正方形存在性问题-2024年中考数学二次函数压轴题

专题13正方形存在性问题

一、知识导航

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多

样，从判定的角度来说，可以有如下：

(1)有一个角为直角的菱形；

(2)有一组邻边相等的矩形；

(3)对角线互相垂直平分且相等的四边形.

依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标.

从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相

平分(2个)垂直(1个)且相等(1个).

比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线

上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解.

从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：

(1)2个定点+2个全动点；

(2)1个定点+2个半动点+1个全动点；

甚至可以有：(3)4个半动点.

不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！

常用处理方法：

思路1:从判定出发

若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；

若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；

若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件.

思路2:构造三垂直全等

若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直甭

三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点.

总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发,

观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系.

正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主.

二、典例精析

例：在平面直角坐标系中，A(1,1),B(4,3),在平面中求C、。使得以A、B、C,。为顶点的四边形是正

方形.

A

y

.B

A

*

如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三南形.

至于具体求点坐标，以G为例，构造9,即可求得G坐标.至于像C5、Cf这两个点的坐标,

不难发现，C5是AC3或BG的中点,Cf是BC?或AC,的中点.

题无定法，具体问题还需具体分析,如上仅仅是大致思路.

三、中考真题演练

1.(2023・湖南・中考真题)我们约定：若关于尤的二次函数％=。4+R天+9与丫2=。2*2+4苫+02同时满足

G+(d+4)2+h-4I=。3一么)2侬*0,则称函数M与函数丫2互为“美美与共”函数.根据该约定，解

答下列问题:

⑴若关于尤的二次函数％=2/+日+3与%=7加+X+〃互为“美美与共”函数，求左，7找，〃的值;

(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数％=渡+匕尤+c与它的“美美与共”函数出的图像顶点分

别为点A,点8,函数为的图像与x轴交于不同两点C,函数内的图像与x轴交于不同两点E,足当CD=

时，以A,B,C,。为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理

由.

【详解】(1)解：由题意可知：%=。2，ai=cv瓦=-b2中0,

m—3,n—2,k——1.

答：人的值为T,比的值为3,w的值为2.

2

(3)解：由题意可知％=依2+bx+c,y2=cx-bx+a,

.(b4ac-b2b4ac-b2

..A-----,----------—,---------,

、2Q4a112c4c)

2

.rn_ylb-4ac_扬-4ac

开一'-H—'

'：CD=EF^.b2-4ac>0,

•*-H=lch

①若a=_f,贝！|%=ax?=―办？_bx+a,

要使以A,B,C,。为顶点的四边形能构成正方形,

则△C4D,AC3。为等腰直角三角形，

**-CD=2\y/\,

.扬+4/-42-b2

・・----------=2-1----a--------1,

⑷4a

**-2y]b2+4^2=b2+4片,

・・・廿+4/=4,

.1，1b2-4ac1b2+4a22

**c3正一~CD-~2―彳2——29

22a2aa

•//=4-4/>0,

0<a2<1,

•••S正>2；

②若a=c,则A、8关于y轴对称，以A,B,C,。为顶点的四边形不能构成正方形，

综上，以A,B,C,。为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思

想解决问题.

2.（2023・辽宁•中考真题）如图，抛物线y=4/+法+。与无轴交于点人和点3（4,0），与V轴交于点C（0,4）,

备用图

（1）求抛物线的解析式;

（3）点V在直线AC上，点N在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点N的坐标.

分析：（3）先求得直线AC的解析式为>=2尤+4,分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为尸、Q,证明

^-m2+m+4j,则1m2_m_4,mj,由点M

△OEP^AMOQ,推出PE=0。，PO=MQ,设E机,一

2

在直线AC上，列式计算，可求得相的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点M（a,6）,则点E（b,-a）,

当绕着点。逆时针旋转90。得到OE时，当点M绕点。逆时针90。得到点石时，根据旋转的性质，可得

点N的坐标.

