新高中数学多选题专项训练100（附答案）

新高中数学多选题专项训练100附答案

一、数列多选题

1.斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多•斐波那契于1202年提

出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21此数列从第3项开始，每一

项都等于前两项之和，记该数列为归（叫，贝久/（明的通项公式为（）

B.F（n+1）=F（n）+F（n-l）,n>2且F（1）=1,F（2）=1

答案：BC

【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；

【详解】

解：斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……，

显然，，，，，所以且，即B满足条件；

由，

所以

所以数列

解析：BC

【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；

【详解】

解：斐波那契数列为1，1,2,3,5,8,13,21,......,

显然网1）=1,-2）=1,F（3）=F（1）+F（2）=2,F（4）=F（2）+F（3）=3,

F（w+1）=+—l）,w>2,所以F（w+1）=+2且

-1）=1，尸（2）=1,即B满足条件；

由F（n+1）=F（n）+F（n-l）,n>2„

所以厂（〃+1）-三^爪耳=与叵尸伍）一15尸（“一1）

所以数列卜5+1）-匕白/⑺］是以为首项，为公比的等比数列,

〔2J22

所以F（〃+l）-、^尸⑺=

1-75

所以尸（〃+1）—二~一⑺11

所以左耳：一下石尸/「I'

（22（2）

b—___________W_________

令”，则%=牛6“+1,

〔2)-

所以6用鼻二三三）

102"10

所以以土史为首项，避二3为公比的等比数歹!I，

I10J102

所以么二磬+（中）（餐尸,

用"

彳6k［Ei+fi-Ml

即c满足条件；

故选：BC

【点睛】

考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要

求由较高的逻辑思维能力，属于中档题.

2.已知数列｛%｝的前"项和为S“（S,尸0）,且满足4+4S〃TS“=05N2）,q=；,则

下列说法错误的是（）

A.数列｛q｝的前n项和为S,=4〃B.数列｛4｝的通项公式为。“=4.：+i）

C.数列｛4｝为递增数列D.数列为递增数列

3”

答案：ABC

【分析】

数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可

得，，时，，进而求出.

【详解】

数列的前项和为，且满足，，

，，化为：，

，数列是等差数列，公差为4,

」.，可得

解析：ABC

【分析】

数列｛叫的前〃项和为S.(S“WO),且满足4+4S〃TS“=0("22),%=；,可得：

111

5“一5,1+45._]5,=0,化为：----=4,利用等差数列的通项公式可得不，

111

a=cc==

S〃，〃之2时，n^n~^n-\~T(V\~~A~i八，进而求出

【详解】

数列｛4｝的前几项和为S〃(s〃wO),且满足。“+4515“=0("22),4=；,

11,

—S“T+4S,IS〃=0,化为：---=4,

%1

数列J,是等差数列，公差为4,

.•—=4+4(〃-1)=4"，可得s.」，

，，4"

,__111

；.〃22时，an=Scn-Scn-l=~,--J7--n―77,

4n4(几一1)

!(〃=1)

4

an=\1，

4n(n-l)

对选项逐一进行分析可得，A,B,C三个选项错误，D选项正确.

故选：ABC.

【点睛】

11,

本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为不一b=4,进而求得其它性

质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题

3.等差数列｛q,｝的前〃项和为S“，若4〉0,公差dwO,则()

A.若S5〉Sg,则几>0B.若S5=Sg,则跖是S“中最大的项

C.若其AS7,则邑〉、D.若SGAS7则Ss>S6.

答案BC

【分析】

根据等差数列的前项和性质判断.

【详解】

A错:;B对:对称轴为7；

C对：，又，；

D错：，但不能得出是否为负，因此不一定有.

故选：BC.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列

解析：BC

【分析】

根据等差数列的前几项和性质判断.

【详解】

A错：S5>S9=>a6+a7+Og+a9<0+a14<0=>S15<0；B对：S”对称轴为

n=7；

C对：S6>S7=>a7<0,又q>0,=4>J<0=>a8<«7<0S7>S8；

D错:S6>S7=>a7<0,但不能得出每是否为负，因此不一定有$6.

