新疆石河子市第二中学2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析

新疆石河子市第二中学2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数（）的图象过点，则（）A．函数的值域是 B．点是的一个对称中心C．函数的最小正周期是 D．直线是的一条对称轴2．已知集合，则为（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]3．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A．2 B． C． D．4．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（）A． B． C． D．5．如图，正四面体的体积为，底面积为，是高的中点，过的平面与棱、、分别交于、、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（）A．， B．，C．， D．，6．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（）A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍8．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A． B．6 C．4 D．59．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．10．已知，，，则()A． B． C． D．11．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（）A． B．C． D．12．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则曲线在处的切线斜率为________.14．设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______．15．在中，，点是边的中点，则__________，________.16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围18．（12分）数列满足，，其前n项和为，数列的前n项积为.（1）求和数列的通项公式；（2）设，求的前n项和，并证明：对任意的正整数m、k，均有.19．（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.（1）求证:平面；（2）求证:.20．（12分）已知函数（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.21．（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（），运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）.（1）请分别写出、、的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.22．（10分）在中，角的对边分别为.已知，且.（1）求的值；（2）若的面积是，求的周长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据函数的图像过点，求出，可得，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.【详解】由函数（）的图象过点，可得，即，，，故，对于A，由，则，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，当时，，故D错误；故选：A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.2、B【解析】

先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，所以，则，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.3、C【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．【详解】解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦长|AB|＝4．故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．4、C【解析】

设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．【详解】设，则，记，，易知是增函数，且的值域是，∴的唯一解，且时，，时，，即，由题意，而，，∴，解得，．∴．故选：C．【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．5、A【解析】

设，取与重合时的情况，计算出以及的值，利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示，利用排除法，取与重合时的情况.不妨设，延长到，使得．，，，，则，由余弦定理得，，，又，，当平面平面时，，，排除B、D选项；因为，，此时，，当平面平面时，，，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．6、C【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.7、D【解析】

先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.故选：D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.8、D【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算．【详解】由题意．故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．9、B【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，如图，故其表面积为，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10、B【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.【详解】由于，，故.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.11、D【解析】

设，在中，由余弦定理得，从而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【详解】设，在中，由余弦定理得，则，从而，由正弦定理得，即，从而，在中，由余弦定理得：，则.故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12、A【解析】

设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为，所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求导后代入可构造方程求得，即为所求斜率.【详解】，，解得：，即在处的切线斜率为.故答案为：.【点睛】本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.14、【解析】

先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点时取得最大值,从而得到一个关于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而．故答案为．【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．15、2【解析】

根据正弦定理直接求出，利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.【详解】中，，，可得因为点是边的中点，所以故答案为：；.【点睛】本题主要考查了三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题.16、【解析】

由题意可得，又由于为的中点，且点在轴上，所以可得点的横坐标，代入抛物线方程中可求点的纵坐标，从而可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解：因为是抛物线的焦点，所以，设点的坐标为，因为为的中点，而点的横坐标为0，所以，所以，解得，所以点的坐标为所以，故答案为：【点睛】此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．试题解析：（1）不等式等价于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得实数的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．18、（1），；（2），证明见解析【解析】

（1）利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结论．【详解】（1），，得是公比为的等比数列，，，当时，数列的前项积为，则，两式相除得，得，又得，；（2），故.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前项和的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）通过证明，即可证明线面平行；（2）通过证明平面，即可证明线线垂直.【详解】（1）连，因为为平行四边形，为其中心，所以，为中点，又因为为中点，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以，.【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.20、（1）（2）【解析】

（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用绝对值三角不等式，求得的取值范围，根据分段函数解析式，求得的取值范围，结合题意列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1），由得或或；解得.故所求解集为.（2），即.由（1）知，所以，即.∴，∴.【点睛】本小题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.21、（1），，.（2）当时，此时选择火车运输费最省；当时，此时选择飞机运输费用最省；当时，此时选择火车或飞机运输费用最省.【解析】

（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.（2）作差比较、的大小关系得出结论.【详解】（1），，.（2），故，恒成立，故只需比较与的大小关系即可，令，故当，即时，，即，此