【详解】(1)解：•••抛物线y=无2+法+。经过点3(4,0)和C(0,4),

127

——x4+4/?+c=0

・•.J2,

c=4

[b=l

解得小

抛物线的解析式为y=-；/+兀+4；

(3)解：令)=。，贝|一；％2+%+4=0,

解得％=-2或%=4,

・・・A(-2,0),

同理，直线AC的解析式为y=2x+4,

,/四边形OENM是正方形，

：.OE=OM,ZEOM=90°,分别过点“、E作y的垂线，垂足分别为尸、。，如图,

ZOPE=ZMQO=90°,ZOEP=90°-ZEOP=ZMOQ,

：.△函啜△MOQ,

：.PE=OQ,PO=MQ,

设机，一;机2+机+41,

PE=OQ=-m,PO=MQ=-^m2+m+4,

则机2_m_4,,

・・,点M在直线AC上，

m=zf^-m2-m-4j+4,

解得机=4或机=-1,

当根=4时，M（0,4）,£1（4,0）,

即点M与点C重合，点E与点5重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4,4）；

当相=—1时，Af

点。向左平移|■个单位，再向下平移1个单位，得到点

则点E向左平移|■个单位，再向下平移1个单位，得到点N,

.,•咱.|加,即«《|）；

设点Af（a,6）,则点E优,-a）,

当OM绕着点O逆时针旋转90°得到OE时，如图，

:点E在y=2x+4的图象上，

，=2。+4,

.•.点M（a,2a+4）,

:点E在y=-g尤?+x+4的图象上，

1\2

••—（2。+4）+2a+4+4——a,

解得：”-［或。，

得（0,4）出（4,0）,%,E211,电，

当点M绕点。逆时针90。得到点£时，点E（-6,a）,M（a,2a+4），E（-2a-4,a）,

:点E在y=-g尤?+x+4的图象上，

1

/.--（-2a-49）-2a-4+4=a,

-11土庖

解得：a=

"-5+>/57-17

；•点的坐标为或

N-4'一

【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次

函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的

题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论.

3.(2023•黑龙江绥化•中考真题)如图，抛物线必=渥+法+，的图象经过A(-6,0),8(-2,0),C(0,6)三点,

(1)求抛物线和一次函数的解析式.

⑵点E,b为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点尸的左侧.这样的

E,/两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

(3)将抛物线y^a^+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线%，此抛物线的图象与》轴交于M,N

两点(加点在N点左侧).点P是抛物线％上的一个动点且在直线NC下方.已知点尸的横坐标为过点

P作PDLNC于点D.求山为何值时，。+!尸。有最大值，最大值是多少？

2

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)①当3c为正方形的边长时，分别过3点C点作电工BC,使4B=E/=BC,

CF\=CF°=BC,连接与耳、E2F2,证明△B&d附△CBO(AAS),得出4H=8。=2,&B=OC=6,则

4(-8,2)同理可得，E2(4,-2);②以BC为正方形的对角线时，过3c的中点G作区鸟，8C,使名鸟与3c

互相平分且相等，则四边形瑞C为正方形，过点刍作轴于点N,过点8作于点河，

222

证明△CEsNgA4BMlAAS),得出自8=2石，在Rt△区NC中，E3C=CN+E3N,解得CN=2或4,

进而即可求解；

【详解】(1)解：把4-6,0),5(-2,0),C(0,6)代入％+灰+。

36〃-6b+c=Q

得v4〃一2。+。=0

c=6

.1

a——

2

解得。=4

c=6

1

••y.=—x9+4x+6

12

把5(-2,0)代入y="+6得上=3

y=3x+6

(2)满足条件的£、方两点存在，旦(-8,2),用(4,-2),5-4,4)

解：①当BC为正方形的边长时，分别过8点C点作g刍LBC,F^IBC,使与2=用2=2(7,

CFt=CF2=BC,连接片片、E£.

-8-7-0-5-4-323r5678x

-2卜E2

过点片作gHJx轴于区.

•.•BEl=CB,ZBOC=NE'H'B=90°=NE&C,

又ZBElHl=90°-ZElBHl=ZCBO,

：.△BE/芦△CBO(AAS),

，E向=80=2,H、B=OC=6

.••4(-8,2)

同理可得，£(4，-2)

②以BC为正方形的对角线时，过8C的中点G作E3F31BC,使外片与BC互相平分且相等，则四边形

为正方形，

过点E3作E3N，y轴于点N,过点2作，E3N于点知

CE3=BE3/CNE3=/E3MB=90°,

又NBE3M=90°-ZCE3N=ZEiCN

：./\CE3N^AE3BM(AAS)

CN=E3M,BM=E3N

•/BC=2V10

Efi=BG=>Jid

：.g3=2正

22

在RtA£,?/C中，E3c②=CN+E3N

:.Q小¥=CN、(6-CN?