故选：BC.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的前几项和性质，(1)S“是关于九的二次函数，可以利

用二次函数性质得最值；(2)S.=S,i+a〃，可由4的正负确定S”与的大小；

(3)S'=因此可由4+%的正负确定S"的正负.

4.等差数列｛4｝的前n项和记为S“，若q〉0,跖=S17，则()

A.d<QB.tz12>0

C.sn<S13D.当且仅当S〃<0时，〃226

答案：AB

【分析】

根据等差数列的性质及可分析出结果.

【详解】

因为等差数列中，

所以，

又，

所以，

所以，，故AB正确，C错误；

因为，故D错误，

故选：AB

【点睛】

关键点睛：本题突破口在于由

解析：AB

【分析】

根据等差数列的性质及s7=S17可分析出结果.

【详解】

因为等差数列中邑=5",

所以《+的+K+%6+%7=5（。］,+/3）=0，

又心〉0,

所以《2>0,&<0,

所以d<0,sn<Sl2,故AB正确，c错误；

因为525=25（%；45）=2543<0,故D错误，

故选：AB

【点睛】

关键点睛：本题突破口在于由跖=5"得到+。13=。，结合4〉。，进而得到

«12>0,«13<0,考查学生逻辑推理能力.

5.｛4｝

设是等差数列，S”是其前〃项的和，且其（毛，S6^S,>S8,则下列结论正确

的是（）

A.d>QB.%=0

$6S7

C.S9>S5D.与均为S"的最大值

答案：BD

【分析】

设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.

【详解】

根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，贝IJ,故B正确；

又由得，则有，故A错误；

而C选项，，即，可得，

解析：BD

【分析】

设等差数列｛4｝的公差为d,依次分析选项即可求解.

【详解】

根据题意，设等差数列｛4｝的公差为d,依次分析选项：

｛4｝是等差数列，若56=跖，则S7—S6=%=0,故B正确；

又由S5<S6得S5=4〉0,则有d=%—。6<0,故A错误；

而C选项，s9>S5,即4+%+。8+。9>0，可得2（%+/）>0,

又由。7=0且d<0，则。8<0，必有%+。8<0，显然C选项是错误的.

S5<S6,$6=$7〉$8，；•$6与S7均为S“的最大值，故。正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查了等差数列以及前几项和的性质，需熟记公式，属于基础题.

6.（多选题）在数列｛%｝中，若。；—。3=小（w>2,neN*，。为常数），则称

｛4｝为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A.若｛4｝是等差数列，则｛4：｝是等方差数列

B.［（-1）"｝是等方差数列

C.若｛%｝是等方差数列，则｛他）（keN*，左为常数）也是等方差数列

D.若｛4｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

答案：BCD

【分析】

根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.

【详解】

对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；

对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正

解析：BCD

【分析】

根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.

【详解】

对于A选项，取4=〃，则

a：+］-a：=（〃+1）4-ri'=［（“+1）2_/］.［（“+1）2+”2］=（2〃+1）（2〃2+2〃+l）不是常

数，则｛d｝不是等方差数列，A选项中的结论错误；

对于B选项，［（—1广I）”］、：!—1=0为常数，则［（-1）］是等方差数列，B选项

中的结论正确；

对于C选项，若｛%｝是等方差数列，则存在常数peR,使得。3一4="，则数列

｛%为等差数列，所以4"+1）一%,=S，则数列｛他,｝（keN*，左为常数）也是等方

差数列，C选项中的结论正确；

对于D选项，若数列｛。“｝为等差数列，设其公差为d,则存在meR,使得

an=dn+m,

则心1一=（风+i—/）（为+i+为）=d（2血+2m+d）=2d2rl+（2加+d）d,

由于数列｛4｝也为等方差数列，所以，存在实数。，使得。;+1-%=夕

2储=0

则2d2〃+（2m+d）d=p对任意的〃eN*恒成立，则＜得/?=d=。，

（2〃z+d）d=p

此时，数列｛%｝为常数列，D选项正确.故选BCD.

【点睛】

本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列

来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.

7.定义““="+2&++2〃4为数列｛4｝的“优值”•已知某数列｛%｝的"优

值"%=2",前n项和为S",则（）

A.数列｛4｝为等差数列B.数列｛%,｝为等比数列

C.—L=-lqD.邑，S4,成等差数列

20202

答案：AC

【分析】

由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用

等差数列的前n项和公式求出，判断C,D的正误.

