．

【考点题型八】确定圆的条件

【典例8】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能【变式8-1】给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（

）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点【变式8-2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为A1,−1、B−2,5、C4【变式8-3】在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．则过这三个点（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是．

【考点题型九】根据三角形的外接圆的性质的运用

【典例9】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．(1)请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹）(2)若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r．【变式9-1】如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为r，则△ABC的面积为（

）A．38r2 B．34r2【变式9-2】已知，如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（

A．4 B．5 C．8 D．10【变式9-3】如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（）A．83 B．43 C．6 D．4【考点题型十】直线与圆的位置关系的判定

【典例10】已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定【变式10-1】在△ABC中，AB=AC，O为BC中点，以点A为圆心，AO长为半径作⊙A，则⊙A与直线BC的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式10-2】在平面直角坐标系中，以点(3,2)为圆心，3为半径的圆与坐标轴的位置关系为(

)A．与x轴相切，与y轴相离： B．与x轴相交，与y轴相切C．与x轴，y轴都相交 D．与x轴，y轴相离【变式10-3】已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有个．

【考点题型十一】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算

【典例11】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O切线，BD交⊙O于点C，∠CAD=50°，则∠B=（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【变式11-1】如图，P是圆O的直径AB上一点，PM与圆O相切于点M，连接AM，∠P=30°，若PM=23，则AM的长为【变式11-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为【变式11-3】如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D．若AE=2，AD=4．则BE=，BC=．

【考点题型十二】切线的性质与判定的综合运用【典例12】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．(1)求证：EA与⊙O相切；(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半径．【变式12-1】如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC边相切于点D，与AB边交于点E，EB是⊙O的直径．(1)求证：DE∥(2)若⊙O的半径是32，AD=2，求CD【变式12-2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)若AB=5，BC=13，求AC和AD的长．

【考点题型十三】利用切线长定理的性质求线段长度或周长

【典例13】如图，PA、PB、CE分别与⊙O相切于点A、B、D点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PCE的周长为(

)A．10 B．12 C．16 D．20【变式13-1】如图，某小区打算进行公共设施改造，现有一块边长为40m的正方形空地ABCD，点O在AB边的中点处，计划在正方形空地内搭建一个以O为圆心，AB为直径的半圆形儿童游乐场区域，过点C作半圆的切线交AD于点N．以CN为正方形的区域分割线，位于分割线右下方的整个区域ABCN作为小区的休闲区，则该休闲区的面积为（）mA．1000 B．140 C．800 D．600【变式13-2】如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA=8cm，则△PFG的周长是【变式13-3】如图，在四边形ABCD中，BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，AB为⊙O的直径．若BC=4cm，AD=3

【变式13-4】如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA=6cm，则△PDE的周长是cm

【考点题型十四】三角形的内切圆与内心

【典例14】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F且AD=2,BC=5，则△ABC的周长为（

）．

A．7 B．14 C．10 D．4【变式14-1】已知△ABC的内切圆半径r=3，D、E、F为切点，∠ABC=60°，BC=8，S△ABC=103

【变式14-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD⋅DB=24，则AB的长=【考点题型十五】正多边形与圆求角度

【典例15】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE⏜上的的一点，则∠CPD的度数是（

A．30° B．36° C．45° D．72°【变式15-1】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是AE上一点，则∠DFC的度数为（

）A．72° B．54° C．36° D．30°【变式15-2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为AB上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（

）A．18° B．36° C．54° D．72°【变式15-3】如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【考点题型十六】正多边形与直角坐标系综合

【典例16】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（

）A．3,−1 B．−1,−3 C．−3【变式16-1】2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）的图形，放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为2,−3，则顶点C的坐标为（

）

A．2−23,3 B．(0,1+23) C．【变式16-2】如图，在正六边形OABCDE中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边OA落在x轴上.若点A的坐标为4,0，则点B的坐标为．

【变式16-3】如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2022时，顶点A的坐标为．【变式16-4】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是．

