圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点29圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【六大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1三角形面积问题】.....................................................................2

【题型2四边形面积问题】.....................................................................2

【题型3三角形面积之比问题】.................................................................4

【题型4三角形面积之和、之差问题】..........................................................5

【题型5已知面积求其他量】...................................................................7

【题型6三角形（四边形）面积的最值、范围问题】..............................................8

►命题规律

1、圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的三角形（四边形）面积

问题考查热度较高，考查形式多种多样，主要考查三角形、四边形的面积及其最值（范围）问题、面积之

比问题、已知面积求其他量等问题，各种题型都有考查，在解答题中，计算量大，难度较高；复习时要加

强此类问题的训练，灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1圆锥曲线中的面积问题及其解题策略】

1.三角形面积问题的解题策略

（1）利用三角形面积公式求解：

①底=1••底X高（一般选弦长做底，点到直线的距离为高）;

②品=J-水平宽X铅垂高.

2.四边形面积问题的解题策略

面积的拆分：不规则的多边形的面积问题通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和

高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.

3.三角形面积之比问题的解题策略

（1）三角形面积公式：利用三角形面积公式分别求出各个三角形的面积，再研究它们之间的比值问题.

（2）面积的关系的转化：寻找这些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面

积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.

4.圆锥曲线中面积的最值（范围）问题的解题策略

一般都是利用三角形面积公式表示面积，然后将面积的关系式转化为某个变量的一个函数，再求解函

数的最值（常用方法有：单调性法、换元法、基本不等式、三角函数求最值、利用导数求最值等），在计算面

积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活求解，简化计算.

►举一反三

【题型1三角形面积问题】

【例1】（2024•湖北武汉•二模）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,过尸作直线交抛物线C于48两

点，过4B分别作准线［的垂线，垂足分别为M,N,若△力FM和4BF'的面积分别为8和4,则aAlFN的面

积为（）

A.32B.16C.8V2D.8

2

【变式1-1］（2024•湖南长沙•三模）已知点/为双曲线?-y=1的左顶点，点2和点c在双曲线的左支

匕若△力BC是等腰直角三角形，则△力BC的面积是（）

A.4B.-C.-D.-

999

【变式1-2］（2024•陕西商洛•模拟预测）已知椭圆。5+，=1（口>8>0）的长轴长为2（）,离心率为5，左

、右焦点为尸1，尸2，若。上的点P满足NF1PF2=泉则的面积是（）

64V3n64"128V3-128

AA.-----B.——C.-------D.—

3333

【变式1-3］（2024•全国•模拟预测）已知点4为椭圆M：9+［=1的一点，Fi，分别为椭圆M的左，右

焦点，NF遇尸2的平分线交y轴于点B（O,—J，则的面积为（）

A.-B.—C.1D.2

22

【题型2四边形面积问题】

【例2】（2024•贵州毕节•二模）在椭圆C：9+［=1上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,。为垂足，

点M在线段PD上，且满足|DP|=&|DM|.

（1）当点P在椭圆C上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）若曲线E与久，y轴的正半轴分别交于点4B,点N是E上第三象限内一点，线段2N与y轴交于点口，线段BN

与x轴交于点G,求四边形ABGH的面积.

【变式2-1］（2024•安徽芜湖•模拟预测）如图，直线11：%=根丫+?11与直线/2：%=爪丫+九2，分别与抛物线

T-.y1=2px(p>0)交于点和点在x轴同侧).当人经过T的焦点尸且垂直于x轴时，|A8|=1.

(1)求抛物线T的标准方程；

(2)线段/。与2。交于点X,线段N8与CO的中点分别为M,N

①求证：M,H,N三点共线；

②若2\HM\=\HN\=2,求四边形48。的面积.

【变式2-2](2024•全国•模拟预测)已知椭圆E5+/=l(a>b>0)的离心率为当且点(1,第在椭圆E

上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知4B,C为椭圆上三个点，。为坐标原点，若四边形。4BC为矩形，求四边形04BC的面积.

2

【变式2-3](2024・山东济南•二模)已知点3(4,可)是双曲线T京一步=1上一点，T在点B处的切线与工

轴交于点4

(1)求双曲线T的方程及点4的坐标；

(2)过力且斜率非负的直线与T的左、右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交7于P(当N位于左顶点时认为N

与P重合).C为圆E:(x-1)2+(y+2/=1上任意一点，求四边形M8PC的面积S的最小值.

【题型3三角形面积之比问题】

[例3](2024・重庆•模拟预测)已知%(―c,0)/2(c,0)分别是椭圆的「+，=l(a＞。，＞0)的左右焦点,

如图，抛物线C2：V=—2px(p＞0)的焦点为Fi(-c,0),且与椭圆在第二象限交于点P,|PF/=*,延长PF1

与椭圆交于点Q.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设4PFi/MSQF14的面积分别为Si，52,求蓑

【变式3-1](2024・四川南充•二模)如图，已知四边形2BCD的四个顶点都在抛物线d=4y上，且N,B

在第一象限，力C〃久轴，抛物线在点/处的切线为/,且BD〃L

(1)设直线CB,CD的斜率分别为左和k',求k+1的值;

(2)尸为AC与BD的交点，设△BCD的面积为Si，△PAD的面积为S2,若tanNBG4=2,求2的取值范围.

