向量自回归和脉冲响应函数

向量自回归传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vectorautoregression，VAR)和向量误差修正模型(vectorerrorcorrectionmodel，VEC)就是非结构化的多方程模型。2021/6/271

向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。§9.1向量自回归理论

2021/6/272

VAR(p)模型的数学表达式是

(9.1.1)其中：yt是k维内生变量列向量，xt是d维外生变量列向量，p是滞后阶数，T是样本个数。k

k维矩阵

1，…，

p和k

d维矩阵H是待估计的系数矩阵。

t

是k维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设

是

t

的协方差矩阵，是一个(k

k)的正定矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为

9.1.1VAR模型的一般表示

2021/6/273(9.1.2)

即含有k个时间序列变量的VAR(p)模型由k个方程组成。2021/6/274其中，ci,

aij,bij是要被估计的参数。也可表示成：例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：2021/6/275对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对

矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得

矩阵的估计量为

(9.1.7)

其中：当VAR的参数估计出来之后，由于

(L)A(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。2021/6/276

由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量

t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。2021/6/277例9.1我国货币政策效应实证分析的VAR模型为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，采用我国1995年1季度～2007年4季度的季度数据，并对变量进行了季节调整。设居民消费价格指数为CPI_90(1990年1季度=1)、居民消费价格指数增长率为CPI、实际GDP的对数ln(GDP/CPI_90)为ln(gdp)

、实际M1的对数ln(M1/CPI_90)为ln(m1)

和实际利率rr(一年期存款利率R-CPI）。

2021/6/278利用VAR(p)模型对

ln(gdp)

，

ln(m1)和rr，3个变量之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。2021/6/279EViews软件中VAR模型的建立和估计

1．建立VAR模型

为了创建一个VAR对象，应选择Quick/EstimateVAR…或者选择Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：2021/6/2710可以在对话框内添入相应的信息：

(1)选择模型类型（VARType）：无约束向量自回归（UnrestrictedVAR）或者向量误差修正（VectorErrorCorrection）。无约束VAR模型是指VAR模型的简化式。

(2)在EstimationSample编辑框中设置样本区间

2021/6/2711

(3)输入滞后信息在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对14表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：24691212即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。2021/6/2712

(4)在EndogenousVariables编辑栏中输入相应的内生变量

(5)在ExogenousVariables编辑栏中输入相应的外生变量EViews允许VAR模型中包含外生变量，其中xt

是d维外生变量向量,k

d维矩阵H是要被估计的系数矩阵。可以在ExogenousVariables编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数c作为外生变量。其余两个菜单（Cointegration和Restrictions）仅与VEC模型有关，将在下面介绍。2021/6/2713

2．VAR估计的输出VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：2021/6/2714

表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在D(log(M1_SA_P))的方程中RR_SA(-1)的系数是-0.002187。同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部：2021/6/2715

输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。

输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。2021/6/2716例9.1结果如下：

尽管有一些系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为2。3个方程拟合优度分别为：

可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。2021/6/2717

同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei

表示第i个方程的残差，i

=1，2，3。其结果如表9.1所示。

表9.1残差的同期相关矩阵

2021/6/2718

从表中可以看到实际利率rr、实际M1的

ln(m1)方程和实际GDP的

ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。2021/6/2719

无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。

9.3.1Granger因果检验

VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969)提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间因果关系的方法。9.3VAR模型的检验和过程

2021/6/2720

1.Granger因果关系的定义

Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由xGranger引起的”。

考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）：

(9.3.1)2021/6/2721

这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。Granger因果定义：如果关于所有的s>0，基于(yt，yt-1，…)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt，xt-1，…)两者得到的yt+s的均方误差相同，则y不是由xGranger引起的。对于线性函数，若有可以得出结论：x

不能Granger引起y。等价的，如果(9.3.2)式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。

(9.3.2)2021/6/2722注意到“xGranger引起y”这种表达方式并不意味着y是x的效果或结果。Granger因果检验度量对y进行预测时x的前期信息对均方误差MSE的减少是否有贡献，并以此作为因果关系的判断基准。用和不用x的前期信息相比，MSE无变化，称x在Granger意义下对y无因果关系，反之，当x的前期信息对MSE的减少有贡献时，称x在Granger意义下对y有因果关系。

2021/6/2723

可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，考虑对模型(9.1.5)，利用从(t-1)至(t-p)期的所有信息，得到yt的最优预测如下：

(9.3.3)VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是(9.3.4)其中是的第i行第j列的元素。2021/6/2724

2.Granger因果关系检验

Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。2021/6/2725在EViews中Granger因果检验的操作