【详解】

解：由，

得，

所以时，，

得时，，

即时，，

当时，由

解析：AC

【分析】

n1

由题意可知=囚+2%+_+2〃％=2",即q+2g++2-an=n-2",则

n

时，2»&=小2"—5—1）2-=e+l）-2"T,可求解出易知｛%｝是等差数

列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出S〃，判断C,D的正误.

【详解】

ci.+2。，++2"%”,

解：由““二-----Z------------=2”,

n

得q+2a2++2"।=",2",①

所以〃N2时，4+2/++2"-24_]=5一I）?"一,②

得〃22时，2"T4=九.2"一（九一1）2T=（九+1）•X-l,

即2时，+

当〃=1时，由①知q=2,满足

所以数列｛%｝是首项为2,公差为1的等差数列，故A正确，B错,

所以"=史刊，所以名也="”，故c正确.

"220202

S2=5,S4=14,S6=27,故。错，

故选：AC.

【点睛】

本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前0项和的求解，难度一般.

8.数列｛4｝满足4+1=十]，％=1,则下列说法正确的是（）

A.数列是等差数列B.数列J'的前”项和S“=〃2

C.数列｛4｝的通项公式为4=2〃-1D.数列｛。"｝为递减数列

答案：ABD

【分析】

首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即

可.

【详解】

对选项A,因为，，

所以，即

所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.

对选项B,由A知：

解析:ABD

【分析】

a111c[1

首项根据为+1=丁'，％=1得到--------=2,从而得到4一是以首项为1,公差为

24+1%Iana

2的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】

对选项A,因为4+1=c〃],4=1,

24+1

12a+1-I11c

所以---=-------=2+—，即---------=2

4+1anan4+1a”

所以|上是以首项为1,公差为2的等差数列，故A正确.

对选项B,由A知：—=l+2(tt-1)=277-1

an

数列的前。项和s=_D=〃2,故B正确.

EJ2

11

对选项C,因为一=2〃-1,所以2=-----,故C错误.

%2n-l

对选项D,因为4=5匕，所以数列｛%｝为递减数列，故D正确.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档

题.

9.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和.已知65=35,？=11，则()

A.。“=4〃-5B.。“=2〃+3

2

C.S“=2n-3nD.Sn=rr+4n

答案：AC

【分析】

由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式

【详解】

由题可知，，即，所以等差数列的公差，

所以，.

故选：AC.

【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力.

解析：AC

【分析】

由1=35求出生=7,再由％=11可得公差为〃=。4一。3=4,从而可求得其通项公式和

前几项和公式

【详解】

由题可知，S5=5%=35,即/=7,所以等差数列｛%｝的公差〃=%-%=4，

所以%=%+（〃—4”=4〃-5,S“=（4〃；1）“=2.2_3〃.

故选：AC.

【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力.

10.下列命题正确的是（）

A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式

B.若等差数列｛4｝的公差d>0,则｛4｝是递增数列

C.若。，b,c成等差数列，则可能成等差数列

abc

D.若数列｛4｝是等差数列，则数列｛4+24+J也是等差数列

答案：BCD

【分析】

根据等差数列的性质即可判断选项的正误.

【详解】

A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；

C选项：时，是等差数列，而a=1,

解析：BCD

【分析】

根据等差数列的性质即可判断选项的正误.

【详解】

入选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B选项：由等差数列性质知d>0,｛q｝必是递增数列；

C选项：〃=人=。=1时，工='=1=1是等差数列，而0=1,b=2,c=3时不成立；

abc

。选项：数列｛4｝是等差数列公差为d,所以

an+2an+l=%+（“一l）d+24+2nd=+（3〃-l）d也是等差数列；

故选：BCD

【点睛】

本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.

11.设公差不为。的等差数列｛%,｝的前"项和为S“，若57=18,则下列各式的值为0

的是（）

答案：BD

【分析】

由得，利用可知不正确；；根据可知正确；根据可知不正确；根据可知正确.

【详解】

因为，所以，所以，

因为公差，所以，故不正确；

,故正确；

,故不正确；

,故正确.