【考点题型十七】弧长的计算

【典例17】已知点A、B、C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧BC沿着直线CB折叠交弦AB于点D．BD=9，AD=6，则AC的长为．【变式17-1】扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知OA=10cm，AC=15cm，AB的长为20cm，则CD的长为【变式17-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D【变式17-3】如图，矩形纸片ABCD中，AB=16,AD=24，将纸片裁成如图所示的扇形ABE，若将此扇形围成圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为．

【考点题型十八】计算扇形的面积

【典例18】扇形AOB的半径为10cm，圆心角为54°，则扇形的面积为【变式18-1】如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是．【变式18-2】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（结果保留【变式18-3】如图，以直角三角形ABC的两锐角顶点A、B为圆心作等圆，且⊙A与⊙B恰好外切，若AB=4，则图中阴影面积为【考点题型十九】计算不规则图形的阴影部分面积

【典例19】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A'BC'，则AC，AA′【变式19-1】如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为．【变式19-2】如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A′的位置，则图中的阴影部分的面积为【变式19-3】如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得AB，BC，折痕为AB，BC，则阴影部分的面积为【考点题型二十】圆锥的计算【典例20】一圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为．【变式20-1】用圆心角为120°，半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（

A．3cm B．22cm C．3【变式20-2】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．【变式20-3】综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1∶2∶1∶2∶3的比例剪成半径为25cm步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：（1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；（2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高ℎ、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：．

清单08圆（20个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。确定圆的条件：1）圆心；2）半径。圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。【清单02】圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。【清单03】圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。【清单04】圆周角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=12推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【清单05】圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴【清单06】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分【清单07】点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。【清单08】过三点的圆过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。【清单09】直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；、【清单10】切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线【清单11】切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴；平分【清单12】三角形的内切圆和内心1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOAD【清单13】圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.【清单14】与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。【清单15】正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。【清单16】扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积【清单17】扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图=圆柱的体积：2、圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）【考点题型一】圆的定义及性质

【典例1】如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE=60°，则A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】A【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等弧对的圆心角相等得∠BOC=1【详解】∵∠AOE=60°，∠AOE+∠BOE=180°，∴∠BOE=120°，∵BC=∴∠BOC=∠COD=∠DOE=1故选：A．【变式1-1】如图，在⊙O中，AB=CD，∠AOB=35°，则∠COD的度数是（A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】D【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．【详解】解：∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=35°．故选：D．【变式1-2】下列说法中正确的是（

）A．直径是弦，半圆不是弧 B．相等的圆心角所对的弧也相等C．周长相等的两个圆是等圆 D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴【答案】C【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆的基本性质，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、直径是弦，半圆是弧，故本选项错误，不符合题意；B、同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧也相等，故本选项错误，不符合题意；C、周长相等的两个圆是等圆，故本选项正确，符合题意；D、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误，不符合题意；故选：C【变式1-2】如图，在⊙O中，AC=BD，求证：【答案】证明见解析【分析】本题考查了同圆或等圆中等弧所对的弦相等．熟练掌握弧与弦的关系是解题的关键．根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等进行证明即可．【详解】证明：∵AC=∴AB+∴AB=∴AB=CD．

【考点题型二】运用垂径定理直接求线段的长度

【典例2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE=3，CD=8．(1)求CE的长度；(2)求OC的长度．【答案】(1)CE=4；(2)OC=5．【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用．（1）根据垂径定理即可求解；（2）根据勾股定理即可求解；【详解】（1）解：∵CD⊥AB，∴CE=1（2）解：∵CD⊥AB，∴∠CEO=90°，在Rt△COE中，由勾股定理得，OC=

【变式2-1】在⊙O中，弦AB长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（A．4cm B．5cm C．6cm D．【答案】B【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接OA，作OD⊥AB，根据垂径定理和勾股定理计算即可得解．【详解】解：如图：连接OA，作OD⊥AB，∵圆心O到AB的距离为3cm∴OD=3cm∵OD⊥AB，∴AD=1由勾股定理可得：⊙O的半径OA=3故选：B．【变式2-2】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=12cm，则球的直径长是（