选择View/LagStructure/PairwiseGrangerCausalityTests，即可进行Granger因果检验。

2021/6/2726

输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的

2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的

2统计量。对例9.1进行检验，其结果如右表显示：2021/6/2727

同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger因果检验，但是需要先确定滞后阶数，具体统计量的构造可依据9.3节的介绍，将例9.1的3个时间序列构造成组，在组中进行检验可得如下结果：2021/6/2728

为了使两个结果具有可比性，选择了相同的滞后阶数。两个输出结果的形式和统计量都不一样，在VAR中用的是

2统计量，而在Group中使用的是F统计量。但是含义是一样的。

2021/6/2729

例9.3Granger因果检验早期研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是：如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。2021/6/2730

根据实际情况，利用例9.1的数据，基于VAR(3)模型检验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如表9.2所示。2021/6/2731从表9.2的结果可以看到：在实际利率方程中，不能拒绝实际M1、实际GDP不是实际利率的Granger原因的原假设，而且两者的联合检验也不能拒绝原假设，表明实际利率外生于系统，这与我国实行固定利率制度是相吻合的；在实际M1的方程中，无论实际利率的Granger因果检验，还是联合检验在10%的显著性水平下都不能接受原假设，说明实际利率在Granger意义下影响实际M1；在第三个方程(即实际GDP方程)中，实际利率在1%的显著性水平下拒绝原假设，说明实际利率对于产出具有显著Granger影响;而实际M1外生于实际GDP的概率为0.9892，这可能是因为我国内需不足，大部分商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价格调整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出没有影响。2021/6/2732

VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后阶数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后阶数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。

9.3.2滞后阶数p的确定

2021/6/2733

在EViews软件中滞后阶数p的确定

一旦完成VAR模型的估计，在窗口中选择View/LagStructure/LagLengthCriteria，2021/6/2734需要指定较大的滞后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准（如果在VAR模型中没有外生变量，滞后从1开始，否则从0开始）。表中用“*”表示从每一列标准中选的滞后数。在4～7列中，是在标准值最小的情况下所选的滞后数。

为了确定例9.1中模型的合适滞后长度p，默认的滞后阶数为4，得到如下的结果：

2021/6/2735滞后长度

p=4：滞后长度

p=2：2021/6/2736

在EViews软件关于VAR模型的其他检验

一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被估计的VAR模型的各种视图。将主要介绍View/LagStructure和View/ResidualTests菜单下提供的检验。2021/6/2737

1.AR根的图表

如果被估计的VAR模型所有根的模的倒数小于1，即位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如脉冲响应函数的标准误差）。共有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。如果估计一个有r个协整关系的VEC模型，则应有k

r个根等于1。

对于例9.1，可以得到如下的结果：2021/6/2738所有的单位根的模大于1，因此例9.1的模型满足稳定性条件。2021/6/2739下面给出单位根的图形表示的结果：2021/6/2740

2．VAR残差检验

(1)相关图(Correlogram)显示VAR模型在指定的滞后阶数的条件下得到的残差的交叉相关图（样本自相关）。(2)混合的自相关检验(PortmanteauAutocorrelationTest)

计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box-Pierce/Ljung-BoxQ统计量。(3)自相关LM检验(AutocorrelationLMTest)计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。(4)正态性检验(NormalityTest)(5)White异方差检验(WhiteHeteroskedasticityTest)

2021/6/2741

9.3.3VAR模型的过程

VAR对象的过程(Procs)中多数的过程和系统对象(System)的过程一样在这里仅就对VAR模型特有的过程进行讨论。建立系统

(MakeSystem)这个菜单产生一个与VAR对象设定等价的系统对象。如果要估计一个非标准的VAR模型，可以通过这个过程尽快的在系统对象中设定一个VAR模型，并可以根据模型的需要进行修改。例如，VAR对象要求每一个方程有相同的滞后结构，但也可以放宽这个条件。为了估计一个非平衡滞后结构的VAR模型，用MakeSystem可以产生一个具有平衡滞后结构的VAR系统，然后编辑系统以满足所需要的滞后要求。2021/6/2742①按变量次序(ByVariable)：该选项产生一个系统，其详细的说明和系数的显示是以变量的次序来显示。如果想排除系统某些方程中特定变量的滞后，可以选用这个选项。2021/6/2743

②按滞后阶数(ByLag)：产生一个以滞后阶数的次序来显示其详细的说明和系数的系统。如果想排除系统某些方程中特定的滞后阶数来进行编辑，可以用这个选项。注意：标准VAR模型可以用单方程OLS方法来有效地估计，对于调整后的系统一般不能使用OLS。当用系统对象估计非标准的VAR模型时，可以使用更复杂的系统估计方法（如：SUR方法）。2021/6/2744

在实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulseresponsefunction，IRF)。9.4脉冲响应函数

