武汉部分重点中学2024年高二11月期中联考数学试题（含答案）

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考

高二数学试卷

本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.

考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00

祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在

答题卡上的指定位置.

2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.直线3x-y-2=0在y轴上的截距为()

22

A.—2B.2C.—D.----

33

2.已知直线4：y=x-1绕点(0,-1)逆时针旋转得万，得到直线小则乙不过第象限.

A.四B.三C.二D.一

3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器进行模拟实验产生1〜5之间的随机数，当出现

随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2,由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3

台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：

412451312531224344151254424142

435414135432123233314232353442

据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为()

A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55

4.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为:，且尸(A)=3尸(8),则尸(耳)=()

5.现有一段底面周长为12兀厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管

内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2兀厘米后再向下爬行5厘米到达尸点，另一只从B

沿下底部圆弧逆时针方向爬行2兀厘米后再向上爬行4厘米爬行到达。点，则此时线段尸。长（单位：厘

米）为（）

A.6A/2B.12C.12V2D.12V3

6.概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈

游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎

金.但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家

费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（）

A.甲315枚，乙105枚B.甲280枚，乙140枚

C.甲210枚，乙210枚D.甲336枚，乙84枚

7.在平面直角坐标系中，点P的坐标为圆。：必―lOx+y?—5y+号=0,点T«,0）为x轴上

一动点.现由点尸向点T发射一道粗细不计的光线，光线经x轴反射后与圆C有交点，贝U的取值范围为

（）

8.如图所示，四面体ABC。的体积为V,点M为棱BC的中点，点E,尸分别为线段。M的三等分点，

点N为线段AF的中点，过点N的平面。与棱ASAC,AL（分别交于0,P,Q,设四面体AOP。的体积

V

为V',则工的最小值为（）

V

11

C.—D.

1627

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9.给出下列命题，其中是真命题的是（）

.已知他力£｝是空间的一个基底，若两=2彳+3&,则日力，而｝也是空间的一个基底

B.平面a经过三点A(2,l,0),8(—1,3,1),C(2,2,-l),向量为=(1,MJ)是平面。的法向量，则

u+1=2

c.若五〉o,则〈落3〉是锐角

D.若对空间中任意一点O,有丽='函+’砺灰，则M,A,B,C四点不共面

362

10.下列命题正确的是()

A.设A,B是两个随机事件，且P(A)=！，P(B)=~,若P(A3)=L,则A,B是相互独立事件

236

B.若P(A)>0,尸(8)>0,则事件A,2相互独立与A,B互斥有可能同时成立

C.若三个事件A,B,C两两相互独立，则满足「(ABC)=P(A)尸(8)尸(C)

D.若事件A,B相互独立，P(A)=0.4,尸(8)=0.2,则尸(A耳U48)=0.44

11.平面内到两个定点A,8的距离比值为一定值2(471)的点P的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼

斯圆，俗称“阿氏圆已知平面内点4(2,0),8(6,0),动点P满足品=：,记点P的轨迹为「，则

下列命题正确的是()

A.点P的轨迹7■的方程是必+丁―3%=o

B.过点N(l,l)的直线被点尸的轨迹7所截得的弦的长度的最小值是1

C.直线2x—y+2=0与点尸的轨迹7相离

D.已知点E1!,o1,点M是直线/:2x—267+7=0上的动点，过点V作点P的轨迹7的两条切

线，切点为C,D,则四边形ECMD面积的最小值是3

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.同时推掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为.

13.已知曲线y=l+与直线y=x+。有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是.

14.在空间直角坐标系中，。(0,0,0),A(0,a,3),8(3,0,a),C(a,3,0),。|3,3,|],尸为△ABC所

确定的平面内一点，设|尸。-尸。|的最大值是以a为自变量的函数，记作/(a).若0<a<3,则/(a)

的最小值为.

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

15.(本题满分13分)

“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制

订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A,B,

C,。四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分.假设评定为等级A,B,C的概率分别是工，

2

，一•

48

(1)若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；

(2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率.

16.(本题满分15分)

已知△ABC的顶点4(4,2),边AB上的中线C。所在直线方程为7x+2y—5=0,边AC上的高线BE所

在直线方程为x+y—4=0.

(1)求边所在直线的方程；

(2)求△BCD的面积.

17.(本题满分15分)

如图所示，已知斜三棱柱ABC—44。中，AB=a,AC=b,福=5,在AC；上和上分别有一

点”和N且加=左恁，BN=kBC,其中0W左W1.

(1)求证：MN,a,亍共面；

(2)若|菊=出|=片|=2,Ag=3且NB4C=ZB4C=60。，设P为侧棱8片上靠近点片的三等分点,

求直线PG与平面ACCiA所成角的正弦值.

18.(本题满分17分)

已知在平面直角坐标系中，A(—l,0),8(—7,0),平面内动点P满足|PB|=2|PA|.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)点P轨迹记为曲线C,若曲线C与x轴的交点为M,N两点，。为直线/:%=17上的动点，直线

MQ,NQ与曲线C的另一个交点分别为E,F,求|EF|的最小值.

19.(本题满分17分)

对于三维向量为=(/,”,zJK，”**eN,攵=0,1,2,…)，定义“F变换"：怎+i=F(a&),其中，

现+1=员一力|，%+i=|%—zj,zk+l=\zk-xk\.记(4)=%丁4'值|=勾+”+2广

(1)若4=(2,3,1),求卜2〉及卜2卜

(2)证明：对于任意工，必存在keN*,使得彳经过左次F变换后，有@)=0；

(3)已知q=(p,2,q)(q2°),卜寸=2024,将q再经过根次F变换后，卜,J最小，求机的最小值.