A．15cm B．16cm C．18cm【答案】A【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意连接OE，OF，作OM⊥EF，延长MO交BC于点N，可得EF=CD=MN=12cm，根据垂径定理可得EM=FM=12EF=6cm，设圆的半径为r【详解】解：如图所示，连接OE，OF，过点O作OM⊥EF于点M，延长MO交BC于点N，

∴EF=CD=MN=12cm，EM=FM=设圆的半径为rcm，则OE=OF=ON=rcm，在Rt△EMO中，O∴r2解得，r=152，即圆的半径为∴球的直径长为2r=2×15故选：A．【变式2-3】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD=8，OA=5，则AH的长为．【答案】8【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接OC，根据垂径定理求出CH，再根据勾股定理求出OH即可，根据垂径定理得出CH=DH是解题的关键．【详解】解：如图，连接OC，则OC=OA=OB=5，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD=8，∴∠OHC=90°，CH=DH=4，由勾股定理得：OH=O∵OA=5，∴AH=OA+OH=5+3=8，故答案为：8．

【考点题型三】垂径定理的实际应用

【典例3】如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为AB的中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB=1.8(1)求拱门最高点D到地面的距离；(2)现需要给房间内搬进一张长和宽均为2m、高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m【答案】(1)拱门最高点D到地面的距离为2.7(2)搬运该桌子时能够通过拱门【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．（1）连接AO．由垂径定理可得AC=CB=12AB=0.9m，再用勾股定理解（2）如图2，连接OM，由垂径定理可得MP=NP=1m，用勾股定理解Rt△OMP求出OP，比较【详解】（1）解：如图1，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC=CB=1∴OC=A∴CD=OD+OC=1.5+1.2=2.7m∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m（2）解：如图2，MN，EF为桌子的宽度，MN，EF分别交CD于点P，则MP=NP=1m，OM=1.5m，∴OQ=OC−CQ=0.7m在Rt△OMP中，根据勾股定理，得O即OP解得OP=5∴PQ=OQ+OP=0.7+5∵1.82>1.2+0.5=1.7，∴搬运该桌子时能够通过拱门．【变式3-1】HUAWEI Mate60 Pro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持AI隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦AB长80mm，半径OC⊥AB，垂足为D，弓形高CD长14(1)求AD的长；(2)求半径OA的长．【答案】(1)AD=40mm(2)半径OA的长为4497【分析】本题考查了垂径定理，解题关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程．（1）根据垂径定理即可求得AD=40mm（2）利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵OC⊥AB，∴AD=1（2）解：设OA=R，则OD=R−14，在直角三角形OAD中，OA即R2解得R=449答：半径OA的长为4497【变式3-2】民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径AB为6dm，锅深OF为3dm，锅盖高OE为1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：dm），如果把锅纵断面的抛物线的记为C，把锅盖纵断面所在的圆记作⊙M(1)求抛物线C解析式和弧AB所在⊙M的半径；(2)锅中原有水的最大深度为1.5dm（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高0.5dm，求此时的水面宽度；(3)如果将底面直径4dm，高度为0.5dm的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？【答案】(1)y=13x2(2)水面宽度为2(3)为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个【分析】（1）根据题意设抛物线C解析式为：y=ax2−3，代入A−3,0求出a的值即可；圆心为M，连接BM，设BM=r，则（2）根据题意把y=−1代入（1）中抛物线的解析式，求出x即可；（3）先在抛物线中求出x=2时，y的值，即DP的值，再借助图形在⊙M中，求出NG距x轴的距离，即OI的值，再用GD÷2，求出其整数值即可．【详解】（1）由题意知抛物线C的顶点为F0,−3，且过A−3,0，∴设抛物线C解析式为：y=ax∴0=a×9−3，解得：a=1∴抛物线C解析式为：y=1如图：圆心为M，连接BM，设BM=r，则MB=ME=r，∵OE=1，∴OM=r−1，在Rt△BOM中，由勾股定理可得：BM∴r解得：r=5，∴⊙M的半径为5dm（2）∵锅中原有水的最大深度为1.5dm，又重新加入一定量的水，水位升高0.5∴加水后水面水的最大深度为2∴水面距锅沿的竖直高度为1m∴当y=−1时，13解得x=±6∴水面宽度为26（3）对于抛物线C，如图所示：当x=2时，y=1∴DP=5对于⊙M，如图所示：当NG=4dm时，IG=2∴MI=∵OM=5−1=4∴OI=PG=MI−OM=21∴GD=PG+DP=21∴21∵9<84∴4<84∴为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出抛物线的解析式和⊙M的半径，采用数形结合的思想解题．【变式3-3】某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE=10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17