*

【变式3-2](2024•辽宁・模拟预测)设动点G(x,y)到点F(1,0)的距离与它到直线/:久=4的距离之比为点记

点G的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)力为C与乂轴的负半轴的交点，B为直线尤=1与C在第一象限的交点，直线厂过点(-2,3),且与C相交于M,N

两点，过点N作垂直于x轴的直线分别与直线相交于点P,Q,分别记aANQ与△4PQ的面积为Si与S2,

求证：Si=2s2.

【变式3-3](2024•新疆•三模)己知椭圆小真+，=1(£1>6>0)的左右焦点分别为尸1，F2,离心率为

过抛物线。2：步=2ax焦点的直线交抛物线于M,N两点，|MN|的最小值为4.连接M。，N。并延长分别交g

MN

于4,8两点，且点A与点M,点B与点N均不在同一象限，△OMN与404B的面积分别记为S^，SAOAB.

⑴求CI和C2的方程；

(2)记4=沁匕求久的最小值.

【题型4三角形面积之和、之差问题】

【例4】(23-24高二下•福建泉州•期中)已知抛物线C:y2=2px(0<p<3),其焦点为尸，点Q(m,2旧)在

抛物线C上，且|QF|=4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)。为坐标原点，4B为抛物线上不同的两点，且。

(i)求证直线4B过定点；

(ii)求△AFO与△力80面积之和的最小值.

【变式4-1](2024•上海•模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆+=1的左，右焦点外

别为％,%，设P是第一象限内「上的一点，P%、P4的延长线分别交「于点色、Q2-

(1)求4P%Q2的周长；

⑵求△PF1Q2面积的取值范围；

(3)求S^pFiQz-S^PFZQI的最大值.

【变式4-2](23-24高二下•四川泸州•阶段练习)已知抛物线C:y2=2p久(p>0)的焦点为凡M(m,—|)为C

上一点，且|MF|=:

⑴求C的方程；

(2)过点P(4,0)且斜率存在的直线l与C交于不同的两点4B,且点B关于x轴的对称点为D,直线2。与K轴交于

点Q.

(i)求点Q的坐标；

(ii)求△OAQ与aOAB的面积之和的最小值.

【变式4-3](2024•陕西西安•模拟预测)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，动点M(x,y)到定点F(l,0)

的距离和它到定直线=4的距离之比是常数点设动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点N(-1,0)的直线与曲线C相交于点N,8(不在x轴上)，记线段/尸的中点为P,连接尸。，并延长

交曲线C于点0,求^FPl^ABND的面积之和的取值范围.

【题型5已知面积求其他量】

【例5】(2024•全国•模拟预测)己知椭圆后:a+左=1(。>匕>0)的左、右焦点分别为%,外，离心率为券,

点2在椭圆E上，且=2|力/21，的面积为4夕，则椭圆E的焦距为()

A.4V2B.8V2C.6D.12

【变式5-1](2024•四川德阳•模拟预测)己知双曲线/：捺―《=1(a>0,6〉0)的焦距为2,，右顶点为力,

过/作x轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点，若SMONNc2,则E的离心率的取值范围是()

与4

A.[苧2]B.殍回C.[V2<V3]D.[V3,2]

【变式5-2](2024•山东•二模)已知双曲线的中心为坐标原点。，点P(2,-&)在双曲线上，且其两条渐近

线相互垂直.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若过点Q(0,2)的直线1与双曲线交于E,F两点，△。5尸的面积为2a,求直线[的方程.

【变式5-3］（2024•广东茂名•一模）已知抛物线=2px（p>0）,尸为抛物线的焦点，P,Q其为准线上的

两个动点,且PF1QF.当|PF|=2|QF|时，|PQ|=5.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若线段。吃（2尸分别交抛物线（7于点48,记的面积为Si，△4BF的面积为52,当SI=952时，求|PQ|

的长.

【题型6三角形（四边形）面积的最值、范围问题】

【例6】（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆C：《+y2=1（a>1）的离心率为.，椭圆C的动弦过椭

圆C的右焦点F,当4B垂直支轴时，椭圆C在A,B处的两条切线的交点为M.

（1）求点M的坐标；

（2）若直线AB的斜率为过点M作x轴的垂线I,点N为I上一点，且点N的纵坐标为-直线NF与椭圆C交

于P，Q两点，求四边形力PBQ面积的最小值.

【变式6-1］（2024•北京•模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆。/+4丫2=2上一点。的横坐标为1,斜

率存在的直线/交椭圆C于/,B两点,且直线94,的斜率之和等于1.