故选：BD.

解析：BD

【分析】

由Su=得48=0，利用。17=%8一』=一〃/0可知4不正确；；根据535=3548可

知3正确；根据-％9=-2dwo可知。不正确；根据S19-5]6=3。18=0可知。正确.

【详解】

因为工7=18，所以18-517=0,所以。18=0，

因为公差dwO,所以47=48-1=一〃/0，故A不正确；

„35（6+%5）35x2a,„一八,,丁山

S35=\~^^=35418=0，故3正确；

%7-％9=-2dw0,故。不正确；

S19—S16=47+%8+q9=348=0，故£）正确.

故选：BD.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.

12.设等差数列｛q,｝的前几项和为s“，公差为d,且满足q〉0,S“=S18,则对S“描

述正确的有（）

A.S也是唯一最小值B.S15是最小值

C.丛9=0D.S15是最大值

答案：CD

【分析】

根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时

可得，进而得到，即可得答案；

【详解】

设，则点在抛物线上，

抛物线的开口向下，对称轴为，

且为的最大值，

解析：CD

【分析】

根据等差数列中百1=句8可得数列的公差d<0,再根据二次函数的性质可知是最大

值，同时可得％5=0,进而得到邑9=。，即可得答案；

【详解】

Su=S[8,••t/<0,

设S.=An-+Bn,则点在抛物线y=Ax2+Bx上，

抛物线的开口向下，对称轴为x=14.5,

、5=，4且为S”的最大值，

Su=Sl8=>+a13++a18—0=>7a[5—0,

.%=29（%”=29%=0,

故选：CD.

【点睛】

本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前几项和的性质，考查函数与方程思想、转

化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

二、等差数列多选题

13.侈选）在数列｛4｝中，若a：—a；i=p（nN2,neN*,p为常数）,则称｛4｝为"等方

差数列"•下歹！I对"等方差数歹11"的判断正确的是（）

A.若｛&｝是等差数列，则｛4｝是等方差数列

B.[（-1）”）是等方差数列

C.｛2〃｝是等方差数列.

D.若｛4｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

解析：BD

【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.

【详解】

对于A,若｛怎｝是等差数列，如q=〃，则4一。3="2-（〃—1）2=2"—1不是常数，故

｛%,｝不是等方差数列，故A错误；

对于B,数列[(—1)“:中，/一4_1=[(一1)"]2-[(一1)"1]2=0是常数，...｛(_1)”｝是等方

差数列，故B正确；

对于C,数列｛2"｝中，4―4_]=(2"丫—(2"T)2=3X4"T不是常数，...｛2"｝不是等方差

数列，故C错误；

对于D,｛4｝是等差数列，.•・。〃―q.i=d,则设。“=而+加，｛4｝是等方差数

歹!J,二.d-a：1=(%+4_1)2=(而+机+曲+1+/加)〃=24/2几+(2/+4/)4/是常数，

故2d2=0,故d=O,所以(2m+d)d=。，4―。3=。是常数，故D正确.

故选：BD.

【点睛】

关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差

数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.

14.若不等式(_1)%<2+对于任意正整数n恒成立,则实数a的可能取值为

n

()

A.-2B.-1C.1D.2

解析：ABC

【分析】

根据不等式(-l)"a<2+d;对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有-。<2+-

nn

恒成立，当"为偶数时有a<2-工恒成立，分别计算，即可得解.

n

【详解】

根据不等式(-l)"a<2+色上对于任意正整数n恒成立，

n

当”为奇数时有：-。<2+!恒成立，

n

由2+工递减，且2<2+工<3,

nn

所以一Q«2,即2,

当n为偶数时有：a<2-工恒成立，

n

131

由2——第增，且一V2——<2,

n2n

3

所以〃〈不，

2

3

综上可得：—2<。<一,

2

故选：ABC.

【点睛】

本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.

15.已知数列｛%,｝的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为()

0,"为奇数

A.aB.%=(-1尸+1

n2,〃为偶数

D.an=cos(n-1)4+1

解析：BD

【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.