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考

高二数学试卷参考答案与评分细则

题号1234567891011

答案ADCDBADCABADACD

12.—13.[3,272+1）14.—

362

15.解：（1）设事件A,B,C,。分别表示“被评定为等级A,B,C,D".

由题意得，事件A,B,C,D两两互斥，所以P(D)=1--------=-.

2488

所以P(CU0)=P(C)+P(D)=g+g=；.

因此其得分低于4分的概率为工；

4

(2)设事件4，4，c.,R表示”第i次被评定为等级A,B,C,D,i=l,2.

(2)设事件4，B.,C.,2表示“”第i次被评定为等级A,B,C,D,i=l,2.

则“两次射击得分之和为8分”为事件(4与川(4。2)11(4。1)，且事件4与，4。2，4cl互斥,

P(BBj=-x-=—,P(ACJ=P(A,C.)=-x-=—,

v1274416V7、"2816

所以两次射击得分之和为8分的概率

P=P[(92)U(AC2)U(4CJ]=P(B.)+P(AG)+P(4G)=[+，2=3.

Iolo10

.解：(1)因为ACL6E,所以设直线AC的方程为：x-y+m=O,

将4(4,2)代入得加=—2,所以直线AC的方程为：x—y—2=0,

联立AC,CD所在直线方程：\,解得C(l,-1),

设5(%,%)，因为。为的中点，所以。]1且,一)，

因为光)在直线BE上，。在CD上，

所以/+%—4=0,7x^|^+2x^t^-5=0,

10-(-1)11

解得升=—6,%=10,所以8(—6,10),kBC=——」=——,

-6-17

所以BC所在直线的方程为：y+l=-y(x-l),即llx+7y—4=0.

I—n+7>6—4|

(2)由(1)知点。(—1,6)到直线BC的距离为：d=

Vno

___________________1DQ___OQ

2

又|BC|=1(—6—1)-+(10+1)=J170,所以S^BCD=—x/——xJ170=—.

2V1702

17.(1)证明：因为砌=左离=扬+左0,

AN=AB+BN=a+kBC=a+k(-a+b)=(l-k)a+kb,

所以而=颉—•=Q—k)G+kB—kB-反=Q—k)G—反.

由共面向量定理可知，MN,a,1共面.

(2)取BC的中点为。，在中，AO=B0=6AB1=3,

由余弦定理可得cosZAOB,=(-户尸=

2xV3xJ32

2兀

所以NAOB]=T，依题意△ABC,均为正三角形，所以BCLA。，BC1Bi0,

又4。口4。=0，B]Ou平面4A。，AOu平面片40,

所以平面4。4，因为BCu平面ABC,

所以平面AOBl1平面ABC,所以在平面AOB,内作Oz_L。4,则Oz1平面ABC,

以OA,OC,Oz所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示：

则与,8(0,—1,0),A(V3,0,0),C(0,l,0),Q,A

设方=(x,%z)是平面ACQA的一个法向量,

(3731

AC=(-V3,l,0),AQ=

122j

-V3x+y=0

n-AC=Q

则《_.,即43也3,取z=1得方=(—,

n-Aq=0-------x+2y+—z=0

I22

—►2—►

依题意可知5尸二—Bg,

3

贝3m+丽=m+酒：孚—3,曰+|*：—和,2=”一2

设直线PG与平面ACGA所成角为氏

9

故直线PC】与平面ACQA所成角的正弦值为—.

18.解：(1)设动点坐标P(x,y),因为动点P满足|PB|=2|PA|,且4(—1,0),8(—7,0),

所以"(%+7)2+y2—2J(%+1)2+9,

化简可得，X2+/-2X-15=0,即(%―1)2+/=16,

所以点尸的轨迹方程为(X-1)2+丁=16.

(2)曲线C:(x—1)2+/=16中，令y=0,可得(％—1>=16,

解得x=—3或x=5,可知M(—3,0),N(5,0),

当直线即为斜率为0时，|EK|+|FK|即为直径，长度为8,

当直线所为斜率不为。时，设匹的直线方程为x=町;+f,E（X[,%），F（x2,y2）,

;二;I'/=16消去x可得：的+"I)?+V=16,

联立

化简可得；(1+1)J/+2(?-l)ny+«+3)(?-5)=0

2(1-t)n

%+%=

«2+1

由韦达定理可得《

«+3)Q—5)

%%=川+1

因为F(x2,y2),M(—3,0),N(5,0),

所以EM,FN的斜率为kEM=一^,kFN=

玉+3x2-5

又点E（Xi，yJ在曲线C上，所以（占―iy+y；=i6,

可得％2=]6_(%_1)2=(3+XJ(5_XJ,所以超”=弋=J

石+3%

所以EM,FN的方程为y=22(x+3),y=^^(x—5),

%%-5

令x=]7可得30=20(5—化简可得；

%%-5

3yly2+5(玉一5)(々—5)=0,又£1(%,%),川与^^在直线工二几丁+%上，

可得X1=孙+/,x2=ny2+t,所以3%%+5(〃/+1-5)(〃%+1—5)=0,

化简可得；(51+3)%%+—5)(%+%)+5(/—5)2=0,

2(1-/)〃

%+%=

力+1

又＜代入可得(5〃2+3严?[J)+5心5)2(；；〃+5«—5)2=0,

Q+3)«—5)

%%="+i

化简可得(5/+3)«+3)(/-5)+10«2(/-5)(1-?)+5。-5)2(«2+1)=0,

«-5)(3/+9+5〃)+15〃2+10〃2-10n2t+5n2t+5t-25n~-25)=0,

«—5)(8f—16)=0,所以f=2或f=5,

当t=5时EF为x="y+5,必过(5,0),不合题意，

当/=2时EE为x=/zy+2,必过(2,0),

又I