【答案】MN=10【分析】根据题意和垂径定理得到CG=8m，AG=12m，CH=1m【详解】设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD=18m，∴CG=8m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，O∴r2解得r=13，∴OC=13m∴OH=13−1=12(m)在Rt△MOH中，O∴132解得MH∴MH=5m∴MN=10m

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．

【考点题型四】同心圆

【典例4】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．【答案】(1)见解析(2)10【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键．（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性质即可得证；（2）连接OC、OA，利用垂径定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，然后在Rt【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE−CE=BE−DE，∴AC=BD；（2）解：连接OC、OA，如图，

∵AC=3，BC=5，∴AB=3+5=8，∴AE=4，∴CE=AE−AC=4−3=1，∴在Rt△AOE中，O∴在Rt△COE中，O∴OC=10，即小圆的半径r为10

【变式4-1】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE则r2解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式4-2】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．(1)求证：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．【答案】(1)证明见解析(2)小圆的半径r为17【分析】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；（2）连接OC,OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长，在Rt△COE中可求得【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,∴AE−CE=BE−DE,∴AC=BD.（2）解：连接OC,OA，如图2，∵AC=2,BC=4，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE−AC=1，在Rt△AOE中，由勾股定理可得O在Rt△COE中，由勾股定理可得O∴OC=17，即小圆的半径r为17【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

【考点题型五】圆周角与圆心角的运用

【典例5】如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ABC=35°，则∠AOC的度数为（

）A．20° B．40° C．60° D．70°【答案】D【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案．【详解】解：∵点A、B、C在⊙O上，∠ABC=35°，∴∠AOC=2∠ABC=70°，故选：D．【变式5-1】如图，在⊙O中，AB为直径，点C，D是圆上的点，且∠ADC=50°，则∠CAB的度数为（

）A．50° B．80° C．40° D．30°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理计算求值即可；【详解】解：∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=∠ADC=50°，∴∠CAB=180°−∠ACB−∠ABC=40°，故选：C．【变式5-2】如图，OB是⊙O的半径，C，D是⊙O上的点，连接OC，BD，CD，若∠BOC=50°，则∠CDB等于（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【答案】C【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到∠CDB=1【详解】解：∵∠BOC=50°，∴∠CDB=1故选：C．

【考点题型六】圆内接四边形的综合运用

【典例6】如图，过四边形ABCD的顶点A，C，D的圆，分别交AB，BC于点E，F．若∠B=50°，EF的度数为56°，则∠D=【答案】102【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接AF，根据圆周角定理求出∠FAE，根据三角形的外角性质求出∠AFC，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【详解】如图，连接AF，∵EF的度数为56°，∴∠FAE=1∴∠AFC=∠FAE+∠B=28°+50°=78°，∵四边形AFCD为圆内接四边形，∴∠D+∠AFC=180°，∴∠D=180°−78°=102°，故答案为：102．【变式6-1】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为．【答案】130°/130度【分析】本题主要考查了圆内角四边形的性质，圆周角定理，利用同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半求出∠BAD=50°，再根据圆内接四边形对角互补即可求出答案．【详解】解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=1∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD=180°−∠BAD=130°，故答案为：130°．【变式6-2】如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB=96°，则∠ACB的度数为（）