解得GV=2或4

当CN=4时，4(2,2),此时点E在点尸右侧故舍去；

当CN=2时，£3(-4,4).

综上所述：耳(-8,2),E2(4,-2),£3(-4.4)

4.(2023・湖南岳阳・中考真题)已知抛物线Q：y=-尤2+bx+c与x轴交于4(-3,0),3两点，交V轴于点

C(0,3),

⑴请求出抛物线2的表达式.

⑵如图1,在y轴上有一点。（0,-1）,点E在抛物线。上，点P为坐标平面内一点，是否存在点E,尸使得

四边形ZM环为正方形？若存在，请求出点瓦尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）把A（-3,0）,<7（0,3）代入。[：♦=々+a+，,求出8=-2,c=3即可；

（2）假设存在这样的正方形，过点E作于点R,过点F作尸轴于点/,证明

△EAR=AAOD,^FID=ADOA,可得ER=3,AR=1,FI=1,10=2,故可得E（-2,3）,尸（1,2）；

【详解】（1）:抛物线Q：y=-尤2+bx+c与X轴交于A（-3,o）,两点，交y轴于点C（0,3）,

.•.把4（一3,0）,。（0,3）代入2~=-尤2+云+°,得，

J-9-36+c=0

jc=3

（b=-2

解得，°,

[c=3

工解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）假设存在这样的正方形ZMEF,如图，过点E作成_Lx于点尺过点/作Cy轴于点/,

・•.ZAER+ZEAR=90°,

四边形是正方形,

.・.AE=AD,ZEAD=9Q°,

：.ZEAR+ZDAR=90°,

：.ZAER=/DAO,

又ZERA=ZAQD=90。，

；・AAER与DAO,

AR=DO、ER=AO,

•••A（-3,0）,D（0,-l）,

OA—3QD-1,

:.AR=1,ER=3,

：.OR=OA—A7?=3—1=2,

£（-2,3）；

同理可证明：^FID=ADOA,

：.FI=DO=1,DI=AO=3,

/.IO=DI-DO=3-1=2,

.,.F（l,2）；

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性

质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键.

5.（2022・山东济宁・中考真题）已知抛物线G：y=-g（疗m+1"-1与x轴有公共点.

（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

⑵将抛物线G先向上平移4个单位长度，再向右平移〃个单位长度得到抛物线C?（如图所示），抛物线g与

x轴交于点A,8（点A在点8的右侧），与y轴交于点C.当OC=OA时，求〃的值；

（3）。为抛物线C?的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴/的垂线，垂足为G,交抛物线C2于点E,连接BE

交I于点、F.求证：四边形CDE尸是正方形.

【答案】⑴x<-l

（2）九=2

（3）见解析

【分析】（1）根据抛物线与&轴由公共点，可得A'。，从而而求出加的值，进而求得抛物线对称轴，进一

步得到结果;

(2)根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据x=0和y=0分别得出点C和A的坐标，根

据OC=Q4列出方程，进而求的结果；

(3)从而得出点8、点C的坐标，由抛物线的解析式可得出点。的坐标和点E的坐标，进而求得BE的解

析式，从而得出点P的坐标，进而得出CG=EG=DG=/G=1,进一步得出结论.

【详解】(1)解：•••抛物线y=-g(/+i卜2-(〃[+1)尤-1与无轴有公共点，

/.(m+l)2-4xx(-l)..D.

:.-(m-l)2..O.m—1=0.

m=l,

y——X2—2%—1=—(x+1尸,

V-l<0,

・••当xv—1时，y随着工的增大而增大.

(2)解：由题意，y=—(x+1—n)2+4=—x2—2(1—n)x—n2+2H+3,

当y=0时，一(x+1-〃)2+4=0.,

解得：％=-3+〃或％=1+〃.，

・・,点A在点8的右侧，

・••点A的坐标为(1+〃，0),点5的坐标为(—3+H,0).

・・•点。的坐标为(0,一/+2〃+3),

〃+1=—n2+2?z+3.

解得：〃=2或〃=—1(舍去).

故〃的值为2.

(3)解：由(2)可知：抛物线C2的解析式为y=—(x-1)2+4.

・••点A的坐标为(3,0),点3的坐标为(一1,0)

点C的坐标为(0,3),点。的坐标为(1,4),

抛物线C2的对称轴是直线x=1,

:点E与点C关于直线x=l对称,

.••点E的坐标为（2,3）.

，点G的坐标为（1,3）.