2021/6/2745

用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。下面先根据两变量的VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想。

9.4.1脉冲响应函数的基本思想

(9.4.1)其中，ai，bi，ci，di是参数，

t=(

1t,

2t)

是扰动项，假定是具有下面这样性质的白噪声向量：

2021/6/2746(9.4.2)

假定上述系统从０期开始活动，且设x-1=x-2=

z-1=z-2=

0，又设于第０期给定了扰动项

10=1，

20=0，并且其后均为０，即

1t=

2t=0(t＝1，2，…)，称此为第０期给x以脉冲。2021/6/2747下面讨论xt

与zt的响应，t

=0时：

将其结果代入式(9.4.1)，当t

=1时再把此结果代入式(9.4.1)，当t

=2时

继续这样计算下去，设求得结果为称为由x的脉冲引起的x的响应函数。同时所求得2021/6/2748称为由x的脉冲引起的z的响应函数。

当然，第０期的脉冲反过来，从

10=0，

20=1出发，可以求出由z的脉冲引起的x的响应函数和z的响应函数。因为以上这样的脉冲响应函数明显地捕捉对冲击的效果，所以同用于计量经济模型的冲击乘数分析是类似的。

2021/6/2749

本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的需求变量，利用脉冲响应函数分析各下游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响。分别用y1

表示钢材销售收入；y2

表示建材销售收入

y3

表示汽车销售收入；y4

表示机械销售收入；y5表示家电销售收入。样本区间为1999年1月～2002年12月，所采用数据均作了季节调整，指标名后加上后缀sa，并进行了协整检验，存在协整关系，这表明，所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系。例9.4钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应2021/6/2750

脉冲响应函数在EViews软件中的实现为了得到脉冲响应函数，先建立一个VAR模型，然后在VAR工具栏中选择View/ImpulseResponse…或者在工具栏选择Impulse，并得到下面的对话框，有两个菜单：Display和ImpulseDefinition。2021/6/2751

1.Display菜单提供下列选项：

(1)显示形式（DisplayFormat）

选择以图或表来显示结果。如果选择CombinedGraphs则ResponseStandardError选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意：输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序。

(2)显示信息（DisplayInformation）

输入产生冲击的变量（Impulses）和希望观察其脉冲响应的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。2021/6/2752例如，如果VAR模型以GDP、M1、CPI的形式定义，则既可以以：GDPCPIM1的形式输入，也可以以132的形式输入。输入变量的顺序仅仅影响结果的显示。还应定义一个确定响应函数轨迹的期间的正整数。如果想显示累计的响应，则需要单击AccumulateResponse选项。对于稳定的VAR模型，脉冲响应函数应趋向于0，且累计响应应趋向于某些非0常数。2021/6/2753

(3)脉冲响应标准差（ResponseStandardError）

提供计算脉冲响应标准误差的选项。解析的或MonteCarlo标准误差对一些Impulse选项和误差修正模型（VEC）一般不一定有效。若选择了MonteCarlo，还需在下面的编辑框确定合适的迭代次数。如果选择表的格式，被估计的标准误差将在响应函数值下面的括号内显示。如果选择以多图来显示结果，曲线图将包括关于脉冲相应的正负（+/-）两个标准偏离带。在CombinedGraphs中将不显示标准误差偏离带。2021/6/2754

2.ImpulseDefinition菜单提供了转换脉冲的选项：

(1)Residual-OneUnit

设置脉冲为残差的一个单位的冲击。这个选项忽略了VAR模型残差的单位度量和相关性，所以不需要转换矩阵的选择。这个选项所产生的响应函数是VAR模型相对应VMA(∞)模型的系数。

(2)Residual-OneStd.Dev

设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击。这个选项忽略了VAR模型残差的相关性。2021/6/2755

(3)Cholesky分解

用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲。这个选项为VAR模型的变量强加一个次序，并将所有影响变量的公共因素归结到在VAR模型中第一次出现的变量上。注意：如果改变变量的次序，将会明显地改变响应结果。可以在CholeskyOrdering的编辑框中重新定义VAR模型中变量的次序。

2021/6/2756Cholesky分解有2种选择：

a.有自由度调整（d.f.adjustment）：在估计的残差协方差矩阵利用Cholesky因子时进行小样本的自由度修正。具有自由度修正的残差协方差矩阵的第(i,j)元素的计算是按下列公式计算的：

其中m是VAR模型中每一个方程中待估计参数的个数。

b.没有自由度调整（no

d.f.adjustment）：估计残差协方差矩阵的第(i,j)元素的计算是按下列公式计算的：2021/6/2757

(5)结构分解（StructuralDecomposition）

用结构因子分解矩阵估