【详解】

解：因为数列｛%｝的前4项为2,0,2,0,

选项4不符合题设；

选项B：q=(—1)°+1=2,久=(—I)1+1=0,

%=(—1)2+1=2,%=(—1)3+1=0,符合题设；

冗

选项C：,Oj=2sin—=2,a2=2sin^=0,

37r

%=2sin—=-2不符合题设；

2

选项。：q=cos0+l=2,4=cos〃+l=0,

%=cos2〃+l=2,%=cos3〃+l=0,符合题设.

故选：BD.

【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

16.设等差数列｛q｝的前几项和为S”.若邑=0,%=6,则()

3:厂-9n

S,=rr_3n

C.。“=3〃-6

解析：BC

【分析】

由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前几项和公式

【详解】

解：设等差数列｛4｝的公差为d,

因为星=0,%=6，

3?

3%+——Xd=0q=-3

所以12,解得<

d—3

q+3d=6

所以a==a1+(n—V)d——3+3(n—1)—3“—6,

cn(n-l)3«(n-l)3n2-9n

S„=na,H------a=-3n-\--------=-------，

n7222

故选：BC

17.已知等差数列｛4｝的前"项和为S“，且4>0,25+%=0,贝U()

A.。8<°B.当且仅当。=7时，s,取得最大值

C.54=59D.满足5“〉0的"的最大值为12

解析：ACD

【分析】

71Q7

由题可得。]=-6d,d<0,—,求出。8=d<。可判断A；利用二次函

数的性质可判断B；求出凡,怎可判断C；令S“=：〃2—号〃>0,解出即可判断D.

【详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,则2%+qi=2(%+4d)+q+10d=0,解得q=—6d,

、C‘cuen(n-l]d213d

.d0>且S"="q+------d——n-----n,

对于A,/=6+7d=-6Q+7d=d<0,故A正确;

7-IQ71Q

对于B,S=-n2-----〃的对称轴为〃=—,开口向下，故〃=6或7时，S”取得最大

n"222

值，故B错误；

",，d13d,……「d13d,、….

对于C,L=—x16----x4=O8Jd—26d=—18d,S=—x8O11-----x9——18d，故

22g22

S'=S9,故C正确；

11QI

对于D,令S.=—/-----n>0,解得0<〃<13,故"的最大值为12,故D正确.

22

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：由于等差数列Sn=〃q+“(,T)d=1~"2+,—是关于〃的二次函数，

当为与d异号时，S“在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当为与d同号时，Sn

在〃=1取最值.

18.已知数列｛q｝：1,1,2,3,5,…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和,

记s”为数列｛q｝的前〃项和，则下列结论正确的是（）

A.S6=a&B.S7=33

C.%+%+“5++<^2021="2022D.%+/%++。2020=^2020^2021

解析：BCD

【分析】

根据题意写出“8，56,S,,从而判断A,B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适

当的变形，利用累加法即可判断C,D的正误.

【详解】

对A,tz8=21,S6=20,故A不正确；

对B,Sy=S6+13=33,故B正确；

对C,由q=42，%^^4d?,CI5。6—。4，…，”2021—^2022—“2020'可得

+%+%"*------)■^2021=^2022，故C正确；

对D,该数列总有。〃+2=。"1+〃〃，则=%（%-4）二出/一%卬,

%二%(“4—%)二名。4—^2018=^2018(^2019—^2017)~^2018^2019—^2017^2018y

a2019="2019”2020—^2019^2018,°2020=a2020^2021—a2020^2019,

故a；+药+a；H------F422020=a2020^2021,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是对CD的判断，即要善于利用an+2=an+l+an对所给式子进

行变形.

19.设｛4｝是等差数列，S“是其前九项的和，且55<七，S6=S7>S&,则下列结论正

确的是（）

A.d>QB.%=0

C.S9>S5D.S6与S7均为S”的最大值

解析：BD

【分析】

设等差数列｛&｝的公差为d,依次分析选项即可求解.

【详解】

根据题意，设等差数列｛4｝的公差为d,依次分析选项：

｛4｝是等差数列，若其二跖，则$7-56=%=0,故B正确；

又由55<其得$6—S5=4>0,则有〃=%—%,<0,故A错误；

而C选项，s9>S5,即&+%+/+49>0，可得2（%+线）>0,

又由。7=0且d<0，则。8<0，必有%+。8<0，显然c选项是错误的.