A．192° B．120° C．132° D．150°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D=48°，再根据圆内接四边形性质即得∠C=132°．【详解】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，∵∠AOB=96°，∴∠D=1∴∠C=180°−∠D=132°．故选：C．

【变式6-3】如图，A，B，C，D在⊙O上，∠OAB=25°，则∠ACB的度数是（

）A．115° B．112.5° C．122.5° D．135°【答案】A【分析】由OA=OB得∠OAB=∠OBA=25°，根据三角形内角和定理计算出∠AOB=130°，则根据圆周角定理得∠D=1【详解】解：连接DA、DB．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=25°，∴∠AOB=180°−2×25°=130°，∴∠D=1∴∠ACB=180°−∠D=115°．故选：A．

【考点题型七】点与圆的位置关系

【典例7】已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键．【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O内，∴OP<4，∴OP的长可能是3，故选：A．【变式7-1】若⊙O所在平面内有一点P，点P到⊙O上点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙OA．6 B．10 C．6或10 D．无法确定【答案】C【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：设⊙O的直径为d,当点P在圆外时，d=8−2=6当点P在⊙O内时，d=8+2=10故选C．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．【变式7-2】若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（

）A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5【答案】C【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，∴OA小于r，OB大于r，∵OA＝3，OB＝5，∴3＜r＜5．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．【变式7-3】若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是．【答案】点O在⊙P上【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】解：由勾股定理，得OP＝(−3)2d＝r＝5，故点O在⊙P上．故答案为点O在⊙P上.【点睛】此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键在于要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

【考点题型八】确定圆的条件

【典例8】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能【答案】B【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．【变式8-1】给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（

）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点【答案】D【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】A.已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，B.已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，C.已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，D.不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键．【变式8-2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为A1,−1、B−2,5、C4【答案】可以【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线AB上，然后根据确定圆的条件进行判断．【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，把A1k+b=解得，k=−2b=1所以直线AB的解析式为y=−2x+1，当x=4时，y=−2x+1=−8+1=−7≠−6，所以点C4,−6不在直线AB即点A、B、C不在同一条直线上，所以过A、B、C这三个点能确定一个圆．故答案为：可以【变式8-3】在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．则过这三个点（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是．【答案】能因为这三点不在一条直线上．【分析】经过三点能不能作圆,关键是看这三个点在不在同一个圆上,所以先求出前两个点所在直线的解析式,再判断第三个点在不在这条直线上即可.【详解】解：设前两个点所在的直线的解析式为y=kx+b,因为点(0,-2),(1,-1)在直线上,所以{-2=b-1=k+b，解得所以直线的解析式为y=x-2,当x=2.17时,y≠0.37,所以点（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）不在同一条直线上,所以经过这三个点可以作圆.故答案为:可以，因为这三点不在一条直线上.【点睛】本题主要考查确定圆的条件,关键要注意过不在同一直线上的三个点确定一个圆.

【考点题型九】根据三角形的外接圆的性质的运用

【典例9】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．(1)请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹）(2)若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r．【答案】(1)见解析(2)29【分析】（1）作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，即可求解；（2）连结OB，根据等腰三角形的性质可得BD=CD=2，然后设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，OD=5−r，在Rt△BOD中，由勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，即AD垂直平分BC，∴作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为所求作，如下图所示；（2）解：连结OB，∵AB=AC，AD⊥BC，BC＝4，∴BD=CD=2，设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，OD=5−r，在Rt△BOD中，由勾股定理可得：r2解得：r=29∴⊙O的半径r=29【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的外接圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．