⑴求|。。|;

（2）若点。在第一象限，探究△AB。的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.

【变式6-2］（2024・全国・模拟预测）已知双曲线。5—3=1（。>0,6>0）过点以］,其中c=7出+炉）,

且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为詈.

⑴求双曲线C的标准方程；

（2）记。为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为4SP为双曲线C上一动点（异于顶点），M为线段4P的中

点，Q为直线x=g上一点，且力P〃OQ,过点Q作QN10M于点N,求面积的最大值.

【变式6-3］（2024•江苏南通•三模）已知抛物线C:/=2py（p〉0）的焦点为F,直线I过点F交C于48两点,

C在4B两点的切线相交于点P,4B的中点为Q,且PQ交C于点E.当/的斜率为1时，\AB\=8.

⑴求C的方程；

（2）若点P的横坐标为2,求|QE|；

⑶设C在点E处的切线与P4PB分别交于点M,N,求四边形4BNM面积的最小值.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•内蒙古赤峰•二模）设点尸是椭圆C：盘+*=1上一点，%,6分别为椭圆C的左、右焦点，且

36Z5

△PF/2的重心为G,若|P%|=2|PFz|,则的面积为（）

A.16V7B.|V7C.12V7D.1V7

2.（2024•河北•模拟预测）点％（-2,0）,尸2（2,0）为等轴双曲线C的焦点，过尸2作刀轴的垂线与C的两渐近线分

别交于4B两点，则△AOB的面积为（）

A.2V2B.4C.4V2D.8

3.（2024・四川宜宾•模拟预测）已知抛物线C:y2=6x,过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C

相切于点4B,则4B面积的最小值是（）

A.6B.9C.12D.18

22

4.（2024•江西九江三模）已知椭圆C邑+专=l（a〉b>0）的左右焦点分别为%,尸2,过尸1且倾斜角为三的

CLD6

直线交C于第一象限内一点4若线段力F1的中点在y轴上,△4F1F2的面积为2百，则c的方程为（）

A.^+y2=lB.^+^=1

3y32

C.兰+g=1D.且+《=1

9396

5.（2024・辽宁•一•模）已知双曲线C:^•一/=1的下焦点和上焦点分别为％,F2,直线y=%+zn与C交于

4B两点，若△F2A8面积是面积的4倍，则根=（）

A.3B.-3C.—D.--

33

6.（2024•广东广州•一模）双曲线。％2一产=4的左，右焦点分别为%,92，过尸2作垂直于X轴的直线交双

曲线于4,8两点，△力Fi&QBFi&qF遇B的内切圆圆心分别为。1，。2，。3，则△。1。2。3的面积是（）

A.6V2-8B.6V2-4C.8-4V2D.6-4V2

7.（2024•云南•模拟预测）已知抛物线C:y2=4%的焦点为凡过点F的两条互相垂直的直线几％分别与抛物

线C交于点4B和D,E,其中点4。在第一象限，则四边形4DBE的面积的最小值为（）

A.64B.32C.16D.8

8.（2024・重庆•模拟预测）己知抛物线C:y=4久的焦点为F,过尸且斜率为1的直线与抛物线交于力、B

两点（4在x轴上方），过点4、B作准线的垂线，垂足分别为T、B'线段4身'中点为E,四边形A4'EF和四边形

BB2F的面积分别记为Si，S2，则2=（）

A.3-2V2B.3-V2C.3+V2D.3+2企

二、多选题

9.（2024・云南・二模）已知点P为双曲线-9=1上任意一点，过点P分别作E的两条渐近线的垂线，垂

足分别为N,记△PMN的面积为S,则（）

A.AMPN=yB.\PM\■\PN\=y

C.PM-PN=—

49AS考

10.（2024•江西•模拟预测）已知力（—2,0）,8（2,0）,C（l,0）,动点M满足MA与MB的斜率之积为—：，动点M

4

的轨迹记为r,过点c的直线交r于p,Q两点，且p,Q的中点为R,则（）

A.M的轨迹方程为9+7=1

B.|MC|的最小值为1

C.若。为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为日

D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D,则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍

11.（2024・广东•二模）抛物线T：/=2py（p>o）焦点为F，且过点力（4,4）,斜率互为相反数的直线力C,AD

分别交T于另一点C和。，则下列说法正确的有（）

A.直线CD过定点

B.T在C,。两点处的切线斜率和为-4

C.T上存在无穷多个点到点F和直线y=5的距离和为6

D.当C,。都在/点左侧时，△力CD面积的最大值为空言

三、填空题

12.（2024•海南•模拟预测）已知抛物线C：俨=20久位>0）的焦点为尸，过尸且斜率为1的直线I交C于力，B

两点，若△AOB的面积为VL则「=.

13.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）已知椭圆M:'+y2=1,经过坐标原点的两条直线分别与椭圆M相交于

A、B、C、。四个点，若该两条直线的斜率分别为a、k2,且的・他=-5则△力。C的面