VS5<S6,A=S7〉S8，；.S6与S7均为S”的最大值，故。正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查了等差数列以及前/?项和的性质，需熟记公式，属于基础题.

20.已知无穷等差数列｛与｝的前n项和为Sn,$6<S7,且跖〉工，则()

A.在数列｛4｝中，见最大

B.在数列｛。,｝中，生或为最大

C.S3-Sl0

D.当〃28时，<0

解析：AD

【分析】

利用等差数列的通项公式可以求%>0，。8<0,即可求公差d<0,然后根据等差数列

的性质判断四个选项是否正确.

【详解】

因为56Vs7,所以邑-56=%>0,

因为§7>S8,所以Sg-S7=口8<°，

所以等差数列｛4｝公差△=q-％<0,

所以｛q,｝是递减数列，

故为最大，选项A正确；选项3不正确；

S10—S3=。7+。8++。10=7。7〉。,

所以反片，。，故选项C不正确；

当时，an<a8<0,即a”<0,故选项D正确；

故选：AD

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和前n项和Sn,属于基础题.

21.等差数列｛%｝的首项4〉0,设其前九项和为｛SJ,且久=品，贝|()

A.d>QB.d<Qc.。8=°D.S.的最大值是工

或者$9

解析：BD

【分析】

由'=与=品-56=0,即5%=0,进而可得答案.

【详解】

解：S]]—Sf=%+4+%+Go+q]=5%=0,

因为q>0

所以的=0,d<0,4二名最大，

故选：BD.

【点睛】

本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题.

22.数列｛4｝满足。用=岛9=1,

则下列说法正确的是（）

A.数列是等差数列B.数歹人—>的前n项和S,1

C.数列｛4｝的通项公式为=2〃-1D.数列｛4｝为递减数列

解析：ABD

【分析】

a.11c1

首项根据a”+i尸n，•，4"］得到一一=2,从而得到一是以首项为1,公差为

2%+14+14

2的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】

对选项A,因为4+1=「"［，4=1，

X+1

111c

所以---a^=2+1即--------=2

4+1a„a„4+1an

所以,L是以首项为1,公差为2的等差数列，故A正确.

对选项B,由A知：—=1+2（M-1）=2n-1

an

数列<J->的前n项和S="（1+2〃D=〃2,故B正确.

2

11

对选项C,因为一=2〃-1,所以4=-----,故c错误.

a

n2n—1

对选项D,因为所以数列｛%｝为递减数列，故D正确.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档

23.在下列四个式子确定数列｛4｝是等差数列的条件是（）

A.an^kn+b（左，Z?为常数，〃eN*）;B.an+2-an^d（d为常数，

nGN*）;

C.an+2-2«„+1+«„=GN*）；D.｛4｝的前几项和S“=〃2+〃+l

"eN*）.

解析：AC

【分析】

直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列.

【详解】

A选项中6（左，。为常数，〃eN*），数列｛4｝的关系式符合一次函数的形

式，所以是等差数列，故正确，

B选项中a.+2-d（d为常数，neN*），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个

常数，故错误；

C选项中%+2—2a"+|+4=0（〃wN*）,对于数列｛a,｝符合等差中项的形式，所以是等差

数列，故正确；

D选项｛a“｝的前”项和=〃2+〃+1（〃eN*），不符合S”=4?+3”,所以｛4｝不

为等差数列.故错误.

故选：AC

【点睛】

本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

24.无穷数列｛4｝的前几项和=a〃2+加+c,其中a,b,。为实数，则（）

A.｛a,｝可能为等差数列

B.｛4｝可能为等比数列

C.｛4｝中一定存在连续三项构成等差数列

D.｛4｝中一定存在连续三项构成等比数列

解析：ABC

【分析】

由SR=a“2+/W+C可求得4的表达式，利用定义判定得出答案.

【详解】

当〃=1时，ax=S1=a+b+c.

2

当〃之2时，an=Sn-Sn_｛=an+bn+c-a^n-i^=2an-a+b.

当〃=1时，上式=〃+△.

所以若｛%｝是等差数列，则a+〃=a+〃+c7.c=O.