【变式9-1】如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为r，则△ABC的面积为（

）A．38r2 B．34r2【答案】D【分析】连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD=CD=12BC，∠OBD=30°，求出OD，根据勾股定理求出BD【详解】连接OB，OA，延长AO交BC于D，∵等边三角形ABC是⊙O，∴AD⊥BC，BD=CD=12BC∴OD=1∴AD=AO+OD=r+由勾股定理得：BD=O∴BC=2BD=则的面积是S△ABC故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．【变式9-2】已知，如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【分析】本题考查直角三角形的外接圆半径，根据勾股定理求得斜边AC的长，进而即可求解，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8∴AC=∴这个三角形的外接圆直径是10故选：D．【变式9-3】如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（）A．83 B．43 C．6 D．4【答案】A【分析】连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=∠BOH=60°，根据直角三角形的性质得到OH，AH的长，于是得到答案．【详解】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵OB=OA=8，∴∠AOH=∠BOH=60°，∴∠OAB=30°，∴OH=12OA∴AH=OA∴AB=2AH=83，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【考点题型十】直线与圆的位置关系的判定

【典例10】已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定【答案】B【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：“设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d<r，②直线l和⊙O相切⇔d=r，③直线l和⊙O相离⇔d>r．”是解题的关键．【详解】解：∵3<4，∴d<r，∴直线与圆相交，故选：B．【变式10-1】在△ABC中，AB=AC，O为BC中点，以点A为圆心，AO长为半径作⊙A，则⊙A与直线BC的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】B【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定．先由等腰三角形三线合一的性质得出AO⊥BC，再根据切线的判定即可得出位置关系．【详解】解：如图，连接AO，∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形∵O为BC中点∴AO是等腰△ABC的高∴AO⊥BC∵AO为⊙A的半径∴BC是⊙A的切线∴⊙A与直线BC的位置关系是相切．故选：B．【变式10-2】在平面直角坐标系中，以点(3,2)为圆心，3为半径的圆与坐标轴的位置关系为(

)A．与x轴相切，与y轴相离： B．与x轴相交，与y轴相切C．与x轴，y轴都相交 D．与x轴，y轴相离【答案】B【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．【详解】解：∵是以点(3,2)为圆心，3为半径的圆，则点(3,2)到y轴的距离是3，与x轴的距离是2，∵3=3，3>2，∴这个圆与x轴相交，与y轴相切．故选：B．【变式10-3】已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有个．【答案】2【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d>r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；d<r时，圆和直线相交．【详解】解：∵圆心到直线的距离是3<圆的半径4，∴直线和圆相交，即有2个公共点．故答案为：2．

【考点题型十一】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算

【典例11】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O切线，BD交⊙O于点C，∠CAD=50°，则∠B=（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据切线的性质得出∠DAB=90°，由余角的性质可得出答案．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵AD是⊙O切线，∴DA⊥AB，∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°，∴∠CAD=∠B=50°．故选：C【变式11-1】如图，P是圆O的直径AB上一点，PM与圆O相切于点M，连接AM，∠P=30°，若PM=23，则AM的长为【答案】2【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接OM，根据切线性质得∠OMP=90°，再根据直角三角形的锐角互余得∠POM=60°，根据圆周角定理进而求得∠OAM=30°，然后根据等腰三角形的判定解答即可．【详解】解：连接OM，∵PM与圆O相切于点M，∴∠OMP=90°；∵∠P=30°，∴∠POM=60°；∵BM⏜∴∠OAM=1∴∠P=∠OAM，∴AM=PM；∵PM=23∴AM=23故答案为：23【变式11-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为【答案】115°/115度【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．本题考查切线的性质、圆内接四边形，等边对等角，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【详解】解：连接OC，如图：由题意可得，∠OCP=90°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．【变式11-3】如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D．若AE=2，AD=4．则BE=，BC=．【答案】66【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，利用切线的性质得到OD⊥AC，设⊙O的半径为x，则OE=OB=OD=x，AO=2+x，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立等式求出x的值，进而得到BE，AB，再证明△AOD∽△ACB【详解】解：如图，连接OD，∵AC与⊙O相切，∴OD⊥AC，设⊙O的半径为x，则OE=OB=OD=x，∴AO=AE+OE=2+x，在Rt△AOD中，由勾股定理可得A即2+x2=x∴BE=2x=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∵∠ABC=∠ADO=90°，∠OAD=∠CAB，∴△AOD∽∴ADAB即48解得BC=6，故答案为：6；6．