设直线BE解析式为〉=依+6,

..上+6=0,

'[2k+b^3.

伏=1,

解得：一

[6=1.

・•y=:x+1.

当x=l时，y=l+l=2.点尸的坐标为（1,2）.

FG=EG=DG=CG=1.

四边形C。所为矩形.

又；CE_LDF,

四边形CDE尸为正方形.

【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，

解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系.

6.（2022•山东泰安・中考真题）若二次函数丁=加+区+c的图象经过点A（-2,0）,B（0,T）,其对称轴为直

线x=l,与x轴的另一交点为C.

⑵若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作轴于点N.

①若点N在线段0C上，旦MN=3NC,求点M的坐标；

②以为对角线作正方形MPNQ(点尸在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标.

【答案］(1)y=；尤2_i

⑵①(1「］｝②

【分析】(1)利用待定系数解答，即可求解；

(2)①先求出直线42的表达式为y=-2x-4,然后设点N的坐标为(加,0).可得2机-4).可得到

MN=2m+4,NC=4-m.再由MN=3NC,即可求解；②连接PQ与MN交与点E.设点M的坐标为

2r-4),则点N的坐标为”,0)

根据正方形的性质可得E的坐标为&V-2),进而得到P的坐标(2/+2,T-2).再由点P在抛物线上，即

可求解.

【详解】(1)解：・•・二次函数交加+灰+c的图象经过点(0,-4),

又•••抛物线经过点A(-2,0),对称轴为直线x=l,

1

_±=1CL——,

2a'解得：＜2

4a—2b—4=0,b=-l,

抛物线的表达式为y=:尤2_》_4

(2)解：①设直线A8的表达式为、=丘+".

•・•点A,8的坐标为A(-2,0),3(0,T),

-2k+n=0k=—2

“z’解得：

n=-4

...直线AB的表达式为y=-2x-4.

根据题意得：点C与点&(-2,0)关于对称轴直线*=1对称,

/.C(4,0).

设点N的坐标为(m,0).

・・・M/V_Lx轴，

/.MV=2m+4

:.NC=4—m.

•：MN=3NC

2m+4=3(4-m),

Q

解，得加=,

点M的坐标g-g1;

②连接PQ与MN交与点E.

设点M的坐标为&-2,-4),则点N的坐标为亿0)

•.•四边形MW。是正方形，

PQ±MN,NE=EP,NE=-MN.

2

:MMLx轴，

.•.尸Q/戊轴.

•e-E的坐标为—2).

NE=1+2.

/.ON+EP=ON+NE=，+，+2=2%+2.

P的坐标(2%+2,T—2).

・・•点P在抛物线y=；尤2一元一4上,

17

/.-(2Z+2)一(2%+2)-4=一斤一2.

解，得％=；，t2=-l.

•・•点尸在第四象限，

t=—2舍去.

即/=;.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数

的图象和性质是解题的关键.

7.(2023•辽宁葫芦岛•一模)如图,抛物线y=-《无2+&X+C与x轴交于点A和点B(3,0),与＞轴交于点C(0,2),

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当点。在直线BC上方时，作DFLx轴于点尸，交直线8C于点E,当ND=N3CO时，求点。

的坐标；

⑶点P在抛物线的对称轴/上，点。是平面直角坐标系内一点，当四边形8PDQ为正方形时，请直接写出

点Q的坐标.

24

【答案】⑴了=-尹+产2

⑵⑷

(3)0(352),。2(1,2),。3(1,-2),a(6.5,-2)

【分析】(1)将8,C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；

(2)根据题意可求出直线BC的解析式，由4>=/BC0可证明CD=CE,作CWLDE于H,^DH=HE,

设点。的横坐标为t,分别表达DH和HE,建立方程即可得出结论；

(3)若四边形8POQ为正方形，则△BPD是等腰直角三角形，且4叫=90。，根据题意画出对应图形，利

用全等三角形建立方程，即可得出结论.

【详解】⑴・・・y=-"2+6x+c经过点8(3,0),点C(0,2)

，2

——x9+3b+c=0

3

。二2

解得3

。=2

24

•.・抛物线的函数解析式为：y=--x2+-x+2

(2)vDFlxtt，

：.DF//y^,

:.ZDEC=ZBCO,

•;/D=/BCO,

:.ZD=ZDEC,

CD=CE,

设直线BC的解析式为y=kx+m,

将5(3,0)