〃=c=0

所以当c=0时，｛4｝是等差数列，＜_^0时是等比数列；当cwO时，｛4｝从第二

项开始是等差数列.

故选：ABC

【点睛】

本题只要考查等差数列前。项和S.与通项公式明的关系，利用S.求通项公式，属于基础

题.

三、等比数列多选题25.题目文件丢失！

26.题目文件丢失！

27.已知数列｛%｝是公比为q的等比数列，4=4+4,若数列抄,｝有连续4项在集合

｛-50,-20,22,40,85｝中，则公比q的值可以是（）

3243

A.——B.——C.——D.——

4332

解析：BD

【分析】

先分析得到数列｛%』有连续四项在集合｛-54,—24,18,36,81｝中，再求等比数列的公

比.

【详解】

b”=%,+4

■-a„=bn-4

「数列｛么｝有连续四项在集合｛-50,-20,22,40,85｝中

二数列｛4｝有连续四项在集合｛-54,—24,18,36,81｝中

又.数列｛4｝是公比为9的等比数列，

二在集合｛-54,—24,18,36,81｝中，数列｛%,｝的连续四项只能是：—24,36,

—54,81或81,—54,36,-24.

363--242

“耳［或

故选：BD

28.计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染

后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病

毒传染指数就，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指

数C。=2,若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感

染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处

理，则下列说法中正确的是（）

A.在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件

B.经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件

C.10分钟后，该计算机处于瘫痪状态

D.该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列

解析：ABC

【分析】

设第九+1分钟之内新感染的文件数为%+1，前九分钟内新感染的病毒文件数之和为S“，则

%+i=2（S,,+l）,且q=2,可得4=2X3"T,即可判断四个选项的正误.

【详解】

设第九+1分钟之内新感染的文件数为为向，前九分钟内新感染的病毒文件数之和为S“，则

%+i=2（S4+1）,且％=2,

由4+i=2（S〃+l）可得%=2（S“_j+l）,两式相减得：a〃+]—4=2a〃，

所以“2=3”,,，所以每分钟内新感染的病毒构成以q=2为首项，3为公比的等比数列，

所以。“=2X3”T,

在第3分钟内，该计算机新感染了%=2X33T=18个文件，故选项A正确；

经过5分钟,该计算机共有1+q+%+%+/+%=1+2[7）=35=243个病毒文

件，故选项B正确；

10分钟后，计算机感染病毒的总数为

2x（l-310）1

1+a1+a[+L+1]。—Id-----------3>—x10，

1—32

所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；

该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；

故选：ABC

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第八+1分钟之内新感染的文件数为%+i与

前九分钟内新感染的病毒文件数之和为S“之间的递推关系为4+]=2（5"+1）,从而求得

an-

29.对任意等比数列{%},下列说法一定正确的是（）

A.%,a3,生成等比数列B.a2,%，与成等比数列

C.。2，。4，%成等比数列D.。3，。6，成等比数列

解析：AD

【分析】

根据等比数列的定义判断.

【详解】

设｛a“｝的公比是q,则a“=qqH-l

A.—=q=4,%,%，与成等比数列，正确；

CL3

B,-^q,-=q3,在时，两者不相等，错误；

a2%

C.M=q?,—=94,在dwi时，两者不相等，错误；

a2a4

D."=/=&，aa%成等比数列，正确.

%a6

故选：AD.

【点睛】

结论点睛：本题考查等比数列的通项公式.

数列｛4｝是等比数列，则由数列｛q｝根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列：

如奇数项4,%，%，％，•或偶数项。2，。4，。6，，仍是等比数列，

实质上只要匕,修，匕，•，/，••是正整数且成等差数列，则%，殁2，4,，曳，-仍是等比

数列.

30.设S”为等比数列｛%,｝的前几项和，满足q=3,且％,-2%,4%成等差数列，则

下列结论正确的是（）

B.3Sn=6+an

4使得J4=%，则5的最小值为：

c.若数列｛4｝中存在两项与,

D.若加恒成立，则利―/的最小值为U

3〃6

解析：ABD

【分析】

根据等差中项列式求出4=-；,进而求出等比数列的通项和前〃项和，可知A,B正确；

P=1、p=2〃二4