【考点题型十二】切线的性质与判定的综合运用【典例12】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．(1)求证：EA与⊙O相切；(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键．（1）连接OC，由垂径定理得OE⊥AC，根据垂直平分线的的性质可得CE=AE，证明△OCE≌△OAE，利用全等三角形的性质可得∠OAE=90°即可；（2）先利用勾股定理求得AF=4，设OA=OC=x，再根据等面积法列12【详解】（1）证明：如图，连接OC，

∵EF是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵D为AC的中点，OC=OA，∴OE⊥AC，则OE垂直平分AC，∴CE=AE，∵OC=OA，OE=OE，∴△OCE≌△OAESSS∴∠OAE=∠OCE=90°，∴EA与⊙O相切；（2）解：∵CE=3，CF=2，∴EF=5，由（1）可知CE=AE=3，∠OAE=90°，∴AF=E设OA=OC=x，∵S∴1∴1解得x=3故⊙O的半径为32【变式12-1】如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC边相切于点D，与AB边交于点E，EB是⊙O的直径．(1)求证：DE∥(2)若⊙O的半径是32，AD=2，求CD【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径，熟练掌握切线的性质是解题的关键．（1）连接OD，根据切线的性质得到CD=CB，根据全等三角形的性质得到∠COD=∠COB，求得∠DEO=∠COB，根据平行线的判定定理得到结论；（2）先利用勾股定理得到OA=52，则AB=4，再证明△AOD∽△ACB，则利用相似比可求出BC，然后利用△COD≌△COB得出【详解】（1）证明：连接OD，∵⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC边相切于点D，∴CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，在△COD和△COB中，CD=CB∴△COD∴∠COD=∠COB，∴∠COB=1∵OD=OE，∴∠DEO=∠ODE=1∴∠DEO=∠COB，∴DE∥（2）在Rt△AODOA=O∴AB=OA+OB=5∵∠OAD=∠CAB，∴△AOD∽△ACB，∴ODBC=解得：BC=3，∴△COD≌△COB，∴CD=BC=3．【变式12-2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)若AB=5，BC=13，求AC和AD的长．【答案】(1)证明见解析；(2)AC=12，AD=10【分析】（1）过点D作DF⊥BC，根据切线的性质得到DA⊥AB，再根据角平分线的性质，得到DA=DF，即可证明结论；（2）由勾股定理得AC=12，利用“HL”证明Rt△BAD≌Rt△BFD，得到BF=BA=5，进而得到CF=8，设DF=x，则AD=x【详解】（1）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AB是⊙D的切线，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DF⊥BC，∴DA=DF，∵DF⊥BC，∴BC是⊙D的切线；（2）解：∵AB=5，BC=13，在Rt△ABC中，AC=在Rt△BAD和RtBD=BDDA=DF∴Rt∴BF=BA=5，∴CF=BC−BF=13−5=8，设DF=x，则AD=x，CD=AC−AD=12−x，在Rt△CDF中，C∴12−x2解得：x=10∴AD=10【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质与全等的判定和性质是解题关键．

【考点题型十三】利用切线长定理的性质求线段长度或周长

【典例13】如图，PA、PB、CE分别与⊙O相切于点A、B、D点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PCE的周长为(

)A．10 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】本题考查了切线长定理，根据题意得出CA=CD，ED=EB，PA=PB，OA⊥PA，进而得出△PCE周长=2PA，连接OA，勾股定理求得PA，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA、PB、CE分别与⊙O相切于点A、B、D点，∴CA=CD，ED=EB，PA=PB，OA⊥PA