七年级数学下册压轴题攻略湘教版-专题08 解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题08解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用整体法提公因式因式分解】 1【考点二十字相乘法因式分解】 5【考点三分组分解法因式分解】 9【考点四因式分解的应用】 13【典型例题】【考点一利用整体法提公因式因式分解】例题：（2024下·全国·七年级假期作业）把多项式因式分解的结果是.【答案】【解析】略【变式训练】1．（2023·湖北黄石·统考中考真题）因式分解：．【答案】【分析】将整式变形含有公因式，提取即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．2．（2024上·河南安阳·八年级校考期末）因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题主要考查了因式分解,掌握运用提取公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．（1）先写出完全平方的形式，然后运用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式，然后再运用平方差公式因式分解即可．【详解】（1）解：，，．（2）解：，，．3．（2023上·山东济南·八年级统考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查因式分解，根据提公因式法、公式法分解即可；（1）直接利用提公因式法即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解；【详解】（1）解：；（2）．4．（2023上·山东济宁·八年级统考期末）【阅读材料】因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；（2）设，则原式，再将B还原，最后再利用完全平方公式即可；（3）先计算，再利用完全平方公式即可．【详解】（1）解：令，，将“A”还原，可以得到：原式；（2）解：令，则，将“B”还原，可以得到：原式；（3）解：，∵n为正整数，∴正整数．∴，∴代数式的值一定是某个整数的平方．5．（2024上·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）阅读以下材料材料：因式分解：解：将“”看成整体，令，则原式再将“”还原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：________；(2)因式分解：；(3)求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】本题考查了因式分解，掌握整体思想解决问题的方法是解题的关键．（1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式；（2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式；（3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数．【详解】（1）解：令，原式，将“”还原，得原式；故答案为：；（2）解：令，原式，将“”还原，得：原式；（3）证明：令，原式，将还原，原式，因为无论为何值，所以．即式子的值一定是一个不小于1的数．【考点二十字相乘法因式分解】例题：（2024上·广东珠海·八年级统考期末）在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题．材料一：分解因式：解：材料二：分解因式：解：原式(1)按照材料一提供的方法分解因式：；(2)按照材料二提供的方法分解因式：．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法．（1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：，，；（2）解：原式．【变式训练】1．（2024上·北京东城·八年级统考期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)结合本题知识，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．2．（2024上·山西朔州·八年级统考期末）阅读下列材料，完成相应任务我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法．例如图（1）反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：．任务一：观察图（2）完成填空：．将上式逆向变形即可把等式左边的多项式因式分解为右边的，像这样我们可将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如，将式子分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此可利用上述方法直接可得．上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图（3）这样我们便可直接得到任务二：利用上述方法分解因式（1）（2）我们常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：这种方法叫分组分解法．任务三：请利用这种方法因式分解下列多项式：；【答案】任务一：，，；任务二：（1），（2）；任务三：【分析】本题考查十字相乘法以及分组分解法进行因式分解．任务一：利用两种方法表示出长方形的面积即可得出结果；任务二：利用十字相乘法进行因式分解即可；任务三：利用分组分解法进行因式分解即可；掌握十字相乘法以及分组分解法进行因式分解，是解题的关键．【详解】任务一：由图可知：；故答案为：，，；

任务二：（1）；

（2）；

任务三：．【考点三分组分解法因式分解】例题：（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法．①；②试用上述方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了分解因式分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．（1）原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；（2）原式后三项提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式【变式训练】1．（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：

这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．（1）用分组分解法分解即可；（2）用分组分解法分解即可．【详解】（1）原式（2）原式2．（2023下·全国·七年级假期作业）观察下列因式分解的过程：①（分成两组）（直接提取公因式）；②（分成两组）（直接运用公式）．请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】解：（1）．（2）．3．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整体代入得出答案即可．此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键．【详解】（1）；（2）；（3）．当，时，原式．【考点四因式分解的应用】例题：（2023上·河南安阳·八年级校考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：．根据以上材料，解答下列问题：(1)分解因式：；(2)求多项式的最小值；(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．（1）根据阅读材料中的方法分解即可；（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；（3）原式配方后，利用非负数的性质即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：，，，多项式的最小值为；（3）解：，，即：，，，，，，的周长为．【变式训练】1．（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务．材料一材料二如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．例在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程：设，原式(1)填空：因式分解_______；(2)因式分解（写出详细步骤）：；(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)是等边三角形；理由见解析【分析】本题考查了因式分解的应用；（1）根据材料1，分组分解即可求解；（2）根据材料2，利用换元法，设，进而因式分解即可求解；（3）根据完全平方公式因式分解，即可求解．【详解】（1）解：，故答案为：．（2）解：设，则原式（3）解：是等边三角形，理由如下；∵∴，∴∴又∵，∴∴是等边三角形2．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：．②拆项法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．